高考数学理二轮专练四中档大题目五

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高考数学理二轮专练四中档大题目五

中档大题(五)‎ ‎1.(2013·高考广东卷)已知函数f(x)=cos,x∈R.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)若cos θ=,θ∈,求f.‎ ‎2.某校在筹办2013年元旦联欢会前,对学生“是喜欢曲艺还是舞蹈节目”做了一次调查,随机抽取了100名学生,相关的数据如下表所示:‎ 喜欢曲艺 喜欢舞蹈 总计 男生 ‎40‎ ‎18‎ ‎58‎ 女生 ‎15‎ ‎27‎ ‎42‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎(1)若从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名,则女生应该抽取几名?‎ ‎(2)在(1)中抽取的5名学生中任取2名,求恰有1名男生的概率.‎ ‎3.(2013·荆州市高中毕业班质量检测))如图,已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.‎ ‎(1)求证:AM=CM;‎ ‎(2)若N是PC的中点,求证:DN∥平面AMC.‎ ‎4.(2013·江南十校联考)将函数y=sin x的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的4倍,这样就得到函数f(x)的图象,若g(x)=f(x)cos x+.‎ ‎(1)将函数g(x)化成g(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A、ω>0,φ∈[-,])的形式;‎ ‎(2)若函数g(x)在[-,θ0]上的最大值为2,试求θ0的最小值.‎ ‎5.(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)一次考试中,5名学生的数学、物理成绩如下表所示:‎ 学生 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 数学x(分)‎ ‎89‎ ‎91‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ 物理y(分)‎ ‎87‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎93‎ ‎(1)要从5名学生中选2名参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率;‎ ‎(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程=bx+a.‎ 参考公式:回归直线的方程是=bx+a,其中b=,a=y-bx.‎ ‎6.(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知点(1,)是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足:Sn-Sn-1=+(n≥2).‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{cn}的通项cn=bn·()n,求数列{cn}的前n项和Rn;‎ ‎(3)若数列{}的前n项和为Tn,问Tn>的最小正整数n是多少?‎ 答案:‎ ‎1.【解】(1)因为f(x)=cos,‎ 所以f=cos=cos =×=1.‎ ‎(2)因为θ∈,cos θ=,‎ 所以sin θ=-=-=-.‎ 所以f=cos=cos ‎=× ‎=cos θ+sin θ=-=-.‎ ‎2.【解】(1)由表中数据可知,‎ 女生应该抽取27×=3(名).‎ ‎(2)记抽取的5名学生中,2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c.‎ 则从5名学生中任取2 名的所有可能的情况有10种,它们是:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c).‎ 其中恰有1名男生的情况有6种,它们是:(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b)(B,c).‎ 故所求概率为=.‎ ‎3.【证明】(1)在直角梯形ABCD中,AD=DC=AB=1,∴AC=,BC=,∴BC⊥AC.‎ 又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,‎ ‎∴BC⊥PA,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.‎ 在Rt△PAB中,M为PB的中点,则AM=PB,‎ 在Rt△PBC中,M为PB的中点,则CM=PB,‎ ‎∴AM=CM.‎ ‎(2)连接DB交AC于点F,‎ ‎∵DCAB,∴DF=FB.‎ 取PM的中点G,连接DG,FM,则DG∥FM,‎ 又DG⊄平面AMC,FM⊂平面AMC,‎ ‎∴DG∥平面AMC.‎ 连接GN,则GN∥MC,‎ ‎∴GN∥平面AMC.‎ 又GN∩DG=G,‎ ‎∴平面DNG∥平面AMC.又DN⊂平面DNG,‎ DN∩平面AMC=∅,‎ ‎∴DN∥平面AMC.‎ ‎4.【解】(1)由题意可得f(x)=4sin(x-),‎ ‎∴g(x)=4sin(x-)cos x+ ‎=4(sin x-cos x)cos x+ ‎=2(sin xcos x-cos2x)+ ‎=2sin(2x-).‎ ‎(2)∵x∈[-,θ0],∴2x-∈[-,2θ0-].‎ 要使函数g(x)在[-,θ0]上的最大值为2,‎ 当且仅当2θ0-≥,‎ 解得θ0≥,‎ ‎∴θ0的最小值为.‎ ‎5.【解】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为:(A4,A5)、(A4,A1)、(A4,A2)、(A4,A3)、(A5,A1)、(A5,A2)、(A5,A3)、(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3),共10种情况.‎ 其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有:(A4,A5)、(A4,A1)、(A4,A2)、(A4,A3)、(A5,A1)、(A5,A2)、(A5,A3),共7种情况,‎ 故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P=.‎ ‎(2)散点图如图所示.‎ 可求得:‎ x==93,‎ y==90,‎ (xi-x)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,‎ b==0.75,‎ a=-bx=20.25,‎ 故所求的线性回归方程是=0.75x+20.25.‎ ‎6.【解】(1)∵f(1)=a=,∴f(x)=()x,‎ a1=f(1)-c=-c,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-.‎ 又数列{an}成等比数列,‎ ‎∴a1===-=-c,‎ ‎∴c=1.‎ 又公比q==,‎ ‎∴an=-×()n-1=-2()n(n∈N*).‎ ‎∵Sn-Sn-1=(-)(+)=+(n≥2),bn>0,>0,∴-=1,‎ ‎∴数列{}构成一个首项为1,公差为1的等差数列,=1+(n-1)×1=n,Sn=n2.‎ 当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;‎ 又b1=c=2×1-1=1满足bn=2n-1,‎ ‎∴bn=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)∵cn=bn()n=(2n-1)()n,‎ ‎∴Rn=c1+c2+c3+…+cn,‎ Rn=1×()1+3×()2+5×()3+…+(2n-1)×()n,①‎ Rn=1×()2+3×()3+5×()4+…+(2n-3)×()n+(2n-1)×()n+1.②‎ 由①-②得,‎ Rn=+2[()2+()3+()4+…+()n]-(2n-1)×()n+1,‎ 化简得,Rn=+2×-(2n-1)×()n+1=-×()n,‎ ‎∴R n=1-.‎ ‎(3)由(1)知Tn=+++…+ ‎=+++…+ ‎=(1-)+(-)+(-)+…+(-)‎ ‎=(1-)=.‎ 由Tn=>得n>,‎ ‎∴满足Tn>的最小正整数n为72.‎
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