数学（理）卷·2018届福建省莆田一中高三上学期期中考试（2017

数学（理）卷·2018届福建省莆田一中高三上学期期中考试（2017

莆田一中2017-2018学年上学期期中考试卷 高三 数学（理）‎ ‎ (全卷满分150分，考试时间120分钟.)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.)‎ ‎1.设复数满足，则复数在复平面内的对应的点在（ ）‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 ‎2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（　　）‎ A．{1} B．{1，2} C．[1，2） D．[1，2]‎ ‎3. 已知，命题，命题，使得，则下列说法正确的是（ ）‎ A.p是真命题， B. p是假命题，‎ C. q是真命题， D. q是假命题，‎ ‎4.某高二（20）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（ ）‎ A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4‎ ‎5.若双曲线 的离心率为2，则（ ） ‎ A．- B．3 C．或3 D．或3‎ ‎6. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（ ）‎ ‎ A. 4 B. -5 C. 14 D. -23[来源]‎ ‎7. 已知均为正实数，若，，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 设，其中实数，满足，若的最小值为-3，则的最大值为（ ）‎ A．6 B．3 C．1 D．‎ ‎9.如图，正的中心位于点G，A，动点P从A点出发沿的边界 ‎ 按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的投影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数的图像是（ ）‎ ‎10.已知点P为椭圆 上的一点，点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|·|BM|的值为（ ）‎ A.4 B.4 C. D. ‎ ‎11.已知函数（为常数，）的图像关于直线 对称，则函数的图像（ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于点 对称 D. 关于直线对称 ‎12.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13. 设函数，则的值为________．‎ ‎14. 对于数25，规定第1次操作为，第2次操作为，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是__________.‎ ‎15.已知圆的方程为，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为、，则的范围为____________.‎ ‎16. 等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，。给出下列结论：①；②，③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于98.其中正确的结论是 . ‎ 三、（解答题：本大题共6小题，共70分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(本小题满分12分) 地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．‎ ‎ (1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)‎ ‎(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？‎ 成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 七年级 八年级 合计 附：,其中.临界值表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎18.（本小题满分12分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，‎ 且－2S2，S34S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对于数列，若存在一个区间,均有，则称为数列 的“容值区间”。设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在中，是边的中点，,.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若角，边上的中线的长为，求的面积．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知点是抛物线:的准线与对称轴的交点，‎ 是抛物线的焦点，是抛物线上一点满足，当取最小值时，点横坐标为1.‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）直线交轴于点，交抛物线于不同的两点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求证：三点共线.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎ （1）求实数a的取值范围；‎ ‎ （2）记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎ 22 (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线（为参数）与曲线交于两点，与轴交于，求．‎ ‎23 (本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 设．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ 2017-2018学年高三上学期期中考参考答案 一.选择题 ADCDDC BBCBAA 二.填空题 13. 0 14. 133 15. 16. ①②④‎ 三.解答题 ‎17. 解析 (1)七年级学生竞赛平均成绩为 ‎(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)，‎ 八年级学生竞赛平均成绩为 ‎(45×15＋55×35＋65×35＋75×15)÷100＝60(分)．‎ ‎(2)2×2列联表如下：‎ 成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 七年级 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 八年级 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ ‎∴K2＝≈8.333>6.635，‎ ‎∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．‎ ‎18.（1） ……5分 ‎（2）由（1）可知 当为偶数时，易知随增大而增大，‎ ‎∴，此时 当为奇数时，易知随增大而增小，‎ ‎∴，此时 又 ， ∴ ……11分 故数列的“容值区间”长度的最小值为 ……12分 ‎19.解：（Ⅰ）由题意可知，‎ 又 ……… 1分 所以， ……………2分 ‎ ……4分 ‎ ，‎ 又， 所以．…………………6分 ‎（Ⅱ）由（1）知，且 所以，，则 …………7分 设，则 在中由余弦定理得， …………9分 解得 ……………………10分 ‎ 故． ……………………12分 ‎20.【答案】（I）；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】（I）设，则 ‎∴当且仅当时，取得最小值.所以抛物线方程为：.‎ ‎（II）由条件可知，则. ‎ 联立，消去得，‎ ‎. ‎ 设，则 因为 ‎ 所以三点共线. ‎ ‎21、解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根； （解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点， 如右图． 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k． 令切点A（x0，lnx0）， 故，又，故，解得，x0=e， 故， 故．……4分 ‎（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点． 又， ‎ 即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0， 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减． 故g（x）极大=g（e）=； 又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0， 故g（x）的草图如右图， 可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点， 只须． ……4分 ‎（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点， 而（x＞0）， 若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增， 此时g（x）不可能有两个不同零点． 若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0， 所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=， 又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞， 于是只须：g（x）极大＞0，即，所以． 综上所述，． ……4分 ‎（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2． 由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根， 即lnx1=ax1，lnx2=ax2 所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2， 所以原式等价于． 又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即． ‎ 所以原式等价于， 因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立． 令，t∈（0，1）， 则不等式在t∈（0，1）上恒成立． ……8分 令， 又=， 当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0， 所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意． 当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2， 1）时h′（t）＜0， 所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0， 所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1． …12分 ‎22【答案】（1）（2）‎ ‎23【答案】(1) ；（2）．‎ ‎（2）‎ 当且仅当时，取等号．…………………………8分 由不等式对任意实数恒成立，可得 解得：或．‎ 故实数的取值范围是…………………………10分