2010-2016江苏高考数学真题解析版本

2010-2016江苏高考数学真题解析版本

‎ 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1、设集合A={-1,1,3}，B=，则实数= ‎ ‎[解析] 考查集合的运算推理。3B, +2=3, =1.‎ ‎2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为 ‎ ‎[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。‎ ‎3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ‎ ‎[解析]考查古典概型知识。2‎ ‎4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ______根在棉花纤维的长度小于20mm。‎ ‎[解析]考查频率分布直方图的知识。‎ ‎100×（0.001+0.001+0.004）×5=30‎ 5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数= ‎ ‎[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。‎ ‎6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是 ‎ ‎[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。‎ ‎7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ‎ ‎[解析]考查流程图理解。输出。‎ ‎8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5= ‎ ‎[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ 9、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 ‎ ‎[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为 ‎ ‎[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎11、已知函数,则满足不等式的x的范围是 ‎ ‎[解析] 考查分段函数的单调性。‎ ‎12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 。来源 ‎[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ ‎13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=_______ [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。‎ ‎（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，‎ ‎，= 4。‎ ‎（方法二），‎ 由正弦定理，得：上式=‎ ‎14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是 ‎ ‎[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。‎ 设剪成的小正三角形的边长为，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值。‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，递减；当时，递增；‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值。‎ 令，则：‎ 故当时，S的最小值是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（1）（方法一）由题设知，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=(－2,－1)，。‎ 由()·=0，得：，‎ 从而所以。‎ 或者：，‎ ‎16、（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ (1) 求证：PC⊥BC；‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，‎ 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1，所以。‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ 17、 ‎（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大 解：（1）因为： ，‎ 则：，，‎ 因为 所以 带入tanα=1.24,tanβ=1.20‎ 得，所以H=124m ‎（2）由题意知：，‎ 因为所以则 ‎=‎ ‎=（）当且仅当时，即m时最大，因为，所以也取最大值 所以，m时，取最大值 小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。‎ 总结：这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。虽说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题。所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用。‎ ‎18、（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ ‎ 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。‎ ‎（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ ‎19、（本小题满分16分）‎ 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式（用表示）；‎ ‎（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。‎ ‎[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。‎ ‎（1）由题意知：， ‎ ‎，‎ 化简，得：‎ ‎，‎ 当时，，适合情形。‎ 故所求 ‎（2）（方法一）‎ ‎， 恒成立。‎ ‎ 又，，‎ 故，即的最大值为。‎ ‎（方法二）由及，得，。‎ 于是，对满足题设的，，有。‎ 所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。‎ 于是，只要，即当时，。‎ 所以满足条件的，从而。因此的最大值为。‎ ‎20、（本小题满分16分）‎ 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数，‎ ‎，，且，若||<||，求的取值范围。‎ ‎[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A． 选修4-1：几何证明选讲 ‎（本小题满分10分）‎ AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。‎ ‎[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。‎ ‎（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， ‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=300，∠DOC=600，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。‎ ‎（方法二）证明：连结OD、BD。‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。‎ 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC。‎ 故AB=2BC。‎ A． 选修4-2：矩阵与变换 ‎（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：由题设得 由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。‎ 计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是，则由题设知：。‎ 所以k的值为2或-2。‎ B． 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或。‎ C． 选修4-5：不等式选讲 ‎（本小题满分10分）‎ 设a、b是非负实数，求证：。‎ ‎[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）证明：‎ 因为实数a、b≥0，‎ 所以上式≥0。即有。‎ ‎（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得 当时，，从而，得；‎ 当时，，从而，得；‎ 所以。‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 22、 ‎（本小题满分10分）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ （1） 记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ （2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ 23、 ‎（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时，和都是有理数。‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合 则 答案：‎ 解析：本题主要考查集合及其表示，集合的运算，容易题.‎ ‎2.函数的单调增区间是__________‎ 答案：‎ 解析：在在大于零,且增.‎ Read a，b If a>b Then ‎ ‎ ma Else ‎ ‎ mb End If Print m ‎ 本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题.‎ ‎3.设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________‎ 答案：1‎ 解析：由得到 本题主要考查考查复数的概念，四则运算，容易题.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的的值是________‎ 答案：3‎ 解析：，.‎ 本题主要考查考查算法的含义,基本算法语句,选择结构和伪代码，容易题.‎ ‎5.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______‎ 答案：‎ 解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种. 其中符合条件的有2种,所以概率为.也可以由得到.‎ 本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率.容易题.‎ ‎6.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.‎ 答案：.‎ 解析：五个数的平均数是7,方差为 还可以先把这组数都减去6再求方差，.‎ 本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算，考查数据处理能力,容易题.‎ ‎7.已知 则的值为__________.‎ 答案：‎ 解析：.‎ 本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.‎ ‎8.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.‎ 答案：4.‎ 解析：设经过原点的直线与函数的交点为，，则.‎ 本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.‎ ‎9.函数是常数，的部分图象如图所示，则 答案：‎ 解析：由图可知：‎ ‎ ‎ 由图知：‎ 本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，的图像与性质以及诱导公式，数形结合思想,中档题.‎ ‎10.已知是夹角为的两个单位向量， 若，则的值为 .‎ 答案：‎ 解析：由得：,,.‎ 本题主要考查向量的概念，向量的加减数乘运算，向量的数量积及平面向量的平行与垂直，中档题.‎ ‎11.已知实数，函数，若，则a的值为________‎ 答案：‎ 解析： .‎ ‎，不符合； .‎ 本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.‎ ‎12.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________‎ 答案：‎ 解析：设则，过点P作的垂线 ‎，‎ ‎，所以，t在上单调增，在单调减，.‎ 本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题. ‎ ‎13.设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.‎ 答案：.‎ 解析：‎ 由题意：，‎ ‎，而的最小值分别为1，2，3；.‎ 本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.‎ ‎14.设集合, , ‎ 若 则实数m的取值范围是______________.‎ 答案：.‎ 解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方 ，又因为此时无解；‎ 当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当时,只要,.‎ 当时, 只要,‎ 当时,一定符合 又因为,.‎ 本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题. ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 ‎（1）若 求A的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 答案：（1）‎ ‎（2）在三角形中,‎ 由正弦定理得：，而.（也可以先推出直角三角形）‎ ‎ (也能根据余弦定理得到)‎ 解析：本题主要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能力，容易题.‎ ‎16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，‎ AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD；‎ ‎（2）平面BEF⊥平面PAD.‎ 答案：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，‎ 又 直线EF//平面PCD ‎（2）连接BD为正三角形 ‎ F是AD的中点，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 所以，平面BEF⊥平面PAD.‎ 解析：本题主要考查空间想象能力和推理论证能力、考查平面的表示,直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定及性质，容易题.‎ ‎17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ 答案：（1）根据题意有（00，求证：PA⊥PB.‎ ‎ ‎ 答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),‎ 直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以.‎ ‎（2）直线,由得，，‎ AC方程：即：‎ 所以点P到直线AB的距离 ‎（3）法一：由题意设，‎ A、C、B三点共线，‎ 又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：‎ ‎.‎ 法二：设,‎ A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得：,‎ ‎,‎ 法三：由得到 ‎，直线 代入得到，解得，‎ 解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.‎ ‎19.（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.‎ ‎（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.‎ 答案：‎ （1） 因为函数和在区间上单调性一致，所以，‎ 即 即实数b的取值范围是 （1） 由 若,则由,,和在区间上不是单调性一致,‎ 所以.‎ ‎;又.‎ 所以要使,只有,‎ 取,当时, 因此 当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，‎ 即，‎ 设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为 则；‎ 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，‎ 即，‎ 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，‎ 即而x=0时，不符合题意， ‎ 当时，由题意：‎ 综上可知，。‎ 解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.‎ ‎20.（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立.‎ ‎（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式.‎ 答案:（1）即：‎ 所以，n>1时，成等差，而，‎ ‎（2）由题意：，‎ 当时，由（1）（2）得：‎ 由（3）（4）得： ‎ 由（1）（3）得：‎ 由（2）（4）得：‎ 由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：‎ 由（5）（6）得：‎ 由（9）（10）得：成等差，设公差为d,‎ 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：‎ 解析：本题主要考查数列的概念,通项与前n项和的关系,等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词,转化与化归、考查分析探究及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．‎ 若多做，则按作答的前两题评分．‎ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4-1：几何证明选讲 ‎（本小题满分10分）‎ 如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与（）．圆的弦交圆于点（不在上）．‎ 求证：为定值．‎ B．选修4-2：矩阵与变换 ‎（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，向量．求向量，使得．‎ C．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程．‎ D．选修4-5：不等式选讲 ‎（本小题满分10分）‎ 解不等式：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上．‎ 设二面角的大小为．‎ ‎（1）当时，求的长；‎ ‎（2）当时，求的长．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．‎ ‎（1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求．‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎【分析】由集合的并集意义得。‎ ‎2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。‎ ‎3．设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ ‎【分析】由得，所以， 。‎ ‎4．下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：‎ 是否继续循环 k 循环前 ‎0‎ ‎0‎ 第一圈 是 ‎1‎ ‎0‎ 第二圈 是 ‎2‎ ‎－2‎ 第三圈 是 ‎3‎ ‎－2‎ 第四圈 是 ‎4‎ ‎0‎ 第五圈 是 ‎5‎ ‎4‎ 第六圈 否 输出5‎ ‎ ∴最终输出结果k=5。‎ ‎5．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ‎。‎ ‎6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．‎ ‎【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，‎ ‎ ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。‎ ‎7．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。由 ‎8．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎9．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎【解析】由，得，由矩形的性质，得。‎ ‎ ∵，∴，∴。∴。‎ ‎ 记之间的夹角为，则。‎ ‎ 又∵点E为BC的中点，∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。‎ ‎10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ ‎11．设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。‎ ‎∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有 公共点；∴存在，使得成立，即。‎ ‎∵即为点到直线的距离，∴，解得。‎ ‎∴的最大值是。‎ ‎13．已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得，。‎ ‎∵不等式的解集为，∴，解得。‎ ‎14．已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【解析】条件可化为：。‎ ‎ 设，则题目转化为：‎ 已知满足，求的取值范围。‎ ‎ 作出（）所在平面区域（如图）。求出的切 线的斜率，设过切点的切线为， ‎ ‎ 则，要使它最小，须。‎ ‎ ∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。‎ ‎ 当（）对应点时， ，‎ ‎ ∴的最大值在处，为7。‎ ‎ ∴的取值范围为，即的取值范围是。‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．‎ ‎15．在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ 解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ 证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎17．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，‎ 炮弹可以击中它？请说明理由．‎ 解：（1）在中，令，得。‎ ‎ 由实际意义和题设条件知。‎ ‎ ∴，当且仅当时取等号。‎ ‎ ∴炮的最大射程是10千米。‎ ‎ （2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，‎ ‎ 即关于的方程有正根。‎ ‎ 由得。‎ ‎ 此时，（不考虑另一根）。‎ ‎ ∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。‎ ‎18．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ 解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ 解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。（lby lfx）‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎20．已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ 解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎]数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲]如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．‎ 求证：．‎ 证明：连接。‎ ‎ ∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。‎ ‎ ∴（垂直的定义）。‎ ‎ 又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。‎ ‎ ∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。‎ ‎ ∴（等腰三角形等边对等角的性质）。‎ ‎ 又∵为圆上位于异侧的两点，‎ ‎ ∴（同弧所对圆周角相等）。‎ ‎ ∴（等量代换）。‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换] 已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值． ‎ 解：∵，∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴矩阵的特征多项式为。‎ ‎ 令，解得矩阵的特征值。‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ 解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎ ∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎ ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲] 已知实数x，y满足：求证：．‎ 证明：∵，‎ ‎ 由题设∴。∴。 ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ 解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，‎ ‎ ∴共有对相交棱。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，‎ ‎ ∴ ，。‎ ‎ ∴随机变量的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ ∴其数学期望。 ‎ ‎23．设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ 解：（1）当时，符合条件的集合为：，‎ ‎ ∴ =4。 ‎ ‎ ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。‎ 由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。‎ 于是是否属于，由是否属于确定。‎ 设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。‎ 当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。‎ ‎∴。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。‎ ‎1．函数的最小正周期为 ．‎ ‎【解析】T＝||＝||＝π．‎ ‎2．设（为虚数单位），则复数的模为 ．‎ ‎【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎＝5．‎ ‎3．双曲线的两条渐近线的方程为 ．‎ ‎【解析】令：，得．‎ ‎4．集合共有 个子集．‎ ‎【解析】23＝8．‎ ‎5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ．‎ ‎【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．‎ ‎6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．‎ ‎【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．‎ 方差为：．‎ ‎7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则 都取到奇数的概率为 ．‎ ‎【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．‎ ‎8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．‎ ‎【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．‎ 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．‎ ‎9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) ．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．‎ 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．‎ y x O y＝2x—1‎ y＝—x ‎10．设分别是的边上的点，，，‎ 若（为实数），则的值为 ．‎ ‎【解析】‎ 所以，，，．‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式 的解集用区间表示为 ．‎ ‎【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。‎ x y y＝x y＝x2—4 x P(5,5)‎ Q(﹣5, ﹣5)‎ ‎12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为 y x l B F O c b a ‎，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，‎ 若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 ．‎ ‎【答案】1或 解析：设P点的坐标为，则 ‎|PA|2＝.令，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．‎ 结合题意可知 ‎(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值．此时(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．‎ ‎(2)当a＞2，t＝a时，|PA|2取得最小值．此时a2－2＝8，解得a＝，a＝(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为，－1.‎ ‎14．在正项等比数列中，，，则满足的 最大正整数的值为 ．‎ ‎【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知，．‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）设，若，求的值．‎ 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，‎ ‎|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，‎ 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，‎ 所以，．‎ ‎（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－．‎ 所以，α－β＝，α＝＋β，‎ 带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，‎ 所以，＋β＝．‎ 所以，α＝，β＝．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：‎ ‎（1）平面平面；‎ ‎（2）．‎ 证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，‎ 所以F为SB的中点．‎ 又E，G分别为SA，SC的中点，‎ 所以，EF∥AB，EG∥AC．‎ 又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，‎ 所以，平面平面．‎ ‎（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，‎ AF平面ASB，AF⊥SB．‎ 所以，AF⊥平面SBC．‎ 又BC平面SBC，‎ 所以，AF⊥BC．‎ 又AB⊥BC，AF∩AB＝A，‎ 所以，BC⊥平面SAB．‎ 又SA平面SAB，‎ 所以，．‎ ‎17．x y A l O （本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．‎ 设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，‎ ‎ 求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围．‎ 解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．‎ 设切线为：，‎ d＝，得：．‎ 故所求切线为：．‎ ‎（2）设点M(x，y)，由，知：，‎ 化简得：，‎ 即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．‎ 又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．‎ 故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行 到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两 位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从 乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的 速度为，山路长为，经测量，，．‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，‎ C B A D M N ‎ 乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解：（1）如图作BD⊥CA于点D，‎ 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，‎ AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，‎ 知：AB＝52k＝1040m．‎ ‎（2）设乙出发x分钟后到达点M，‎ 此时甲到达N点，如图所示．‎ 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，‎ 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，‎ 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．‎ 若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．‎ 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．‎ 故乙步行的速度应控制在[，]范围内．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，‎ ‎，其中为实数．‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：．‎ 证：（1）若，则，，．‎ 当成等比数列，，‎ 即：，得：，又，故．‎ 由此：，，．‎ 故：（）．‎ ‎（2）， ‎ ‎． (※)‎ 若是等差数列，则型．‎ 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，‎ 故有：，即，而≠0，‎ 故．‎ 经检验，当时是等差数列．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 设函数，，其中为实数．‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．‎ 解：（1）≤0在上恒成立，则≥， ．‎ 故：≥1．‎ ‎，‎ 若1≤≤e，则≥0在上恒成立，‎ 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；‎ 若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．‎ 故的取值范围为：＞e．‎ ‎（2）≥0在上恒成立，则≤ex，‎ 故：≤．‎ ‎．‎ ‎(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；‎ 令＜0得减区间为(，﹢∞)．‎ 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；‎ 当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．‎ 故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．‎ ‎(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．‎ ‎(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，‎ 即：在上是单调增函数，‎ 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．‎ 此时，f(x)有1个零点．‎ 综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.‎ 证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，‎ 所以∠ADO＝∠ACB＝90° .‎ 又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.‎ 所以.‎ 又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.‎ B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.‎ ‎[选修4－2：矩阵与变换]解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，‎ 故a＝－1，b＝0，c＝0，，从而A的逆矩阵为A－1＝，‎ 所以A－1B＝＝.‎ C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．‎ 解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.‎ 同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.‎ 联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.‎ D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ 证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．‎ 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；‎ ‎(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．‎ 解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，‎ 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，‎ 所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．‎ 因为cos〈，〉＝‎ ‎＝，‎ 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.‎ ‎(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.‎ 由|cos θ|＝，得sin θ＝.‎ 因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.‎ ‎23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，，…，即当(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．‎ ‎(1)求集合P11中元素的个数；‎ ‎(2)求集合P2 000中元素的个数．‎ 解：(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.‎ ‎(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．‎ 事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；‎ ‎②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．‎ 综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．‎ 由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.‎ 又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1．已知集合，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎2．已知复数(i为虚数 单位)，则z的实部为 ．‎ ‎【答案】21‎ ‎3．右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ．‎ ‎【答案】5 ‎ ‎4．从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎5．已知函数与，它们的 图象 有一个横坐标为 的交点，则的值是 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎6．设抽测的树木的底部周长均在区间上，其频率分布 直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm．‎ ‎【答案】24‎ ‎7．在各项均为正数的等比数 列中，若，，‎ 则的值是 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎8．设甲 、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎10．已知函数，若 对任意，都有成立，则实数m的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎12．如图，在平行四边形ABCD中，已知 ，，，则的 值是 ．‎ ‎【答案】22‎ ‎13．已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎14．若的内角满足，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．(本小题满分14 分)已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2） 求的值．‎ ‎【答案】本小题主要 考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 ‎ 力. 满分14分.‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎ ；‎ ‎（2）∵‎ ‎ ∴．‎ ‎16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．‎ ‎（1）求证：直线PA∥平面DEF ；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，‎ 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.‎ ‎（ 1）∵为中点 ∴DE∥PA ‎∵平面DEF，DE平面DEF ∴PA∥平面DEF ‎（2）∵为中点 ∴‎ ‎∵为中点 ∴ ‎ ‎∴ ∴，∴DE⊥EF ‎∵，∴ ‎ ‎ ∵ ∴DE⊥平面ABC ‎∵DE平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎17．(本小 题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右 焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．‎ ‎（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率e的值．‎ ‎【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 ‎ 算求解能力. 满分14分.‎ ‎（1）∵，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴椭圆方程 为 ‎（2）设焦点 ‎ ∵关于x轴对称，∴ ‎ ‎∵三点共线，∴，即①‎ ‎∵ ，∴，即② ‎ ‎①②联立方程组，解得 ∴‎ ‎∵C在椭圆上，∴，‎ 化简得，∴, 故离心 率为 ‎18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O 正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．‎ ‎（1）求新桥BC的长；‎ ‎（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ 解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.‎ 解法一：‎ (1) 如图，以O为坐标原点，OC 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，‎ 直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.‎ 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=.‎ 设点B的坐标为(a,b)，则k BC=‎ ‎ k AB=‎ 解得a=80 ，b=120. 所以BC=.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).‎ 由条件知，直线BC的方程为，即 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，‎ 即.‎ 因 为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即解得 故当d=10时,最大，即圆面积最大. ‎ 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.‎ 解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.‎ 因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.‎ 因为OA=6 0,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.‎ CF=,从而.‎ 因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，‎ 又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半 径， 并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).‎ 因为OA⊥OC，所以sin∠CFO = cos∠FCO，‎ 故由(1)知，sin∠CFO = 所以.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,‎ 所以即 解得 故 当d=10时,最大，即圆面积最大.‎ 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.‎ ‎19．(本小题满分1 6分)已知函数其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1 ）证明：是上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的 不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存 在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．‎ ‎【答案】本小题主要考查初等函数的基 本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 ‎ 方法分析与解决问题的能力.满分16分.‎ ‎（1），，∴是上的偶函数 ‎（2 ） 由题意，，即 ‎∵，∴，即对恒成立 令，则对任意恒成立 ‎∵，当且仅当时等号成立 ‎∴‎ ‎（3），当时，∴在上单调增 令 ，‎ ‎∵，∴， 即在上单调减 ‎∵存在，使得， ∴，即 ‎∵‎ 设，则 ‎ 当时，，单调增；‎ 当时，，单 调减 因此至多有两个零点，而 ‎∴当时，，；‎ 当 时，，；‎ 当时，，．‎ ‎20．(本小题满分16 分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．‎ ‎（1）若数列 的前n项和，证明：是“H数列”；‎ ‎（2）设 是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ ‎【答案】本小题主要考查数列的概念、等 差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.‎ ‎（1）当时 ，‎ 当时，‎ ‎∴时，，当时，‎ ‎∴是“H数列”‎ ‎（2）‎ 对，使，即 取得，‎ ‎∵，∴，又，∴，∴‎ ‎（3）设的 公差为d 令，对，‎ ‎，对，‎ ‎ 则，且为等差数列 的前n项和， 令，则 当 时；‎ 当时；‎ 当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，‎ 因此对，都可 找到，使成立，即为“H数列”．‎ 的前ｎ项和，令，则 ‎∵对，是非负偶数，∴‎ 即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”‎ 因此命题得证.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)‎ ‎ 如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点 ‎ 证明:∠OCB=∠D.‎ 本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC.‎ ‎ 故∠OCB=∠B.‎ ‎ 又因为C, D是圆O上位于 AB异侧的两点，‎ ‎ 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，‎ ‎ 所以∠B=∠D.‎ ‎ 因此∠OCB=∠D.‎ B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)‎ 已知矩阵，，向量，为实数，若，求的值．‎ ‎【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.‎ ‎，，由得解得 C.【选修4-4: 坐标系与参数方程】(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长．‎ ‎【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.‎ 直线l：代入抛物线方程并整理得 ‎∴交点，，故 D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)‎ 已知x>0, y>0,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.‎ 本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.‎ 证明：因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥，1+x2+y≥，‎ 所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.‎ ‎22．(本小题满分10分)‎ 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．‎ ‎（1 ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；‎ ‎（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X 表示 中的最大数，求X的概率分布和数学期望．‎ ‎22. 【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.‎ ‎（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况 ‎∴取出的2个球颜色相同的概 率 ‎（2）X的所有可能取值为，则 ‎∴X的概率分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故X的数学期望 ‎23．(本小题满分10分)‎ 已知函数，记为 的导数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的，等式成立．‎ ‎23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.‎ ‎(1)解：由已知，得 于是 所以 故 ‎(2)证明 ：由已知，得等式两边分别对x求导，得，‎ 即，类似可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面 用数学归纳法证明等式对所有的都成立.‎ ‎(i)当n=1时，由上可知等式成立.‎ ‎(ii )假设当n=k时等式成立, 即.‎ 因为 ‎，‎ 所 以.‎ 所以当n学 科王=k+1时,等式也成立.‎ 综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.‎ 令，可得().‎ 所以().‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.‎ 考点：平均数 ‎3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.‎ S←1‎ I←1‎ While I10‎ ‎ S←S＋2‎ ‎ I←I＋3‎ End While Print S ‎（第4题图）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;结束循环，输出 ‎5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎6.已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 的值为______.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：‎ ‎7.不等式的解集为________.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：，解集为 ‎8.已知，，则的值为_______.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由体积相等得：‎ ‎10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ‎ ‎11.数列满足，且（），则数列的前10项和为 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：‎ 所以 ‎12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为 ‎13.已知函数，，则方程实根的个数为 ‎ ‎14.设向量，则的值为 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 因此 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在中，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎16.（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，‎ ‎.求证：（1）；‎ ‎ （2）.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度 ‎.‎ ‎（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，‎ 设在点处的切线交，轴分别于，点，，‎ 考点：利用导数求函数最值，导数几何意义 ‎18.（本小题满分16分）‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左 准线l的距离为3.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎（2）当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 ‎．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而，故直线的方程为，‎ 则点的坐标为，从而．‎ 因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎ （1）试讨论的单调性；‎ ‎ （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a ‎ 的取值范围恰好是，求c的值.‎ 当时， 在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时， 在，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ ‎ 设是各项为正数且公差为d的等差数列 ‎ （1）证明：依次成等比数列；‎ ‎ （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；‎ ‎ （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.‎ ‎（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．‎ 假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 令，则，且（，），‎ 化简得（），且．将代入（）式，‎ ‎，则．‎ 显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，‎ 因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．‎ ‎（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），‎ 则，且．‎ 将上述两个等式两边取对数，得，‎ 且．‎ 化简得，‎ 且．‎ 再将这两式相除，化简得（）．‎ 令，‎ 则．‎ 令，‎ 则．‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 由，，‎ 知，，，在和上均单调．‎ 故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．‎ 所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．‎ 考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程 附加题 ‎21.A（选修4—1：几何证明选讲）‎ ‎ 如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D 求证：∽‎ A B C E D O ‎（第21——A题）‎ ‎21.B（选修4—2：矩阵与变换）‎ 已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.‎ 试题解析：由已知，得，即，‎ 则，即，所以矩阵．‎ 从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为．‎ 考点：矩阵运算，特征值与特征向量 ‎21.C（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.‎ ‎【答案】‎ 考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化 ‎21.D（选修4—5：不等式选讲）‎ 解不等式 试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可 试题解析：原不等式可化为或．‎ 解得或．‎ 综上，原不等式的解集是．‎ 考点：含绝对值不等式的解法 ‎22.（本小题满分10分）‎ 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯 ‎ 形，,‎ ‎ （1）求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎ （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长 P A B C D Q ‎23.（本小题满分10分）‎ ‎ 已知集合，，‎ ‎，令表示集合所含元素的个数.‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ①当时，，结论成立；‎ ②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ‎ ‎1. 已知集合，，则 ．‎ 【解析】 由交集的定义可得．‎ ‎2. 复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．‎ 【解析】 由复数乘法可得，则则的实部是5．‎ ‎3. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．‎ 【解析】 ‎，因此焦距为．‎ ‎4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 ‎，．‎ ‎5.函数的定义域是 ．‎ 【解析】 ‎，解得，因此定义域为．‎ ‎6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是 ．‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎5‎ 则输出时．‎ ‎7.将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．‎ 【解析】 将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．‎ ‎8.已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．‎ 【解析】 设公差为，则由题意可得，， 解得，，则．‎ ‎9.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ．‎ 【解析】 画出函数图象草图，共7个交点．‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．‎ 【解析】 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，， 由可得，，， 则，由可得，则．‎ ‎11.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 ‎ 【解析】 由题意得，， 由可得，则， 则．‎ ‎12.已知实数满足 则的取值范围是 ．‎ 【解析】 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离， ，则， 图中点距离原点最远，点为与交点，则， 则．‎ ‎13.如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，， 则的值是 ．‎ 【解析】 令，，则，，， 则，，，，，， 则，，， 由，可得，，因此， 因此．‎ ‎14.在锐角三角形中，，则的最小值是 ．‎ 【解析】 由，， 可得（*）， 由三角形为锐角三角形，则， 在（*）式两侧同时除以可得， 又(#)， 则， 由可得，‎ 令，由为锐角可得，‎ 由(#)得，解得 ‎， ，由则，因此最小值为， 当且仅当时取到等号，此时，， 解得（或互换），此时均为锐角．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在中，，，． ⑴ 求的长； ⑵ 求的值．‎ 【解析】⑴ ‎，为三角形的内角 ‎，即：；‎ ⑵ 又为三角形的内角 ‎．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上， 且，．‎ 求证：⑴ 直线平面；‎ ⑵ 平面平面．‎ 【解析】⑴ 为中点，为的中位线 又为棱柱，‎ ‎，又平面，且 平面；‎ ⑵ 为直棱柱，平面 ‎，又 且，平面 平面，‎ 又，平面 又平面，‎ 又，，且平面 平面，又 平面平面．‎ ‎17.（本小题满分14分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． ⑴ 若，，则仓库的容积是多少； ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？‎ 【解析】⑴ ‎，则， ，， ， 故仓库的容积为；‎ ⑵ 设，仓库的容积为 ‎ 则，，， ， ， ， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，‎ 因此，当时，取到最大值， 即时，仓库的容积最大．‎ ‎[来源:学|科|网]‎ ‎18.（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆： 及其上一点． ⑴ 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； ⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； ⑶ 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．‎ 【解析】⑴ 因为在直线上，设，因为与轴相切， 则圆为， 又圆与圆 外切，圆：， 则，解得，即圆的标准方程为；‎ ⑵ 由题意得， 设，则圆心到直线的距离, 则，，即， 解得或，即：或；‎ ⑶ ‎，即，即， ， 又, 即，解得， 对于任意，欲使， 此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为， 必然与圆交于两点，此时，即， 因此对于任意，均满足题意， 综上．‎ ‎19.（本小题满分14分） 已知函数． ⑴ 设，． ① 求方程的根； ② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； ⑵ 若，，函数有且只有1个零点，求的值．‎ 【解析】⑴ ‎① ，由可得， 则，即，则，；② 由题意得恒成立， 令，则由可得，此时恒成立，即恒成立 ∵时，当且仅当时等号成立，因此实数的最大值为．‎ ‎，，由，可得，令，则递增，而，因此时，因此时，，，则；时，，，则；则在递减，递增，因此最小值为， ① 若，时，，，则； logb2时，，，则； 因此且时，，因此在有零点， 且时，，因此在有零点， 则至少有两个零点，与条件矛盾；② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为， 可得， 由，因此， 因此，即，即， 因此，则．‎ ‎20.（本小题满分14分） 记．对数列（）和的子集，若，定义；‎ 若，定义．例如：时，．‎ 现设（）是公比为的等比数列，且当时，． ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 对任意正整数（），若，求证：； ⑶ 设，，，求证：．‎ 【解析】⑴ 当时，，因此，从而，；‎ ⑵ ‎；‎ ⑶ 设，，则，，， ，因此原题就等价于证明． 由条件可知． ① 若，则，所以． ② 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为， 若，则由第⑵小题，，矛盾． 因为，所以，所以， ，即． 综上所述，，因此．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，在中，，，为垂足，是中点． 求证：．‎ 【解析】 由可得， 由是中点可得， 则， 由可得， 由可得， 因此， 又可得．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵．‎ 【解析】 ‎，因此．‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．‎ 【解析】 直线方程化为普通方程为， 椭圆方程化为普通方程为， 联立得，解得或， 因此．‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 设，，，求证：．‎ 【解析】 由可得， ．‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线． ⑴ 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程； ⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．‎ ‎ ①求证：线段上的中点坐标为；‎ ‎ ②求的取值范围．‎ ‎ ‎ 【解析】⑴ ‎，与轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为，‎ ‎；‎ ⑵ ① 设点，‎ 则：，即，‎ 又关于直线对称，‎ 即，‎ 又中点一定在直线上 线段上的中点坐标为；‎ ② 中点坐标为 即 ‎，即关于有两个不等根 ‎，，．‎ ‎（本小题满分10分） ⑴ 求的值； ⑵ 设，，求证： ．‎ 【解析】⑴ ‎；‎ ⑵ 对任意的， ① 当时，左边，右边，等式成立， ② 假设时命题成立， 即， 当时， 左边= ， 右边， 而， 因此， 因此左边=右边， 因此时命题也成立，‎ 综合①②可得命题对任意均成立．‎ 另解：因为，所以 左边 又由，知 ‎，‎ 所以，左边右边．‎