中考数学一轮复习 图形的变化 图形的相似

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图形的相似 第三十一讲 第六章　图形的变化 知识盘点 1 、比和比例的有关概念 2 ．比例的基本性质及定理 3 ．平行线分线段成比例定理 4 ．相似三角形的定义、判定及性质 5 、 相似多边形的性质 6 、位似图形 难点与易错点 (3) 由于运用三点定形法 时 常会碰到三点共 线 或四点中没有相同点的情况 ， 此 时 可考 虑 运用等 线 、等比或等 积进 行 变换 后 ， 再考 虑 运用三点定形法 寻 找相似三角形 ， 这 种方法就是等量代 换 法． 在 证 明比例式 时 ， 常常要用到中 间 比． 3 ． 判定两个三角形相似的技巧： (1) 先找两 对对应 角相等 ， 一般 这 个条件比 较简单 ； (2) 若只能找到一 对对应 角相等 ， 则 判断相等角的两 夹边 是否 对应 成比例； (3) 若找不到角相等 ， 就判断三 边 是否 对应 成比例； (4) 若 题 目出 现 平行 线 ， 则 直接运用基本定理得出相似的三角形． 4 ． 五种基本思路 (1) 条件中若有平行 线 ， 可采用相似三角形的基本定理； (2) 条件中若有一 对 等角 ， 可再找一 对 等角或再找 夹边 成比例； (3) 条件中若有两 边对应 成比例 ， 可找 夹 角相 等； (4) 条件中若有一 对 直角 ， 可考 虑 再找一 对 等角或 证 明斜 边 、直角 边对应 成比例； (5) 条件中若有等腰三角形 ， 可找 顶 角相等 ， 或找一 对 底角相等 ， 或找底和腰 对应 成比例． C 1 ． ( 2015 · 眉山 ) 如图 ， AD∥BE∥CF ， 直线 l 1 、 l 2 与这三条平行线分别交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F. 已知 AB ＝ 1 ， BC ＝ 3 ， DE ＝ 2 ， 则 EF 的长为 ( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 8 D 夯实基础 B 3 ． ( 2015 · 铜仁 ) 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 点 E 在边 DC 上 ， DE∶EC ＝ 3∶1 ， 连接 AE 交 BD 于点 F ， 则△ DEF 的面积与△ BAF 的面积之比为 ( ) A ． 3∶4 B ． 9∶16 C ． 9∶1 D ． 3∶1 4 ． ( 2015 · 营口 ) 如图 ， △ ABE 和△ CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形 ， 已知点 A(3 ， 4) ， 点 C(2 ， 2) ， 点 D(3 ， 1) ， 则点 D 的对应点 B 的坐标是 ( ) A ． (4 ， 2) B ． (4 ， 1) C ． (5 ， 2) D ． (5 ， 1) C B 5 ． ( 2015 · 南通 ) 如图 ， AB 为⊙ O 的直径 ， C 为⊙ O 上一点 ， 弦 AD 平分∠ BAC ， 交 BC 于点 E ， AB ＝ 6 ， AD ＝ 5 ， 则 AE 的长为 ( ) A ． 2.5 B ． 2.8 C ． 3 D ． 3.2 类型一：比例的基本性质、黄金分割 D 【 点评 】 　此 题 考 查 了比例的性 质． 此 题 比 较简单 ， 解 题 的关 键 是注意掌握比例的性 质 与比例 变 形． 典例探究 A 类型二：三角形相似的性质及判定 【 例 2 】 　 ( 2015 · 湘潭 ) 如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， △ ACD 沿 AD 折叠 ， 使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处． (1) 求证：△ BDE∽△BAC ； (2) 已知 AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 求线段 AD 的长度． 解：证明： ( 1 ) ∵∠C ＝ 90° ， △ ACD 沿 AD 折叠 ， ∴∠ C ＝ ∠ AED ＝ 90 ° ， ∴∠ DEB ＝ ∠ C ＝ 90 ° ， ∵∠ B ＝ ∠ B ， ∴△ BDE ∽△ BAC 　 【 点评 】 　本 题 考 查 了相似三角形的判定和性 质 ， 关 键 是根据 ( 1) 、折叠的性 质 ：折叠是一种 对 称 变换 ， 它属于 轴对 称 ， 根据 轴对 称的性 质 ， 折叠前后 图 形的形状和大小不 变 ， 位置 变 化 ， 对应边 和 对应 角相等； (2) 、勾股定理求解． 类型三：相似三角形综合问题 【 点评 】 　本 题 考 查 的是相似三角 形的判定与性 质 、 圆 内 接四 边 形的性 质 以及垂径定理 ， 根据 题 意判断出 △ PAD ∽△ PCB 是解答此 题 的关 键． 类型四：相似多边形与位似图形 【 例 4 】 　 ( 2015 · 漳州 ) 如图 ， 在 10×10 的正方形网格中 ， 点 A ， B ， C ， D 均在格点上 ， 以点 A 为位似中心画四边形 AB′C′D′ ， 使它与四边形 ABCD 位似 ， 且位似比为 2. (1) 在图中画出四边形 AB′C′D′ ； (2) 填空：△ AC′D′ 是 ___________ 三角形． 解： ( 1 ) 如图所示　 ( 2 ) ∵AC′ 2 ＝ 4 2 ＋ 8 2 ＝ 16 ＋ 64 ＝ 80 ， AD ′ 2 ＝ 6 2 ＋ 2 2 ＝ 36 ＋ 4 ＝ 40 ， C ′ D ′ 2 ＝ 6 2 ＋ 2 2 ＝ 36 ＋ 4 ＝ 40 ， ∴ AD ′ ＝ C′D′ ， AD ′ 2 ＋ C ′ D ′ 2 ＝ AC′ 2 ， ∴△ AC ′ D ′ 是等腰直角三角形．故答案为等腰直角 等腰直角 【 点评 】 　画位似 图 形的一般步 骤为 ： ①确定位似中心 ， ② 分 别连 接并延 长 位似中心和能代表原 图 的关 键 点； ③根据相似比 ， 确定能代表所作的位似 图 形的关 键 点； 顺 次 连 接上述各点 ， 得到放大或 缩 小的 图 形． 同 时 考 查 了勾股定理及其逆定理等知 识． 熟 练 掌握网格 结 构以及位似 变换 的定 义 是解 题 的关 键． 解： ( 1 ) 证明： ∵ 菱形 AEFG∽ 菱形 ABCD ， ∴∠ EAG ＝ ∠ BAD ， ∴∠ EAG ＋ ∠ GAB ＝ ∠ BAD ＋ ∠ GAB ， ∴∠ EAB ＝ ∠ GAD ， ∵ AE ＝ AG ， AB ＝ AD ， ∴△ AEB ≌△ AGD ， ∴ EB ＝ GD 审题视角 三角形内从两个 顶 点出 发 ， 分 别 与其 对边 相交的 线 段 ， 它 们 又相交于一点． 这时 ， 三角形的两 边 、上述两条相交 线 段均被有关分点分成不同的 线 段比 ， 这 些 线 段的比之 间 存在相互依存和制 约 的关系 ， 知道其中任意两条 线 段被分点分成的比 ， 就可以求出其他任一 线 段被分点所分成的比． 这一 问题 的解决 办 法 ， 主要是利用平行 线 ( 作 辅 助 线 ) ． 辅 助 线 的作法：主要是 过 三角形 边 上的点作欲求分比 线 段的平行 线 ， 构成两 对 相似三角形． 本 题 可以 过 点 E 作 EG ∥ CD 交 AB 于点 G ， 则 有 △ BEG ∽△ BCD ， △ ADO ∽△ AGE . 本 题 也可 过 点 D 作 AE 的平行 线 ， 同 样 也可以求得相关的比 值． 答题思路 第一步： 审题 ， 理解 问题 ， 清楚 问题 中的已知条件与未知 结论 ； 第二步： 过 三角形 边 上的点作欲求分比 线 段的平行 线 ， 构成两 对 相似三角形； 第三步：根据相似三角形的性 质 ， 得出与欲求分比 线 段相关 联 的 两 线 段的比 值 ； 第四步：根据比例的性 质 逐步求得欲求分比 线 段的比 值 ； 第五步：反思回 顾 ， 查 看关 键 点、易 错 点 ， 完善解 题 步 骤． 易错： 剖析 　 (1) 此 题 中 ， Rt △ ABC 与 Rt △ ADC 中 ， ∠ ACB ＝ ∠ ADC ＝ 90° ， ∠ B 可能与 ∠ ACD 相等 ， 也可能与 ∠ CAD 相等 ， 三角形 △ ABC 与 △ ADC 相似可能是 △ ABC ∽△ ACD 或 △ ABC ∽△ CAD . 根据 对应边 成比例 ， 有两种情况需要分 类讨论． (2) 分 类讨论 在几何中的 应 用也很广泛 ， 可以 说 整个平面几何的知 识结 构 贯 穿了分 类讨论 的思想方法． (3) 在解 题过 程中 ， 不 仅 要掌握 问题 中的条件与 结论 ， 还 要在推理的 过 程中不断地 发现题 目中的 隐 含条件 ， 以便全面、正确、迅速地解决 问题． 忽 视 已知条件 ， 实质 上是 对 概念理解不 详 、把握不准的表 现．