2013年中考数学易错题综合专题二

2013年中考数学易错题综合专题二

‎　‎ 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．（2010•牡丹江）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎2．（2011•哈尔滨）一辆汽车的油箱中现有汽油‎60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，若这辆汽车平均耗油‎0.2升/千米，则y与x函数关系用图象表示大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎3．（2011•宁波）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4π B．‎ ‎4π C．‎ ‎8π D．‎ ‎8π ‎　‎ ‎4．若关于x的方程x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则直线y=kx+3必不经过（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第三象限 B．‎ 第四象限 C．‎ 第一、二象限 D．‎ 第三、四象限 ‎　‎ ‎5．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=‎2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②④‎ B．‎ ‎①③④‎ C．‎ ‎①②③‎ D．‎ ‎①②③④‎ ‎　‎ ‎6．（2009•深圳）如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎7．（2010•桂林）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎8．（2010•常州）如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ S1＞S2‎ B．‎ S1=S2‎ C．‎ S1＜S2‎ D．‎ 无法确定 ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎9．如果⊙O半径为‎5cm，弦AB∥CD，且AB=‎8cm，CD=‎6cm，那么AB与CD之间的距离是　_________　cm．‎ ‎　‎ ‎10．已知⊙O1和⊙O2相切，且圆心距为‎10cm，若⊙O1的半径为‎3cm，⊙O2的半径为　_________　cm．‎ ‎　‎ ‎11．（2007•重庆）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（2009•北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=　_________　‎ ‎；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=　_________　（用含有n的式子表示）．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎13．如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．‎ ‎　‎ ‎14．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；‎ ‎（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎15．（2008•齐齐哈尔）一底角为60°的直角梯形，上底长为‎10cm，与底垂直的腰长为‎10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为‎15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．‎ ‎　‎ ‎16．（2007•呼伦贝尔）某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：‎ ‎（1）这次共抽调了多少人？‎ ‎（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？‎ ‎（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？‎ ‎　‎ ‎17．（2009•绥化）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．‎ ‎（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？‎ ‎（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？‎ ‎（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？‎ ‎　‎ ‎18．（2010•沈阳）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．‎ ‎（1）延长MP交CN于点E（如图2）．‎ ‎①求证：△BPM≌△CPE；‎ ‎②求证：PM=PN；‎ ‎（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．（2010•牡丹江）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数系数k的几何意义．2611705‎ 分析：‎ 首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式．‎ 解答：‎ 解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，‎ ‎∴A、B两点关于原点对称，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，‎ 又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C，‎ ‎∴△AOC的面积=|k|，‎ ‎∴|k|=2，‎ ‎∵k＞0，‎ ‎∴k=4．‎ 故这个反比例函数的解析式为．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．‎ ‎　‎ ‎2．（2011•哈尔滨）一辆汽车的油箱中现有汽油‎60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，若这辆汽车平均耗油‎0.2升/千米，则y与x函数关系用图象表示大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的图象．2611705‎ 分析：‎ 先计算出‎60升油所行的路程，再根据油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，得出k＜0，从而得出图象．‎ 解答：‎ 解：60÷0.2=300（km），‎ ‎∴汽车所行的最远路程为‎300km，‎ ‎∵油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，图象交y轴的正半轴，‎ ‎∴y与x函数关系式的图象必过一、二、四象限．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了函数的图象，培养学生画图象的能力，分析解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎3．（2011•宁波）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4π B．‎ ‎4π C．‎ ‎8π D．‎ ‎8π 考点：‎ 圆锥的计算；点、线、面、体．2611705‎ 专题：‎ 计算题；几何图形问题．‎ 分析：‎ 所得几何体的表面积为2个底面半径为2，母线长为2的圆锥侧面积的和．‎ 解答：‎ 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴所得圆锥底面半径为2，‎ ‎∴几何体的表面积=2×π×2×2=8π，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 考查有关圆锥的计算；得到所得几何体表面积的组成是解决本题的突破点；用到的知识点为：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．‎ ‎　‎ ‎4．若关于x的方程x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则直线y=kx+3必不经过（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 第三象限 B．‎ 第四象限 C．‎ 第一、二象限 D．‎ 第三、四象限 考点：‎ 根的判别式；一次函数的性质．2611705‎ 专题：‎ 计算题；分类讨论．‎ 分析：‎ 先由有意义，得到k≥0；再有关于x的方程x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，得到△＞0，即△=（2）2﹣4×（﹣1）=4k+4＞0，解得k≥﹣1，最后得k≥0．然后根据k的范围和一次函数的性质讨论直线y=kx+3经过的象限，分k=0和k＞0讨论．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，k≥0且△=（2）2﹣4×（﹣1）=4k+4＞0，‎ 解不等式4k+4＞0，得k≥﹣1．‎ 所以k的取值范围为k≥0．‎ 当k=0，直线y=kx+3=3，过第1，2象限；‎ 当k＞0，直线y=kx+3经过第1，2，3象限．‎ 所以直线y=kx+3必不经过第4象限．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质．‎ ‎　‎ ‎5．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=‎2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②④‎ B．‎ ‎①③④‎ C．‎ ‎①②③‎ D．‎ ‎①②③④‎ 考点：‎ 三角形的角平分线、中线和高．2611705‎ 分析：‎ 根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质进行分析判断．‎ 解答：‎ 解：①∵CB是三角形ACE的中线，‎ ‎∴AE=2AB，又AB=AC，∴AE=‎2AC．故此选项正确；‎ ‎②取CE的中点F，连接BF．‎ ‎∵AB=BE，CF=EF，‎ ‎∴BF∥AC，BF=AC．‎ ‎∴∠CBF=∠ACB．‎ ‎∵AC=AB，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC．‎ ‎∴∠CBF=∠DBC．‎ 又CD是三角形ABC的中线，‎ ‎∴AC=AB=2BD．‎ ‎∴BD=BF．‎ 又BC=BC，‎ ‎∴△BCD≌△BCF，‎ ‎∴CF=CD．‎ ‎∴CE=2CD．‎ 故此选项正确．‎ ‎③若要∠ACD=∠BCE，则需∠ACB=∠DCE，又∠ACB=∠ABC=∠BCE+∠E=∠DCE，则需∠E=∠BCD．‎ 根据②中的全等，得∠BCD=∠BCE，则需∠E=∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故此选项错误；‎ ‎④根据②中的全等，知此选项正确．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题的知识综合性较强，同时注意利用成立的结论得到新的结论．‎ ‎　‎ ‎6．（2009•深圳）如图，反比例函数y=﹣的图象与直线y=﹣x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 反比例函数系数k的几何意义．2611705‎ 分析：‎ 双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2|k|．‎ 解答：‎ 解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，‎ 则△ABC的面积=2|k|=2×4=8．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．‎ ‎　‎ ‎7．（2010•桂林）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F，设BE=x，FC=y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．2611705‎ 分析：‎ 通过设出BE=x，FC=y，且△AEF为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，在判断出函数图象．‎ 解答：‎ 解：设BE=x，FC=y，则AE2=x2+42，EF2=（4﹣x）2+y2，AF2=（4﹣y）2+42．‎ 又∵△AEF为直角三角形，∴AE2+EF2=AF2．即x2+42+（4﹣x）2+y2=（4﹣y）2+42化简得：再化为，很明显，函数对应A选项．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题为动点函数问题，关键列出动点的函数关系，再判断选项．‎ ‎　‎ ‎8．（2010•常州）如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ S1＞S2‎ B．‎ S1=S2‎ C．‎ S1＜S2‎ D．‎ 无法确定 考点：‎ 一次函数综合题．2611705‎ 分析：‎ ‎△AOC的面积S1已知，△BOD的面积S2可由关于a的函数表示，求出S2的取值范围，跟S1比较即可．‎ 解答：‎ 解：由一次函数图象可得出A（2，1），‎ 则S1==1，‎ S2==‎ 又0＜a＜4且a≠2，‎ ‎∴S2＜1=S1，‎ 故此题选A 点评：‎ 本题考查的是由一次函数确定坐标，根据坐标表示出面积并比较大小，另外还考查了二次函数的性质．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎9．如果⊙O半径为‎5cm，弦AB∥CD，且AB=‎8cm，CD=‎6cm，那么AB与CD之间的距离是　1或‎7　cm．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．2611705‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．‎ 解答：‎ 解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图①，‎ 过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴OE⊥AB，‎ ‎∵AB=‎8cm，CD=‎6cm，‎ ‎∴AE=‎4cm，CF=‎3cm，‎ ‎∵OA=OC=‎5cm，‎ ‎∴EO=‎3cm，OF=‎4cm，‎ ‎∴EF=OF﹣OE=‎1cm；‎ ‎②当弦A和CD在圆心异侧时，如图②，‎ 过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴OF⊥CD，‎ ‎∵AB=‎8cm，CD=‎6cm，‎ ‎∴AE=‎4cm，CF=‎3cm，‎ ‎∵OA=OC=‎5cm，‎ ‎∴EO=‎3cm，OF=‎4cm，‎ ‎∴EF=OF+OE=‎7cm．‎ 故答案为：1或7．‎ 点评：‎ 题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ ‎10．已知⊙O1和⊙O2相切，且圆心距为‎10cm，若⊙O1的半径为‎3cm，⊙O2的半径为　7或‎13　cm．‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系．2611705‎ 分析：‎ ‎⊙O1和⊙O2相切，有两种情况需要考虑：内切和外切．内切时，⊙O2的半径=圆心距+⊙O1的半径；外切时，⊙O2的半径=圆心距﹣⊙O1的半径．‎ 解答：‎ 解：当⊙O1和⊙O2内切时，⊙O2的半径为10+3=‎13cm；‎ 当⊙O1和⊙O2外切时，⊙O2的半径为10﹣3=‎7cm；‎ 故⊙O2的半径为7或‎13cm．‎ 点评：‎ 主要是考查两圆相切与数量关系间的联系，一定要考虑两种情况．‎ ‎　‎ ‎11．（2007•重庆）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　（3，4）或（2，4）或（8，4）　．‎ 考点：‎ 勾股定理；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．2611705‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；‎ ‎（2）OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，‎ 在直角△OPC中，CP===3，则P的坐标是（3，4）．‎ 若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，‎ 过D作DM⊥BC于点M，‎ 在直角△PDM中，PM==3，‎ 当P在M的左边时，CP=5﹣3=2，则P的坐标是（2，4）；‎ 当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．‎ 故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．‎ 点评：‎ 此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2009•北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=　　；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=　（n≥2，且n为整数）　（用含有n的式子表示）．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；勾股定理．2611705‎ 分析：‎ 先根据勾股定理求出A′N的长，根据轴对称图形分析．‎ 解答：‎ 解：由题意得BN=，A′B=1，‎ 由勾股定理求得，‎ 当M，N分别是AD，BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），‎ 即把BC分成n等份，BN占n﹣1份，‎ ‎∴BN=，CN=，‎ 在Rt△A′BN中，根据勾股定理，（n≥2，且n为整数）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了运用轴对称和勾股定理的知识进行计算的能力．解答这类题学生往往不明确A´B=AB的关系，不会借助解Rt△A´BN求解而出错．考查知识点：折叠问题、勾股定理．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎13．如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．‎ 考点：‎ 勾股定理；等腰三角形的性质．2611705‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据勾股定理可以求得直角三角形的斜边长，构成等腰三角形，则根据原直角三角形斜边长和直角边长可以确定另一个直角三角形的一条直角边长，根据这个等量关系可以解题．‎ 解答：‎ 解：图中前3个三角形均为腰长为5的等腰三角形，‎ 第4个为腰长为的等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中根据斜边分别求新直角三角形的直角边长是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；‎ ‎（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；‎ ‎（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．2611705‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；‎ ‎（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；‎ ‎（3）存在四个这样的点．‎ ‎①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；‎ ‎②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；‎ ‎③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；‎ ‎④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）；‎ 综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3‎ ‎∴A（﹣1，0）B（3，0）‎ 将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3‎ ‎∴C（2，﹣3）‎ ‎∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；‎ ‎（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）‎ 则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）‎ E（x，x2﹣2x﹣3）‎ ‎∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当时，PE的最大值=；‎ ‎（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．‎ ‎①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；‎ ‎②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；‎ ‎③如图，此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；‎ ‎④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．‎ 综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．‎ 点评：‎ 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ ‎　‎ ‎15．（2008•齐齐哈尔）一底角为60°的直角梯形，上底长为‎10cm，与底垂直的腰长为‎10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为‎15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．‎ 考点：‎ 直角梯形．2611705‎ 分析：‎ 如图，当以AB为一边时，所作三角形是△ABE；当以BC为边时有两种情况，分别是CF=15，BE=15．它们所组成的三角形都是直角三角形，面积容易求出．‎ 解答：‎ 解：①以AB为一边，当BE=‎15cm时，AB=10，AB边上的高是BC=10‎ ‎∴S△ABE=×10×10=‎50cm2；‎ ‎②当CF=‎15cm时，‎ ‎∵∠D=60°，‎ ‎∴梯形的高BC=，‎ ‎∴CD=10+．‎ ‎∵＞1.7，‎ ‎∴CD＞15.61＞15，‎ ‎∴F点可以落在下底CD上．‎ ‎∴S△BCF=1/2×15×10=‎75cm2．BC=10，S△BCF=×15×10=‎75cm2；‎ ‎③当BE=‎15cm时，CE===5，‎ ‎∴S△BCE=‎25cm2．（每种情况，图给（1分），计算结果正确（1分），共6分）‎ 点评：‎ 此题主要利用了直角三角形的面积公式，也考查了图形的变换．‎ ‎　‎ ‎16．（2007•呼伦贝尔）某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：‎ ‎（1）这次共抽调了多少人？‎ ‎（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？‎ ‎（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；频数与频率；中位数．2611705‎ 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意：结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；易得第二组的频率0.08；再由频率、频数的关系频率=；可得总人数．‎ ‎（2）根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，和（1）的结论；容易求得各组的人数，这样就能求出优秀率．‎ ‎（3）由中位数的意义，作答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）第一组的频率为1﹣0.96=0.04，‎ 第二组的频率为0.12﹣0.04=0.08，‎ 故总人数为=150（人），即这次共抽调了150人；‎ ‎（2）第一组人数为150×0.04=6（人），第三、四组人数分别为51人、45人，‎ 这次测试的优秀率为×100%=24%；‎ ‎（3）前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，而120是第四组中最小的数值，因而第75和第76都是120，所以成绩为120次的学生至少有76﹣69=7人．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数的运用和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系频率=．‎ ‎　‎ ‎17．（2009•绥化）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．‎ ‎（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？‎ ‎（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？‎ ‎（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？‎ 考点：‎ 一元一次不等式的应用；分式方程的应用．2611705‎ 专题：‎ 方案型．‎ 分析：‎ ‎（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．‎ ‎（2）关系式为：4.8≤甲种电脑总价+乙种电脑总价≤5．‎ ‎（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，所以要多进乙．‎ 解答：‎ 解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：‎ ‎．（1分）‎ 解得：m=4000．（1分）‎ 经检验，m=4000是原方程的根且符合题意．（1分）‎ 所以甲种电脑今年每台售价4000元；‎ ‎（2）设购进甲种电脑x台．则：‎ ‎48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．（2分）‎ 解得：6≤x≤10．（1分）‎ 因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；（1分）‎ ‎（3）设总获利为W元．则：‎ W=（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）=（a﹣300）x+12000﹣‎15a．（1分）‎ 当a=300时，（2）中所有方案获利相同．（1分）‎ 此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．（1分）‎ 点评：‎ 本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2010•沈阳）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．‎ ‎（1）延长MP交CN于点E（如图2）．‎ ‎①求证：△BPM≌△CPE；‎ ‎②求证：PM=PN；‎ ‎（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．‎ 考点：‎ 旋转的性质；全等三角形的判定；矩形的判定．2611705‎ 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；‎ ‎②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．‎ ‎（2）证明方法与②相同．‎ ‎（3）四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：①如图2：‎ ‎∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，‎ ‎∴∠BMA=∠CNM=90°，‎ ‎∴BM∥CN，‎ ‎∴∠MBP=∠ECP，‎ 又∵P为BC边中点，‎ ‎∴BP=CP，‎ 又∵∠BPM=∠CPE，‎ ‎∴△BPM≌△CPE，（3分）‎ ‎②∵△BPM≌△CPE，‎ ‎∴PM=PE∴PM=ME，‎ ‎∴在Rt△MNE中，PN=ME，‎ ‎∴PM=PN．（5分）‎ ‎（2）解：成立，如图3．‎ 证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，‎ ‎∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，‎ ‎∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，‎ ‎∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，（7分）‎ 又∵P为BC中点，‎ ‎∴BP=CP，‎ 又∵∠BPM=∠CPE，‎ 在△BPM和△CPE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BPM≌△CPE，‎ ‎∴PM=PE，‎ ‎∴PM=ME，‎ 则Rt△MNE中，PN=ME，‎ ‎∴PM=PN．（10分）‎ ‎（3）解：如图4，‎ 四边形M′BCN′是矩形，‎ 根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，（11分）‎ 得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．（12分）‎ 点评：‎ 本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．‎ ‎　‎