2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 命题及其关系 充分条件与必要条件
高考达标检测（二） 命题及其关系 充分条件与必要条件
一、选择题
1．命题“若α＝π
4
，则 tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠π
4
，则 tan α≠1 B．若α＝π
4
，则 tan α≠1
C．若 tan α≠1，则α＝π
4 D．若 tan α≠1，则α≠π
4
解析：选 D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．
所以逆否命题为：若 tan α≠1，则α≠π
4.
2．在命题“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、
否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：选 D 对于原命题：“若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，
这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集非
空时，可以有 a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选 D.
3．“直线 y＝x＋b 与圆 x2＋y2＝1 相交”是“0
e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≤1 B．a<1
C．a≥1 D．a>1
解析：选 B 由题意知∀x>e，a1，所以 a≤1，故答案为 B.
5．a2＋b2＝1 是 asin θ＋bcos θ≤1 恒成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A 因为 a2＋b2＝1，所以设 a＝cos α，b＝sin α，则 asin θ＋bcos θ＝sin(α＋
θ)≤1 恒成立；当 asin θ＋bcos θ≤1 恒成立时，只需 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2 sin(θ＋
φ)≤ a2＋b2≤1 即可，所以 a2＋b2≤1，故不满足必要性．
6．若向量 a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 若“a⊥b”，则 a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝
2x2－3x－2＝0，则 x＝2 或 x＝－1
2
；若“x＝2”，则 a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”
是“x＝2”的必要不充分条件．
7．在△ABC 中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B 在△ABC 中，当 A＝B 时，sin A－sin B＝cos B－cos A 显然成立，即必
要性成立；当 sin A－sin B＝cos B－cos A 时，则 sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可
得 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝π
2
，即充分性不成立．则在△ABC 中，“sin A－sin B
＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．
8．设 m，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( )
A．当 n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件
B．当 m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当 m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当 m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
解析：选 C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当 m⊂α时，
“m⊥β”⇒“α⊥β”；当 m⊂α时，“α⊥β” “m⊥β”，故 B 正确；当 m⊂α时，“m
∥n” “n∥α”， n 也可能在平面α内，故 C 错误；当 m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，
反之不成立，故 D 正确．
二、填空题
9．“若 a≤b，则 ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题
的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
10．下列命题正确的序号是________．
①命题“若 a>b，则 2a>2b”的否命题是真命题；
②命题“a，b 都是偶数，则 a＋b 是偶数”的逆否命题是真命题；
③若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件；
④方程 ax2＋x＋a＝0 有唯一解的充要条件是 a＝±1
2.
解析：①否命题“若 2a≤2b，则 a≤b”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；
②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；
由互为逆否命题可知，③是真命题；
④方程 ax2＋x＋a＝0 有唯一解，
则 a＝0 或 Δ＝1－4a2＝0，
a≠0，
求解可得 a＝0 或 a＝±1
2
，故④是假命题．
答案：①②③
11．已知集合 A＝ x|1
2<2x<8，x∈R ，B＝{x|－13，即 m>2.
答案：(2，＋∞)
12．给出下列四个结论：
①若 am20，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若 m2＋n 2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0 且
n≠0”；
⑤对空间任意一点 O，若满足 OP―→＝3
4 OA―→＋1
8 OB―→＋1
8 OC―→，则 P，A，B，C 四点一定共面．
其中真命题的为________．(填序号)
解析：①命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”，
故①正确；
②x＝4⇒x2－3x－4＝0；由 x2－3x－4＝0，解得 x＝－1 或 x＝4.
∴“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为“若方程 x2＋x－m＝0 有
实根，则 m>0”，是假命题，如 m＝0 时，方程 x2＋x－m＝0 有实根，故③错误；
④命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0 或
n≠0”，故④错误；
⑤∵3
4
＋1
8
＋1
8
＝1，∴对空间任意一点 O，若满足 OP―→＝3
4 OA―→＋1
8 OB―→＋1
8 OC―→，则 P，A，
B，C 四点一定共面，故⑤正确．
答案：①②⑤
2．已知 p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．
(1)若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为________；
(2)若“綈 p”是“綈 q”的充分条件，则实数 m 的取值范围为________．
解析：由题知，p 为真时，－2≤x≤6，q 为真时，1－m≤x≤1＋m，
令 P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)∵p 是 q 的充分不必要条件，∴P Q，
∴ 1－m≤－2，
1＋m>6
或 1－m<－2，
1＋m≥6，
解得 m≥5，
∴实数 m 的取值范围是[5，＋∞)．
(2)∵“綈 p”是“綈 q”的充分条件，∴“p”是“q”的必要条件，
∴Q⊆P，∴
1－m≥－2，
1＋m≤6，
m>0，
解得 0
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