2019版一轮复习理数通用版“导数及其应用”双基过关检测
“导数及其应用”双基过关检测
一、选择题
1.已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f′(1)=-1,则 a=( )
A.e B. 1
e
C.1
e2 D.1
2
解析:选 B 因为 f′(x)= 1
xln a
,所以 f′(1)= 1
ln a
=-1,所以 ln a=-1,所以 a=1
e.
2.直线 y=kx+1 与曲线 y=x2+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值为( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
解析:选 C 由曲线 y=x2+ax+b,得 y′=2x+a,
由题意可得
k+1=3,
k=2+a,
1+a+b=3,
解得
k=2,
a=0,
b=2,
所以 2a+b=2.
3.函数 y=2x3-3x2 的极值情况为( )
A.在 x=0 处取得极大值 0,但无极小值
B.在 x=1 处取得极小值-1,但无极大值
C.在 x=0 处取得极大值 0,在 x=1 处取得极小值-1
D.以上都不对
解析:选 C y′=6x2-6x,
由 y′=6x2-6x>0,可得 x>1 或 x<0,
即单调增区间是(-∞,0),(1,+∞).
由 y′=6x2-6x<0,可得 0
1,所以 m≤1.
5.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
解析:选 D 依题意得 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令 f′(x)>0,解得 x>2,
∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选 D.
6.已知函数 f(x)=x(x-m)2 在 x=1 处取得极小值,则实数 m=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选 B f(x)=x(x2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x,
所以 f′(x)=3x2-4mx+m2=(x-m)(3x-m).
由 f′(1)=0 可得 m=1 或 m=3.
当 m=3 时,f′(x)=3(x-1)(x-3),
当 13 时,f′(x)>0,此时在 x=1 处取得极大值,不合
题意,
∴m=1,此时 f′(x)=(x-1)(3x-1),
当1
31 时,f′(x)>0,
此时在 x=1 处取得极小值.选 B.
7.由曲线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 和 x 轴所围成的封闭图形的面积是( )
A.错误!(x2-1)dx
B.错误!|x2-1|dx
C.错误!(x2-1)dx
D.错误!(x2-1)dx+错误!(1-x2)dx
解析:选 B 作出封闭图形的示意图如图所示,
易得所围成的封闭图形的面积是
S=错误!(1-x2)dx+错误!(x2-1)dx=错误!|x2-1|dx.
8.若函数 f(x)= 1-2x,x≤0,
x3-3x+a,x>0
的值域为[0,+∞), 则 实 数 a
的取值范围是( )
A.[2,3] B.(2,3]
C.(-∞,2] D.(-∞,2)
解析:选 A 当 x≤0 时,0≤f(x)=1-2x<1;
当 x>0 时,f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3x2-3,
当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值 f(1)=1-3+a=a-2.
由题意得 0≤a-2≤1,解得 2≤a≤3,选 A.
二、填空题
9.若函数 f(x)=x+aln x 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是________.
解析:由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=1+a
x
,要使函数 f(x)=x+aln x 不是单调函数,
则需方程 1+a
x
=0 在(0,+∞)上有解,即 x=-a,∴a<0.
答案:(-∞,0)
10.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1)=________.
解析:∵f′(x)=1
x
-2f′(-1)x+3,
∴f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,
∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8.
答案:8
11.已知函数 f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=1
2x+3,则 f(1)+f′(1)=
________.
解析:由题意知 f′(1)=1
2
,f(1)=1
2
×1+3=7
2
,
∴f(1)+f′(1)=7
2
+1
2
=4.
答案:4
12.已知函数 g(x)满足 g(x)=g′(1)ex-1-g(0)x+1
2x2,且存在实数 x0,使得不等式
2m-1≥g(x0)成立,则实数 m 的取值范围为________.
解析:g′(x)=g′(1)ex-1-g(0)+x,
令 x=1 时,得 g′(1)=g′(1)-g(0)+1,
∴g(0)=1,g(0)=g′(1)e0-1=1,
∴g′(1)=e,
∴g(x)=ex-x+1
2x2,g′(x)=ex-1+x,
当 x<0 时,g′(x)<0,当 x>0 时,g′(x)>0,
∴当 x=0 时,函数 g(x)取得最小值 g(0)=1.
根据题意得 2m-1≥g(x)min=1,∴m≥1.
答案:[1,+∞)
三、解答题
13.已知函数 f(x)=x+a
x
+b(x≠0),其中 a,b∈R.
(1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线方程为 y=3x+1,求函数 f(x)的解析式;
(2)讨论函数 f(x)的单调性;
(3)若对于任意的 a∈
1
2
,2 ,不等式 f(x)≤10 在
1
4
,1 上恒成立,求实数 b 的取值范围.
解:(1)f′(x)=1- a
x2(x≠0),
由已知及导数的几何意义得 f′(2)=3,则 a=-8.
由切点 P(2,f(2))在直线 y=3x+1 上可得-2+b=7,解得 b=9,
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x-8
x
+9.
(2)由(1)知 f′(x)=1- a
x2(x≠0).
当 a≤0 时,显然 f′(x)>0,这时 f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数.
当 a>0 时,令 f′(x)=0,解得 x=± a,
当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,- a) - a (- a,0) (0, a) ( a,+∞)
f′(x) + 0 - - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以当 a>0 时,f(x)在(-∞,- a),( a,+∞)上是增函数,在(- a,0),(0, a)
上是减函数.
(3)由 (2)知 , 对 于 任 意的 a ∈
1
2
,2 , 不 等 式 f(x)≤10 在
1
4
,1 上 恒 成 立 等 价于
f
1
4 ≤10,
f1≤10,
即
b≤39
4
-4a,
b≤9-a
对于任意的 a∈
1
2
,2 成立,从而得 b≤7
4
,
所以实数 b 的取值范围是 -∞,7
4 .
14.已知函数 f(x)=x
4
+a
x
-ln x-3
2
,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线
垂直于直线 y=1
2x.
(1)求 a 的值;
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值.
解:(1)对 f(x)求导,得 f′(x)=1
4
- a
x2
-1
x(x>0),
由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=1
2x,
知 f′(1)=-3
4
-a=-2,解得 a=5
4.
(2)由(1)知 f(x)=x
4
+ 5
4x
-ln x-3
2
,
则 f′(x)=x2-4x-5
4x2
,
令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5.
因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;
当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+∞)内为增函数.
由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=-ln 5,无极大值.