上海市晋元高级中学2019-2020年高二上学期9月阶段反馈数学试题

上海市晋元高级中学2019-2020年高二上学期9月阶段反馈数学试题

晋元高级中学高二数学9月阶段反馈 一、填空题 ‎1.二元一次方程组的增广矩阵为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵，故方程组的增广矩阵是，故答案为.‎ ‎2.已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比的值为____‎ ‎【答案】2或-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式及前项和为把转化成和公比的关系即可解出 ‎【详解】因为等比数列满足，所以，即 ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和为以及通项式。能够熟练的应用等比数列的前项和为以及通项式是解决本题的关键。本题属于基础题。‎ ‎3.若，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过极限的运算法则，推出的方程，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】由可得，‎ 即，‎ 所以，解得，因此.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查由极限求参数的问题，熟记极限的运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎4.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．‎ ‎【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值 而线性方程组的增广矩阵为，‎ 可直接写出线性方程组为即 把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．‎ ‎5.设数列的通项公式为，则数列的前项和为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列与等比数列的求和公式，分和两种情况讨论，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 当时，；‎ 当时，‎ 则 ‎；‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎6.已知数列满足：，，则使成立的的最大值为_______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从得到关于的通项 公式后可得的通项公式，解不等式后可得使成立的的最大值.‎ ‎【详解】易知为等差数列，首项为，公差为1，∴，‎ ‎∴，令，∴，∴.‎ 故答案为： 4‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.‎ ‎7.观察下列等式，，，，，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于可归纳出，第n个式子从n开始，有项，于是答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大.‎ ‎8.已知函数，等差数列的公差为，若，则 ‎___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数运算出，再利用等差中项的性质得出，并得出，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出的值.‎ ‎【详解】依题意有，，且.‎ 则，‎ 而，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.在数列中，，，则是这个数列的第______________项．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边取倒数，可得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，再令，解出的值即为所求结果.‎ ‎【详解】在等式两边取倒数得，‎ 所以且，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 所以，，，令，得，‎ 因此，是这个数列的第项，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求法，解题的关键就是利用倒数法求解，另外要熟悉等差数列定义的应用，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.‎ ‎【详解】当时，左边，‎ 当时，左边，‎ 观察可知，增加的项数是，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.‎ ‎11.已知四个数依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则的取值集合是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为公比不为1，所以不能删去和，设的公差为，分类讨论，即可得出结论。‎ ‎【详解】由题意若删去或，则 (舍)‎ ‎（1）若删去 ，则，，成等差数列，∴.‎ 即，∴ (舍)或或(舍)．‎ ‎（2）若删去，则，，成等差数列，∴ ，‎ 即，∴(舍)或或(舍)．‎ 综上可知或，故的取值集合为 ‎【点睛】本题主要考查等差数列中等差中项的概念及等比数列基本量的运算。‎ ‎12.用表示大于的最小整数，例如，，．已知数列满足，，则______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，等式两边取倒数得出，利用裂项法得出的表达式，再利用题中定义可得出所求结果.‎ ‎【详解】，等式两边取倒数得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，由可推出，，，‎ 对任意，，且，，‎ 则，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列求和，以及新定义，解题的关键就是结合等式的结构选择裂项法求和，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、选择题 ‎13.数列中，若，，则（ ）‎ A. 29 B. 2563 C. 2569 D. 2557‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推关系，构造等比数列，进而求得的表达式，即可求出，也就可以得到的值。‎ ‎【详解】数列中，若，，‎ 可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，‎ 所以，．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法。利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等。‎ ‎14.用数学归纳法证明：，在验证时，左边为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将直接代入，即可求出结果.‎ ‎【详解】用数学归纳法证明：，在验证时，‎ 只需令代入左边的代数式，得到左边.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于基础题型.‎ ‎15.在等比数列中，，则使不等式成立的 的最大值是（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由判断公比的范围，可得时，，当时，；然后由，结合等比数列的性质得到，从而得到，，，进一步求得当时，满足条件，得到结果.‎ ‎【详解】∵在等比数列中，，‎ ‎∴公比，∴时，；时，.‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ 又当时，，‎ ‎∴使不等式成立的的最大值为7.‎ ‎【点睛】这是一道数列和不等式的综合应用的题目，解题的关键是数列的函数特性，属于中档题目.‎ ‎16.已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】在上为奇函数，‎ 故代入得，‎ 当时，，令，则上式即为，‎ 当偶数时，‎ ‎，‎ 当奇数时，‎ ‎，‎ 综上可得，，故选C.‎ 三、解答题 ‎17.已知是等差数列的前n项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式，进行求解；‎ ‎（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.‎ ‎【详解】（1）由题意可知：，当时，，‎ 当时，，‎ 当时，显然成立，∴数列的通项公式；‎ ‎（2），‎ 由，则时，取得最大值28，‎ ‎∴当为4时，取得最大值，最大值28．‎ ‎【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.‎ ‎18.已知为数列的前项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）若，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用及可得，从而可得数列的通项.‎ ‎（2）利用分组求和可求的前项和.‎ ‎【详解】（1）由……①‎ 得……②‎ ‎①-②得 ，由得，‎ 是以2为首项,公比为2的等比数列，.‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】（1）数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎19.已知数列中，，（）.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）当时，有，当时，有.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由等差数列的定义即可证得数列是等差数列，进而取得求数列的通项公式是.‎ ‎(2)裂项求和，结合前n项和的特点可得当时，有，当时，有.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：∵，（），‎ ‎∴，即.‎ ‎∴是首项为，公差为的等差数列.‎ 从而.‎ ‎（2）∵，由（1）知.‎ ‎∴（）‎ ‎∴，‎ 而，‎ ‎∴当时，有；‎ 当时，有.‎ 点睛：注意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性.‎ 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎20.在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资增加基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：‎ ‎（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作年，则他在第年的月工资收入分别是多少?‎ ‎（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么?‎ ‎（3）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元），并说明理由.‎ ‎【答案】（1）在A公司第年收入为；在B公司连续工作年收入为；（2）应选择A公司，理由见详解；（3）827；理由见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先分别记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，‎ 根据题中条件，即可直接得出结果；‎ ‎（2）根据等差数列与等比数列的求和公式，分别计算前的和，即可得出结果；‎ ‎（3）先令，将原问题转化为求的最大值，‎ 进而可求出结果.‎ ‎【详解】（1）记该人在A公司第年收入为，在B公司连续工作年收入为，‎ 由题意可得：，，‎ ‎，；‎ ‎（2）由（1），当时，‎ 该人在A公司工资收入的总量为：‎ ‎（元）；‎ 该人在B公司工资收入的总量为：‎ ‎（元）‎ 显然A公司工资总量高，所以应选择A公司；‎ ‎（3）令，‎ 则原问题即等价于求的最大值；‎ 当时，‎ ‎，‎ 若，则，即，解得；‎ 又，所以，‎ 因此，当时，；当时，.‎ 所以是数列的最大项，（元），‎ 即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多元.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎21.设数列是等差数列，且公差为d，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.‎ ‎（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；‎ ‎（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么?‎ ‎（3）设是数列的前n项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明过程见详解；（2）不是；理由见详解；（3）存在满足题意，理由见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意得到，只需验证也是数列中的项即可；‎ ‎（2）由通项公式，得到，，验证不是数列中的项，即可判断出结果；‎ ‎（3）先假设存在这样的“封闭数列”，得到对于任意的，必存在使成立，求出为整数；分别讨论，和三种情况，根据裂项相消法，以及数列的极限运算，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）因为数列是等差数列，，‎ 所以，‎ 对任意的，‎ 有，‎ 因为，于是令，‎ 则有，‎ 所以该数列是“封闭数列”；‎ ‎（2）因，‎ 所以，，所以，‎ 令，则，所以，‎ 所以数列不是“封闭数列”.‎ ‎（3）假设存在这样“封闭数列”，因为公差，则 则对于任意的，必存在使成立，‎ 即，‎ 即为整数；‎ 又，则为正整数；‎ 若，则，则，‎ 所以 ‎；‎ 若，则，则，‎ 所以 ‎；‎ 若，则，于是 所以；‎ 综上所述，，‎ 所以，，‎ 显然，该数列是“封闭数列”.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的应用与数列的极限，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎