2019版一轮复习理数通用版第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元 三角函数及其恒等变换
教材复习课 “三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过
三角函数的有关概念
[过双基]
1．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧长、扇形面积公式
设扇形的弧长为 l，圆心角大小为α(rad)，半径为 r，则 l＝|α|r，扇形的面积为 S＝1
2lr＝
1
2|α|·r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝
x，tan α＝y
x(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x 轴上，
余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做
角α的正弦线、余弦线和正切线．
(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．(2018·济南模拟)已知 sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即 1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以 sin
θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．
2．已知α是第二象限角，P(x， 5)为其终边上一点，且 cos α＝ 2
4 x，则 x＝( )
A. 3 B．± 3
C．－ 2 D．－ 3
解析：选 D 依题意得 cos α＝ x
x2＋5
＝ 2
4 x＜0，由此解得 x＝－ 3，选 D.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为
( )
A.π
3 B.π
2
C. 3 D．2
解析：选 C 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3r＝αr，故α＝ 3.
4．已知扇形的半径 r＝10 cm，圆心角α为 120°，则扇形的面积为________cm2.
解析：因为 120°＝2π
3
，由扇形的面积公式可得 S＝1
2αr2＝1
2
×2π
3
×102＝100
3 π(cm2)．
答案：100
3 π
5．在与 2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
解析：2 010°＝67
6 π＝12π－5π
6
，
∴与 2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π
6 .
答案：－5π
6
[清易错]
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角．第一类是
象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必
须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同
答案：D
2．已知点 P
3
2
，－1
2 在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.5π
6 B.2π
3
C.11π
6 D.5π
3
解析：选 C 因为点 P
3
2
，－1
2 在角θ的终边上，
所以角θ的终边在第四象限，且 tan θ＝－ 3
3 .
又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π
6 .
3．已知角α的终边在直线 3x＋4y＝0 上，则 sin α＋cos α＝________.
解析：设α终边上任一点为 P(－4a,3a)，
当 a＞0 时，r＝5a，sin α＝3
5
，cos α＝－4
5
；
当 a＜0 时，r＝－5a，sin α＝－3
5
，cos α＝4
5.
故 sin α＋cos α＝1
5
或－1
5.
答案：±1
5
三角变换公式
[过双基]
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系
tan α＝sin α
cos α.
2．诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α －α π－α π
2
－α π
2
＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α
余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝ tan α±tan β
1∓tan αtan β.
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α.
1．已知α∈
π
2
，3π
2 ，tan(α－π)＝－3
4
，则 sin α＋cos α的值是( )
A．±1
5 B.1
5 C．－1
5 D．－7
5
解析：选 C 由α∈
π
2
，3π
2 ，tan(α－π)＝tan α＝－3
4<0，得α∈
π
2
，π ，sin α＝－3
4cos α，
代入 sin2α＋cos2α＝1，解得 sin α＝3
5
，cos α＝－4
5
，则 sin α＋cos α＝－1
5.
2．已知 sin
π
2
－α ＝3
5
，则 cos(π－2α)的值为( )
A.24
25 B. 7
25
C．－ 7
25 D．－24
25
解析：选 B 由 sin
π
2
－α ＝3
5
，可得 cos α＝3
5
，则 cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝ 7
25.
3．已知 cos
π
6
－α ＝ 3
3
，则 sin
π
3
＋α ＝________.
解析：因为 cos
π
6
－α ＝ 3
3
，所以 sin
π
3
＋α ＝sinπ
2
－
π
6
－α ＝cos
π
6
－α ＝ 3
3 .
答案： 3
3
4．已知 tan α＝2，则 sin α＋cos α
2sin α＋cos α
＝________.
解析：因为 tan α＝2，所以原式＝ sin α＋cos α
2sin α＋cos α
＝ tan α＋1
2tan α＋1
＝3
5.
答案：3
5
5．计算： sin250°
1＋sin 10°
＝________.
解析： sin250°
1＋sin 10°
＝ 1－cos 100°
21＋sin 10°
＝1－cos90°＋10°
21＋sin 10°
＝ 1＋sin 10°
21＋sin 10°
＝1
2.
答案：1
2
[清易错]
1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确
定．
2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
1．已知α∈
π
2
，π ，sin α＋cos α＝ 3
3
，则 cos(2 018π－2α)＝( )
A．± 6
3 B．－ 5
3
C．－ 6
3 D．± 5
3
解析：选 B 将 sin α＋cos α＝ 3
3
两边平方，化简可得 sin 2α＝－2
3
，
因为α∈
π
2
，π ，sin α＋cos α＝ 3
3 >0，
所以α∈
π
2
，3π
4 ，2α∈ π，3π
2 ，所以 cos 2α<0，
则 cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－ 1－sin22α＝－ 5
3 .
2．若 cos α＋π
4 ＝1
3
，α∈ 0，π
2 ，则 sin α的值为( )
A.4－ 2
6 B.4＋ 2
6
C. 7
18 D. 2
3
解析：选 A 由 cos α＋π
4 ＝1
3
，α∈ 0，π
2 ，可得 sin α＋π
4 ＝2 2
3
，
则 sin α＝sin
α＋π
4 －π
4 ＝2 2
3
× 2
2
－1
3
× 2
2
＝4－ 2
6
.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
[过双基]
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R x≠kπ＋π
2
，k∈Z
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 递增区间：
递增区间：[2kπ－π，
2kπ] (k∈Z) 递减区
递增区间
2kπ－π
2
， 2kπ＋π
2 (
k∈Z) 递减区间：
2kπ＋π
2
，
2kπ＋3π
2 (k∈Z)
间：[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
kπ－π
2
，kπ＋π
2 (k∈
Z)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性
对称中心(kπ，0)(k∈Z)
对称中心
kπ＋π
2
，0 (k∈Z)
对称中心
kπ
2
，0 (k∈
Z)
对称轴：x＝kπ＋π
2
(k∈Z)
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
周期 2π 2π π
1．函数 y＝1－2sin22x 的最小正周期是( )
A.π
4 B.π
2
C.2π
3 D．π
解析：选 B 因为函数 y＝1－2sin22x＝cos 4x，所以函数的最小正周期 T＝π
2.
2．若函数 f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间 0，π
3 上的最大值为 1，则ω＝( )
A.1
4 B.1
3
C.1
2 D. 3
2
解析：选 C 因为 x∈ 0，π
3 ，所以ωx∈ 0，ωπ
3 ，又因为函数 f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在
区间 0，π
3 上的最大值为 1，所以ωπ
3
＝π
6
，则ω＝1
2.
3．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π
4 (ω>0)的最小正周期为π，则 f
π
8 ＝( )
A．1 B.1
2
C．－1 D．－1
2
解析：选 A 由题设知2π
ω
＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin 2x＋π
4 ，所以 f
π
8 ＝sin 2×π
8
＋π
4 ＝
sin π
2
＝1.
4．(2018·杭州模拟)若函数 f(x)＝sinx＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.π
2 B.2π
3
C.3π
2 D.5π
3
解析：选 C 由已知 f(x)＝sin x＋φ
3
是偶函数，可得φ
3
＝kπ＋π
2(k∈Z)，即φ＝3kπ＋3π
2 (k
∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π
2 .
5．若函数 f(x)＝sin ω x(ω>0)在区间 0，π
3 上单调递增，在区间
π
3
，π
2 上单调递减，则ω
等于( )
A.2
3 B.3
2
C．2 D．3
解析：选 B ∵f(x)＝sin ω x(ω>0)过原点，
∴当 0≤ωx≤π
2
，即 0≤x≤ π
2ω
时，y＝sin ωx 是增函数；
当π
2
≤ωx ≤3π
2
，即 π
2ω
≤x ≤3π
2ω
时，y＝sin ωx 是减函数．
由 f(x)＝sin ωx(ω>0)在 0，π
3 上单调递增，
在
π
3
，π
2 上单调递减知， π
2ω
＝π
3
，∴ω＝3
2.
[清易错]
1．正切函数的图象是由直线 x＝kπ＋π
2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是
－π
2
＋kπ，π
2
＋kπ ，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如π
4<3π
4
，但是 tanπ
4>tan3π
4
，
正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
1．(2018·石家庄一模)函数 f(x)＝tan 2x－π
3 的单调递增区间是( )
A.
kπ
2
－ π
12
，kπ
2
＋5π
12 (k∈Z)
B.
kπ
2
－ π
12
，kπ
2
＋5π
12 (k∈Z)
C. kπ－ π
12
，kπ＋5π
12 (k∈Z)
D. kπ＋π
6
，kπ＋2π
3 (k∈Z)
解析：选 B 由 kπ－π
2
＜2x－π
3
＜kπ＋π
2(k∈Z)得，kπ
2
－ π
12
＜x＜kπ
2
＋5π
12(k∈Z)，所以函数
f(x)＝tan 2x－π
3 的单调递增区间为
kπ
2
－ π
12
，kπ
2
＋5π
12 (k∈Z)．
2．函数 f(x)＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的单调递增区间是________________．
解析：f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
令 2kπ＋π
2
≤2x≤2kπ＋3π
2
，k∈Z，
得 kπ＋π
4
≤x≤kπ＋3π
4
，k∈Z，
所以函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间是
π
4
，3π
4 ，
5π
4
，7π
4 .
答案：
π
4
，3π
4 ，
5π
4
，7π
4
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
[过双基]
1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x －φ
ω
－φ
ω
＋ π
2ω
3π
2ω
－φ
ω
ωx＋φ
y＝Asin(ωx
＋φ)
0 A 0 －A 0
2．函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
法一 法二
1．函数 y＝sin 2x－π
3 在区间 －π
2
，π 上的简图是( )
解析：选 A 令 x＝0，得 y＝sin
－π
3 ＝－ 3
2
，排除 B、D.由 f
－π
3 ＝0，f
π
6 ＝0，排除
C，故选 A.
2．将函数 y＝sin 2x 的图象先向左平移π
6
个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到
的函数解析式是( )
A．y＝sin 2x－π
6 ＋1 B．y＝sin 2x＋π
3 ＋1
C．y＝sin 2x＋π
6 ＋1 D．y＝sin 2x－π
3 ＋1
解析：选 B 由题意可得函数的解析式为
y＝sin 2 x＋π
6 ＋1＝sin 2x＋π
3 ＋1.
3.函数 f(x)＝3 3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，点 A，B 是图象
的最高点，点 C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则 f(1)＋f(2)＋
f(3)的值为( )
A.9
2 B.9 3
2
C．9 3＋1 D.9 3＋1
2
解析：选 D 因为△ABC 是正三角形，
所以△ABC 的高是 6 3，
则△ABC 的边长是 12，
即函数 f(x)＝3 3sin ωx(ω>0)的周期为 12，
所以ω＝π
6
，f(x)＝3 3sin π
6x，
所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＝3 3sin π
6
＋3 3sin π
3
＋3 3sin π
2
＝9 3＋1
2
.
4.如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ) x∈R，A>0，ω>0，0<φ<π
2 在区
间 －π
6
，5π
6 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将 y＝sin x(x
∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
B．向左平移π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变
C．向左平移π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
D．向左平移π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变
解析：选 D 由图象可知，A＝1，周期 T＝π，所以ω＝2，又 sin 2×π
3
＋φ ＝0 且 0<φ<π
2
，
所以φ＝π
3
，则 y＝sin 2x＋π
3 ，由图象变换可知选 D.
[清易错]
1．由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为|φ
ω|，而不
是|φ|.
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名
函数．
1．要得到函数 y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数 y＝cos 2x 的图象( )
A．向左平移 1 个单位 B．向右平移 1 个单位
C．向左平移1
2
个单位 D．向右平移1
2
个单位
解析：选 C ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2 x＋1
2 ，
∴只要将函数 y＝cos 2x 的图象向左平移1
2
个单位即可．
2．函数 y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π
2
个单位后，与函数 y＝sin 2x＋π
3 的
图象重合，则φ＝________.
解析：将 y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π
2
个单位后得到 y＝cos 2 x－π
2 ＋φ 的图象，化
简得 y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为 y＝sin 2x＋φ－π
2 .由题意可知φ－π
2
＝π
3
＋2kπ(k∈Z)，所
以φ＝5π
6
＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π
6 .
答案：5π
6
一、选择题
1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位
圆 O 于点 P，若∠AOP＝θ，则点 P 的坐标是( )
A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
解析：选 A 由三角函数的定义知 xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选 A.
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于 x 轴对称 D．关于 y 轴对称
解析：选 C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．
又角θ与－θ的终边关于 x 轴对称．
∴角α与β的终边关于 x 轴对称．
3．已知 sin
π
2
＋α ＝1
2
，α∈ －π
2
，0 ，则 cos α－π
3 的值是( )
A.1
2 B.2
3
C．－1
2 D．1
解析：选 C 由已知得 cos α＝1
2
，sin α＝－ 3
2
，
∴cos α－π
3 ＝1
2cos α＋ 3
2 sin α＝－1
2.
4．(2018·淄博调研)已知 tan α＝2，则 sin2α－sin αcos α的值是( )
A.2
5 B．－2
5
C．－2 D．2
解析：选 A sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝tan2α－tan α
tan2α＋1
，把 tan α＝2 代入，原
式＝2
5.
5．设函数 f(x)＝sin 2x－π
2 ，x∈R，则 f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π
2
的奇函数
D．最小正周期为π
2
的偶函数
解析：选 B ∵f(x)＝sin 2x－π
2 ＝－cos 2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
6．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π
3 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于直线 x＝π
3
对称 B．关于点
π
3
，0 对称
C．关于直线 x＝－π
6
对称 D．关于点
π
6
，0 对称
解析：选 B ∵f(x)＝sin ωx＋π
3 (ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即 f(x)＝sin 2x＋π
3 .
经验证可知 f
π
3 ＝sin
2π
3
＋π
3 ＝sin π＝0，
即
π
3
，0 是函数 f(x)的一个对称点．
7．将函数 y＝3sin 2x＋π
3 的图象向右平移π
2
个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在区间
π
12
，7π
12 上单调递减
B．在区间
π
12
，7π
12 上单调递增
C．在区间 －π
6
，π
3 上单调递减
D．在区间 －π
6
，π
3 上单调递增
解析：选 B 平移后的函数为 y＝3sin 2 x－π
2 ＋π
3 ＝3sin 2x－2π
3 ，增区间：－π
2
＋
2kπ≤2x－2π
3
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，即 π
12
＋kπ≤x≤7π
12
＋kπ，k∈Z，令 k＝0 时， π
12
≤x≤7π
12
，故
所得图象对应的函数在
π
12
，7π
12 上单调递增，在 －π
6
，π
3 上不单调，
故选 B.
8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，
ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )
A．函数 f(x)的最小正周期为2π
3
B．函数 f(x)的图象可由 g(x)＝Acos ωx 的图象向右平移 π
12
个单位长度得到
C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π
12
对称
D．函数 f(x)在区间
π
4
，π
2 上单调递增
解析：选 D 函数的最小正周期 T＝2
11π
12
－7π
12 ＝2π
3
，选项 A 正确；由 T＝2π
3
得ω＝3.
又 f
7π
12 ＝Acos
7π
4
＋φ ＝0，所以φ＝kπ－5π
4 (k∈Z)．又 f
π
2 ＝Acos
3π
2
＋φ ＝Asin φ＝－2
3
，
所以 sin φ<0，φ＝－π
4
＋2kπ(k∈Z)，即 f(x)＝Acos 3x－π
4 ，函数 g(x)＝Acos 3x 的图象向右平
移 π
12
个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为 y＝g x－ π
12 ＝Acos 3 x－ π
12 ＝
Acos 3x－π
4 ＝f(x)，选项 B 正确；当 x＝ π
12
时，f(x)＝A，因此函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π
12
对称，选项 C 正确；当 x∈
π
4
，π
2 时，3x－π
4
∈
π
2
，5π
4 ，故函数 f(x)在
π
4
，π
2 上不是单调递
增的，选项 D 错误．
二、填空题
9．函数 f(x)＝sin x－4sin3x
2cos x
2
的最小正周期为________．
解析：f(x)＝sin x－2sin2x
2sin x＝sin xcos x＝1
2sin 2x，所以函数的最小正周期 T＝π.
答案：π
10．在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点 A，
且点 A 的横坐标为 5
13
，则 tan π－α
2 的值为________．
解析：由题意知 cos α＝ 5
13
，因为α为锐角，
所以 cosα
2
＝ 1＋cos α
2
＝ 3
13
，
sinα
2
＝ 1－cos2α
2
＝ 2
13
，
所以 tan π－α
2 ＝－tanα
2
＝－
sinα
2
cosα
2
＝－2
3.
答案：－2
3
11．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π
2 的部分图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知 A＝1，T＝4
7π
12
－π
3 ＝π，
故ω＝2，再由 2×π
3
＋φ＝π
2
，得φ＝－π
6.
答案：－π
6
12．函数 f(x)＝log2
1＋sin 2x
sin x＋cos x
的最大值为________．
解析：因为 1＋sin 2x
sin x＋cos x
＝sin x＋cos x2
sin x＋cos x
＝sin x＋cos x＝ 2sin x＋π
4 ∈(0， 2]，
又因为函数 y＝log2x 是增函数，
所以，当 1＋sin 2x
sin x＋cos x
＝ 2时，函数 f(x)＝log2
1＋sin 2x
sin x＋cos x
取得最大值为1
2.
答案：1
2
三、解答题
13．设函数 f(x)＝3sin ωx＋π
6 (ω>0，x∈R)的最小正周期为π
2.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)利用“五点作图法”，画出 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(3)已知 f
α
4
＋ π
12 ＝9
5
，求 cos α的值．
解：(1)∵T＝2π
ω
＝π
2
⇒ω＝4，
∴f(x)＝3sin 4x＋π
6 .
(2)列表：
4x＋π
6 0 π 2π
x － π
24
f(x) 0 3 0 －3 0
图象如图所示：
(3)∵f
α
4
＋ π
12 ＝3sin 4
α
4
＋ π
12 ＋π
6
＝3sin α＋π
2 ＝3cos α＝9
5
，∴cos α＝3
5.
14．已知向量 m＝ 3sin x
4
，1 ，n＝ cos x
4
，cos2x
4 ，记 f(x)＝m·n.
(1)若 f(x)＝1，求 cos x＋π
3 的值；
(2)在锐角△ABC 中，(2a－c)cos B＝bcos C，求 f(2A)的取值范围．
解：(1)f(x)＝m·n＝ 3sin x
4cos x
4
＋cos2x
4
＝ 3
2 sin x
2
＋1
2cosx
2
＋1
2
＝sin
x
2
＋π
6 ＋1
2
，
由 f(x)＝1，得 sin
x
2
＋π
6 ＝1
2
，
所以 cos x＋π
3 ＝1－2sin2
x
2
＋π
6 ＝1
2.
(2)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以 2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，
所以 2sin Acos B＝sin(B＋C)，因为 A＋B＋C＝π，
所以 sin(B＋C)＝sin A，且 sin A≠0，所以 cos B＝1
2
，
又 0
0)图象上最高点的纵坐标为
2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求 a 和ω的值；
(2)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin ωx＋π
6 ＋a
＝4cos ωx· 3
2 sin ωx＋1
2cos ωx＋a
＝2 3sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝ 3sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a
＝2sin2ωx＋π
6
＋1＋a.
当 sin 2ωx＋π
6 ＝1 时，f(x)取得最大值 2＋1＋a＝3＋a，
又 f(x)图象上最高点的纵坐标为 2，∴3＋a＝2，
∴a＝－1.
又 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期 T＝π，∴2ω＝2π
T
＝2，∴
ω＝1.
(2)由(1)得 f(x)＝2sin 2x＋π
6 ，
由π
2
＋2kπ≤2x＋π
6
≤3π
2
＋2kπ，k∈Z，
得π
6
＋kπ≤x≤2π
3
＋kπ，k∈Z.
令 k＝0，得π
6
≤x≤2π
3
，
∴函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间为
π
6
，2π
3 .
高考研究课(一)
三角函数的 3 个基本考点——定义、公式和关系
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
三角函数的定义 5 年 2 考 用三角函数的定义求值
同角三角函数基本关系式 5 年 2 考 求值
诱导公式 5 年 1 考 变角求值
三角函数的定义
[典例] (1)点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π
3
弧长到达点 Q，则点 Q
的坐标为________．
(2)已知角α的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sin α＝ 2m
4
，求 cos α，tan α的值．
[解析] (1)设点 A(－1,0)，点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π
3
弧长到达
点 Q，则∠AOQ＝8π
3
－2π＝2π
3 (O 为坐标原点)，所以∠xOQ＝π
3
，cosπ
3
＝1
2
，sinπ
3
＝ 3
2
，所以
点 Q 的坐标为
1
2
， 3
2 .
答案：
1
2
， 3
2
(2)由题设知 x＝－ 3，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，r＝ 3＋m2.
∴sin α＝m
r
＝ 2m
4
＝ m
2 2
，
∴r＝ 3＋m2＝2 2，
即 3＋m2＝8，解得 m＝± 5.
当 m＝ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝ 5，
∴cos α＝－ 3
2 2
＝－ 6
4
， tan α＝－ 15
3
；
当 m＝－ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝－ 5，
∴cos α＝－ 3
2 2
＝－ 6
4
， tan α＝ 15
3 .
[方法技巧]
(1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点 P 的坐标中的参数值，可根据定义中
的两个量列方程求参数值．
(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某
特定点的坐标．
[即时演练]
1．已知角α终边与单位圆 x2＋y2＝1 的交点为 P
1
2
，y ，则 sin
π
2
＋2α ＝( )
A．－1
2 B.1
2
C．－ 3
2 D．1
解析：选 A 因为角α终边与单位圆 x2＋y2＝1 的交点为 P
1
2
，y ，所以 cos α＝1
2
，
所以 sin
π
2
＋2α ＝cos 2α＝2cos2α－1＝－1
2.
2．在平面直角坐标系中，点 M(3，m)在角α的终边上，点 N(2m，4)在角α＋π
4
的终边上，
则 m＝( )
A．－6 或 1 B．－1 或 6
C．6 D．1
解析：选 A 由题意得，tan α＝m
3
，tan α＋π
4 ＝ 4
2m
＝2
m
，∴2
m
＝
1＋m
3
1－m
3
，∴m＝－6 或 1.
诱导公式
[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知 sin
7π
12
＋α ＝2
3
，则 cos α－11π
12 ＝________；
(2)化简： 1－2sin 40°cos 40°
cos 40°－ 1－sin250°
＝________.
[解析] (1)cos α－11π
12 ＝cos
11π
12
－α
＝cos π－
π
12
＋α ＝－cos
π
12
＋α ，
而 sin
7π
12
＋α ＝sin
π
2
＋
π
12
＋α
＝cos
π
12
＋α ＝2
3
，
所以 cos α－11π
12 ＝－2
3.
(2)原式＝ sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°
cos 40°－ cos250°
＝ |sin 40°－cos 40°|
cos 40°－cos 50°
＝cos 40°－sin 40°
cos 40°－sin 40°
＝1.
[答案] (1)－2
3 (2)1
[方法技巧]
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
思路方法：
(1)分析结构特点，选择恰当公式；
(2)利用公式化成单角三角函数；
(3)整理得最简形式．
化简要求：
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[即时演练]
1．已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 017)的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选 D ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
即 f(2 017)＝－3.
2 ． 已 知 sin α 是 方 程 5x2 － 7x － 6 ＝ 0 的 根 ， α 是 第 三 象 限 角 ， 则
sin
－α－3π
2 cos
3π
2
－α
cos
π
2
－α sin
π
2
＋α ·tan2(π－α)＝________.
解析：∵方程 5x2－7x－6＝0 的根为－3
5
或 2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－3
5
，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－4
5
，
∴tan α＝sin α
cos α
＝3
4
，
∴原式＝cos α－sin α
sin αcos α ·tan2α＝－tan2α＝－ 9
16.
答案：－ 9
16
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档
题.,常见的命题角度有：
1知弦求弦、切问题；
2知切求弦问题；
3sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题；
4已知 tan α，求 fsin α，cos α值问题.
角度一：知弦求弦、切问题
1．已知 cos α＝k，α∈
π
2
，π ，则 sin(π＋α)＝( )
A．－ 1－k2 B. 1－k2
C．± 1－k2 D．－k
解析：选 A 由 cos α＝k，α∈
π
2
，π ，得 sin α＝ 1－k2，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－ 1－k2，故选 A.
2．已知 sin α＋π
3 ＝－1
2
，α∈(0，π)，则 cos α＝( )
A.1
2 B．－1
2
C. 3
2 D．－ 3
2
解析：选 D 因为α∈(0，π)，所以α＋π
3
∈
π
3
，4π
3 ，
又因为 sin α＋π
3 ＝－1
2
，所以α＋π
3
＝7π
6
，即α＝5π
6
，
则 cos α＝－ 3
2 .
角度二：知切求弦问题
3．已知 tan(α－π)＝3
4
，且α∈
π
2
，3π
2 ，则 sin α＋π
2 ＝( )
A.4
5 B．－4
5
C.3
5 D．－3
5
解析：选 B 由 tan(α－π)＝3
4
，得 tan α＝3
4
，
又因为α∈
π
2
，3π
2 ，所以α为第三象限角，
所以 sin α＝－3
5
，cos α＝－4
5.
所以 sin α＋π
2 ＝cos α＝－4
5.
角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题
4．(2018·揭阳模拟)已知 sin αcos α＝1
8
，且5π
4
＜α＜3π
2
，则 cos α－sin α的值为( )
A．－ 3
2 B. 3
2
C．－3
4 D.3
4
解析：选 B ∵5π
4
＜α＜3π
2
，∴cos α＜0，sin α＜0 且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×1
8
＝3
4
，
∴cos α－sin α＝ 3
2 .
5．已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 2
3
π
2
＜α＜π ，则 sin α－cos α＝________.
解析：由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 2
3
，
得 sin α＋cos α＝ 2
3
，
将式子两边平方得 1＋2sin αcos α＝2
9
，
故 2sin αcos α＝－7
9.
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－ －7
9 ＝16
9 .
又∵π
2
＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.
∴sin α－cos α＝4
3.
答案：4
3
角度四：已知 tan α，求 f(sin α，cos α)值问题
6．已知α是三角形的内角，且 tan α＝－1
3
， 则 sin α＋cos α＝________.
解析：由 tan α＝－1
3
，得 sin α＝ －1
3cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得 10
9 cos2α＝1，∴cos2α＝ 9
10
，易知 cos α＜0，
∴cos α＝－3 10
10
， sin α＝ 10
10
，
故 sin α＋cos α＝－ 10
5 .
答案：－ 10
5
7．已知 tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2α
cos 2β
的值为________．
解析：sin 2α
cos 2β
＝sin[α＋β＋α－β]
cos[α＋β－α－β]
＝sinα＋βcosα－β＋cosα＋βsinα－β
cosα＋βcosα－β＋sinα＋βsinα－β
＝ tanα＋β＋tanα－β
1＋tanα＋βtanα－β
＝ 2＋3
1＋2×3
＝5
7.
答案：5
7
[方法技巧]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦
互化
主要利用公式 tan θ＝sin θ
cos θ
化成正
弦、余弦，或者利用公式sin θ
cos θ
＝tan θ
化成正切
表达式中含有 sin θ，cos θ与
tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝
tanπ
4
＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的
关系进行变形、转化
表达式中含有 sin θ±cos θ或
sin θcos θ
1．(2016·全国卷Ⅲ)若 tan α＝3
4
，则 cos2α＋2sin 2α＝( )
A.64
25 B.48
25
C．1 D.16
25
解析：选 A 因为 tan α＝3
4
，所以 cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝1＋4tan α
tan2α＋1
＝
1＋4×3
4
3
4 2＋1
＝64
25.
2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则 cos α＝( )
A.4
5 B.3
5
C．－3
5 D．－4
5
解析：选 D 记 P(－4,3)，则 x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝ －42＋32＝5，故 cos α＝x
r
＝－4
5
＝－4
5.
3．(2014·全国卷Ⅰ)若 tan α>0，则( )
A．sin 2α>0 B．cos α>0
C．sin α>0 D．cos 2α>0
解析：选 A 由 tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，
sin 2α＝2sin αcos α>0，故选 A.
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且 sin θ＋π
4 ＝3
5
，则 tan θ－π
4 ＝________.
解析：由题意知 sin θ＋π
4 ＝3
5
，θ是第四象限角，
所以 cos θ＋π
4 ＞0，
所以 cos θ＋π
4 ＝ 1－sin2 θ＋π
4 ＝4
5.
tan θ－π
4 ＝tan θ＋π
4
－π
2
＝－
sin
π
2
－ θ＋π
4
cos
π
2
－ θ＋π
4
＝－
cos θ＋π
4
sin θ＋π
4
＝－4
5
×5
3
＝－4
3.
答案：－4
3
一、选择题
1.如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 B，C 在圆 O 上，且
B
4
5
，－3
5 ，点 C 在第一象限，∠AOC＝α，BC＝1，则 cos
5π
6
－α ＝
( )
A．－4
5 B．－3
5
C.3
5 D.4
5
解析：选 B 由已知可得 OB＝1，即圆 O 的半径为 1，
又因为 BC＝1，所以△OBC 是等边三角形，
所以 cos
5π
6
－α ＝cos
π
2
＋
π
3
－α
＝－sin
π
3
－α ＝－sin∠BOA＝－3
5.
2．(2018·江西六校联考)点 A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 C 因为 sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°)
＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°)
＝－cos 38°＜0，
所以点 A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限．
3．若 sin θcos θ＝1
2
，则 tan θ＋cos θ
sin θ
的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.1
2
解析：选 B tan θ＋cos θ
sin θ
＝sin θ
cos θ
＋cos θ
sin θ
＝ 1
cos θsin θ
＝2.
4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°
sin－190°
＝( )
A．－ 3 B．－ 3
2
C. 3
2 D. 3
解析：选 D 原式＝cos360°－10°－2sin180°－20°
－sin180°＋10°
＝cos 10°－2sin30°－10°
－－sin 10°
＝cos 10°－2
1
2cos 10°－ 3
2 sin 10°
sin 10°
＝ 3sin 10°
sin 10°
＝ 3.
5．已知 A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针
旋转 30°，交单位圆于点 B(xB，yB)，则 xA－yB 的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－ 2， 2]
C．[－1,1] D.
－1
2
，1
2
解析：选 C 设沿 x 轴正方向逆时针旋转到射线 OA 的角为α，根据三角函数的定义得
xA＝cos α，yB＝sin(α＋30°)，所以 xA－yB＝cos α－sin(α＋30°)＝－ 3
2 sin α＋1
2cos α＝sin(α＋
150°)∈[－1,1]．
6．(2018·日照模拟)已知－π
2
＜α＜0，sin α＋cos α＝1
5
，则 1
cos2α－sin2α
的值为( )
A.7
5 B. 7
25
C.25
7 D.24
25
解析：选 C ∵sin α＋cos α＝1
5
，∴1＋sin 2α＝ 1
25
，即 sin 2α＝－24
25
，又∵－π
2<α<0，∴
cos α－sin α>0.
∴cos α－sin α＝ 1－sin 2α＝7
5
，
∴ 1
cos2α－sin2α
＝ 1
cos α＋sin αcos α－sin α
＝25
7 .
二、填空题
7．若 tan α＝3，则
sinα－π＋cosπ－α
sin
π
2
－α ＋cos
π
2
＋α
＝________.
解析：因为 tan α＝3，所以
sinα－π＋cosπ－α
sin
π
2
－α ＋cos
π
2
＋α
＝－sin α－cos α
cos α－sin α
＝tan α＋1
tan α－1
＝2.
答案：2
8．(2018·枣庄模拟)已知 cos
π
6
－θ ＝a(|a|≤1)，则 cos
5π
6
＋θ ＋sin
2π
3
－θ 的值是
________．
解析：由题意知，cos
5π
6
＋θ ＝cos π－
π
6
－θ
＝－cos
π
6
－θ ＝－a.
sin
2π
3
－θ ＝sin
π
2
＋
π
6
－θ
＝cos
π
6
－θ ＝a，
∴cos
5π
6
＋θ ＋sin
2π
3
－θ ＝0.
答案：0
9．(2018·成都一诊)在直角坐标系 xOy 中，已知任意角θ以坐标原点 O 为顶点，以 x 轴
的非负半轴为始边，若其终边经过点 P(x0，y0)，且 OP＝r(r＞0)，定义：sicos θ＝y0－x0
r
，称
“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若 sicos θ＝0，则 sin 2θ－π
3 ＝________.
解析：因为 sicos θ＝0，所以 y0＝x0，所以θ的终边在直线 y＝x 上，所以当θ＝2kπ＋π
4
，
k∈Z 时，sin 2θ－π
3 ＝sin 4kπ＋π
2
－π
3 ＝cosπ
3
＝1
2
；当θ＝2kπ＋5π
4
，k∈Z 时，sin 2θ－π
3 ＝
sin 4kπ＋5π
2
－π
3 ＝cosπ
3
＝1
2.综上得 sin 2θ－π
3 ＝1
2.
答案：1
2
三、解答题
10．已知角α的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋ 3
cos α
的值．
解：设α终边上任一点为 P(k，－3k)，
则 r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
当 k＞0 时，r＝ 10k，
∴sin α＝－3k
10k
＝－ 3
10
， 1
cos α
＝ 10k
k
＝ 10，
∴10sin α＋ 3
cos α
＝－3 10＋3 10＝0；
当 k＜0 时，r＝－ 10k，∴sin α＝ －3k
－ 10k
＝ 3
10
，
1
cos α
＝－ 10k
k
＝－ 10，
∴10sin α＋ 3
cos α
＝3 10－3 10＝0.
综上，10sin α＋ 3
cos α
＝0.
11．已知 cos(α－7π)＝－3
5
，求 sin(3π＋α)·tan α－7π
2 的值．
解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α
＝－3
5
，∴cos α＝3
5.
∴sin(3π＋α)·tan α－7π
2
＝sin(π＋α)· －tan
7π
2
－α
＝sin α·tan
π
2
－α ＝sin α·
sin
π
2
－α
cos
π
2
－α
＝sin α·cos α
sin α
＝cos α＝3
5.
12．已知α为第三象限角，
f(α)＝sin α－π
2 ·cos
3π
2
＋α ·tanπ－α
tan－α－π·sin－α－π .
(1)化简 f(α)；
(2)若 cos α－3π
2 ＝1
5
，求 f(α)的值．
解：(1)f(α)＝sin α－π
2 ·cos
3π
2
＋α ·tanπ－α
tan－α－π·sin－α－π
＝－cos α·sin α·－tan α
－tan α·sin α
＝－cos α.
(2)∵cos α－3π
2 ＝1
5
，∴－sin α＝1
5
，
从而 sin α＝－1
5.
又α为第三象限角，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6
5
，
∴f(α)＝－cos α＝2 6
5 .
1．若 sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则 cos β的值为( )
A. 1－m2 B．－ 1－m2
C. m2－1 D．－ m2－1
解析：选 B 因为 m＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)，所
以 sin β＝－m.因为β为第三象限角，所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－m2.
2．化简cos2nπ＋x·sin2nπ－x
cos2[2n＋1π－x]
(n∈Z)的结果为________．
解析：当 n 为偶数，即 n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cos22kπ＋x·sin22kπ－x
cos2[2×2k＋1π－x]
＝cos2x·sin2－x
cos2π－x
＝cos2x·－sin x2
－cos x2
＝sin2x；
当 n 为奇数，即 n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x]
cos2{[2×2k＋1＋1]π－x}
＝cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x]
cos2[2×2k＋1π＋π－x]
＝cos2π＋x·sin2π－x
cos2π－x
＝－cos x2sin2x
－cos x2
＝sin2x，
故化简的结果为 sin2x.
答案：sin2x
高考研究课(二)
三角函数的 1 个常考点——图象与性质
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
三角函数的图象与性质 5 年 3 考
由单调性求参数、求单调区间与周期、对称性问题，
三角函数性质的综合问题
三角函数的定义域、值域
[典例] (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域是________．
(2)函数 y＝2sin
πx
6
－π
3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
(3)函数 f(x)＝cos2x＋sin x x∈ －π
4
，π
4 的值域为________．
[解析] (1)要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义，
则 2sin x－1＞0，
1－2cos x≥0，
即
sin x＞1
2
，
cos x≤1
2.
解得 2kπ＋π
3
≤x<2kπ＋5π
6
，k∈Z.
即函数的定义域为 2kπ＋π
3
，2kπ＋5π
6 ，k∈Z.
(2)∵0≤x≤9，
∴－π
3
≤π
6x－π
3
≤7π
6
，
∴－ 3
2
≤sin
π
6
x－π
3 ≤1，
故－ 3≤2sin
π
6x－π
3 ≤2.
即函数 y＝2sin
π
6
x－π
3 (0≤x≤9)的最大值为 2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和
为 2－ 3.
(3)f(x)＝cos2x＋sin x
＝－sin2x＋sin x＋1
＝－ sin x－1
2 2＋5
4
，
又∵x∈ －π
4
，π
4 ，
∴sin x∈ － 2
2
， 2
2 ，
∴f(x)∈
1－ 2
2
，5
4 .
[答案] (1) 2kπ＋π
3
，2kπ＋5π
6 ，k∈Z (2)2－ 3
(3)
1－ 2
2
，5
4
[方法技巧]
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
2．三角函数最值或值域的求法
(1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函
数的值域．
(3)换元法：把 sin x、cos x、sin xcos x 或 sin x±cos x 换成 t，转化为二次函数求值域．
[即时演练]
1．函数 y＝|sin x|＋sin x 的值域为( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
解析：选 D ∵y＝|sin x|＋sin x
＝ 2sin x，sin x≥0，
0，sin x＜0.
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2]，
即函数的值域为[0,2]．
2．在△ABC 中，sin Acos B＝－(2sin C＋sin B)cos A，则函数 f(x)＝2sin 2x＋sin(2x－A)
在区间 0，π
4 上的最大值为________．
解析：由 sin Acos B＝－(2sin C＋sin B)cos A，
可得 sin(A＋B)＝－2sin Ccos A，即 sin C＝－2sin Ccos A.
因为 sin C≠0，所以 cos A＝－1
2
，则 A＝2π
3
，
所以 f(x)＝2sin 2x＋sin 2x－2π
3 ＝3
2sin 2x－ 3
2 cos 2x＝ 3sin 2x－π
6 .
因为 x∈ 0，π
4 ，所以 2x－π
6
∈ －π
6
，π
3 ，
所以 f(x)max＝f
π
4 ＝3
2.
答案：3
2
3．求函数 y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x 的最值．
解：令 t＝sin x＋cos x，则 t∈[－ 2， 2]．
∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，
∴sin xcos x＝t2－1
2
，
∴y＝3
2t2＋t－3
2
，t∈[－ 2， 2]，
∵对称轴 t＝－1
3
∈[－ 2， 2]，
∴ymin＝f
－1
3 ＝3
2
×1
9
－1
3
－3
2
＝－5
3
，
ymax＝f( 2)＝3
2
＋ 2.
三角函数的单调性
[典例] (2017·浙江高考)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)．
(1)求 f
2π
3 的值；
(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[思路点拨] (1)欲求 f
2π
3 的值，把 x＝2π
3
直接代入 f(x)的解析式求解；
(2)欲求函数 f(x)的性质问题，应把 f(x)的解析式化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其
最小正周期及单调增区间．
[解] (1)由 sin 2π
3
＝ 3
2
，cos 2π
3
＝－1
2
，
得 f
2π
3 ＝
3
2 2－ －1
2 2－2 3× 3
2
× －1
2 ＝2.
(2)由 cos 2x＝cos2x－sin2x 与 sin 2x＝2sin xcos x，得
f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin 2x＋π
6 .
所以 f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，
令π
2
＋2kπ≤2x＋π
6
≤3π
2
＋2kπ，k∈Z，
解得π
6
＋kπ≤x≤2π
3
＋kπ，k∈Z，
所以 f(x)的单调递增区间是
π
6
＋kπ，2π
3
＋kπ (k∈Z)．
[方法技巧]
1．求三角函数单调区间的 2 种方法
代换法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一
个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图象法 画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间
2．已知三角函数的单调区间求参数取值范围的 3 种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不
等式(组)求解
反子集
法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某
个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1
4
周期列不等
式(组)求解
[即时演练]
1．已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωx＋π
4 在
π
2
，π 上是减函数，则ω的取值范围是________．
解析：由π
2
＜x＜π，得π
2ω＋π
4
＜ωx＋π
4
＜πω＋π
4
，由题意知
π
2
ω＋π
4
，πω＋π
4 ⊆π
2
＋2kπ，3π
2
＋2kπ(k∈Z)且2π
ω
≥2× π－π
2 ，
则
π
2ω＋π
4
≥π
2
＋2kπ，k∈Z，
πω＋π
4
≤3π
2
＋2kπ，k∈Z，
且 0＜ω≤2，
故1
2
≤ω≤5
4.
答案：
1
2
，5
4
2．函数 f(x)＝sin xcos x＋cos2x 的递减区间是________．
解析：f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝1
2sin 2x＋1
2(cos 2x＋1)＝ 2
2 sin 2x＋π
4 ＋1
2
，
由 2kπ＋π
2
≤2x＋π
4
≤2kπ＋3π
2
，k∈Z，
可得 kπ＋π
8
≤x≤kπ＋5π
8
，k∈Z，
所以函数 f(x)的递减区间是 kπ＋π
8
，kπ＋5π
8 ，k∈Z.
答案：kπ＋π
8
，kπ＋5π
8 ，k∈Z
三角函数的周期性、奇偶性及对称性
正、余弦函数的图象即是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称
图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.
常见的考查角度有：
1三角函数的周期性；
2三角函数的奇偶性；
3三角函数的对称性；
4三角函数性质的综合应用.
角度一：三角函数的周期性
1．(2016·山东高考)函数 f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)的最小正周期是( )
A.π
2 B．π
C.3π
2 D．2π
解析：选 B 法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)
＝4
3
2 sin x＋1
2cos x 3
2 cos x－1
2sin x
＝4sin x＋π
6 cos x＋π
6 ＝2sin 2x＋π
3 ，
∴T＝2π
2
＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋ 3cos 2x
＝2sin 2x＋π
3 ，
∴T＝2π
2
＝π.故选 B.
2．已知函数 f(x)＝3sin ωxcos ωx－4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，且 f(θ)＝1
2
，则 f θ＋π
2
＝( )
A．－5
2 B．－9
2
C．－11
2 D．－13
2
解析：选 B f(x)＝3
2sin 2ωx－2cos 2ωx－2，
因为函数 f(x)的最小正周期为π，所以ω＝1，
又 f(θ)＝3
2sin 2θ－2cos 2θ－2＝1
2
，
即 3
2sin 2θ－2cos 2θ＝5
2
，
则 f θ＋π
2 ＝3
2sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－3
2sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－9
2.
角度二：三角函数的奇偶性
3．已知函数 f(x)＝sin(x＋θ)＋ 3 cos(x＋θ) θ∈ －π
2
，π
2 是偶函数，则θ的值为( )
A．0 B.π
6
C.π
4 D.π
3
解析：选 B 据已知可得 f(x)＝2sin x＋θ＋π
3 ，
若函数为偶函数，则必有θ＋π
3
＝kπ＋π
2(k∈Z)，
又由于θ∈ －π
2
，π
2 ，故有θ＋π
3
＝π
2
，解得θ＝π
6
，
经代入检验符合题意．
[方法技巧]
若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π
2(k∈Z)，同时，当 x＝0 时，f(x)取得最大或
最小值；若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时，当 x＝0 时，f(x)＝0.
角度三：三角函数的对称性
4．若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于
π
2
，0 对称，则函数 f(x)
在 －π
4
，π
6 上的最小值是( )
A．－1 B．－ 3
C．－1
2 D．－ 3
2
解析：选 B f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin 2x＋θ＋π
6 ，则由题意，知 f
π
2 ＝
2sin π＋θ＋π
6 ＝0，又 0<θ<π，所以θ＝5π
6
，所以 f(x)＝－2sin 2x，f(x)在 －π
4
，π
6 上是减函数，
所以函数 f(x)在 －π
4
，π
6 上的最小值为 f
π
6 ＝－2sin π
3
＝－ 3，故选 B.
5．设函数 f(x)＝sin ωx＋π
6 －1(ω>0)的导数 f′(x)的最大值为 3，则 f(x)的图象的一条对
称轴的方程是( )
A．x＝π
9 B．x＝π
6
C．x＝π
3 D．x＝π
2
解析：选 A f′(x)＝ωcos ωx＋π
6 ，因为导数 f′(x)的最大值为 3，所以ω＝3，则 f(x)
＝sin 3x＋π
6 －1，令 3x＋π
6
＝kπ＋π
2
，k∈Z，得 x＝kπ
3
＋π
9
，k∈Z，令 k＝0，可得 x＝π
9
，故
选 A.
[方法技巧]
对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐
标一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，
可通过检验 f(x0)的值进行判断．
角度四：三角函数性质的综合应用
6．已知函数 f(x)＝ 3cos 2x－π
3 (x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数 f(x)的最小正周期为π
B．函数 f(x)图象关于点
5π
12
，0 对称
C．函数 f(x)在区间 0，π
2 上是减函数
D．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π
6
对称
解析：选 C 函数 f(x)＝ 3cos 2x－π
3 的最小正周期为π，且 f
5π
12 ＝0，f
π
6 ＝ 3，则函
数 f(x)图象关于点
5π
12
，0 对称，函数 f(x)的图象关于直线 x＝π
6
对称，因此 A、B、D 正确，
令 2kπ≤2x－π
3
≤π＋2kπ，k∈Z，得π
6
＋kπ≤x≤2π
3
＋kπ，k∈Z，所以 f(x)在区间 0，π
2 上不
单调，故 C 错误．
7．(2018·福建连城模拟)已知函数 f(x)＝2sin2
π
4
＋x － 3cos 2x.
(1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若当 x∈
π
4
，π
2 时，关于 x 的方程 f(x)－m＝2 有解，求实数 m 的取值范围．
解：(1)f(x)＝2sin2
π
4
＋x － 3cos 2x＝1－cos
π
2
＋2x － 3cos 2x＝2sin 2x－π
3 ＋1，
则函数 f(x)的最小正周期为π.
令 2kπ－π
2
≤2x－π
3
≤2kπ＋π
2(k∈Z)，
得 kπ－ π
12
≤x≤kπ＋5π
12(k∈Z)，
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－ π
12
，kπ＋5π
12 (k∈Z)．
(2)当 x∈
π
4
，π
2 时，2x－π
3
∈
π
6
，2π
3 ，sin 2x－π
3 ∈
1
2
，1 ，所以 f(x)∈[2,3]，
而 f(x)＝m＋2，所以 m＋2∈[2,3]，即 m∈[0,1]．
1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝cos x＋π
3 ，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线 x＝8π
3
对称
C．f(x＋π)的一个零点为 x＝π
6
D．f(x)在
π
2
，π 单调递减
解析：选 D 根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2π，所以函数的一个周期为
－2π，A 正确；
当 x＝8π
3
时，x＋π
3
＝3π，所以 cos x＋π
3 ＝－1，所以 B 正确；
f(x＋π)＝cos x＋π＋π
3 ＝cos x＋4π
3 ，当 x＝π
6
时，x＋4π
3
＝3π
2
，所以 f(x＋π)＝0，所以 C
正确；
函数 f(x)＝cos x＋π
3 在
π
2
，2π
3 上单调递减，在
2π
3
，π 上单调递增，故 D 不正确．
2．(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)＝1
5sin x＋π
3 ＋cos x－π
6 的最大值为( )
A.6
5 B．1
C.3
5 D.1
5
解析：选 A 因为 cos x－π
6 ＝cos
x＋π
3 －π
2 ＝sin x＋π
3 ，所以 f(x)＝6
5sin x＋π
3 ，于是
f(x)的最大值为6
5.
3．(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin 2x＋π
3 的最小正周期为( )
A．4π B．2π
C．π D.π
2
解析：选 C 函数 f(x)＝sin 2x＋π
3 的最小正周期
T＝2π
2
＝π.
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|≤π
2 ，x＝－π
4
为 f(x)的零点，x
＝π
4
为 y＝f(x)图象的对称轴，且 f(x)在
π
18
，5π
36 上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：选 B 由题意得
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝π
4
或φ＝－π
4.
若ω＝11，则φ＝－π
4
，此时 f(x)＝sin 11x－π
4 ，f(x)在区间
π
18
，3π
44 上单调递增，在区间
3π
44
，5π
36 上单调递减，不满足 f(x)在区间
π
18
，5π
36 上单调；
若ω＝9，则φ＝π
4
，
此时 f(x)＝sin 9x＋π
4 ，
满足 f(x)在区间
π
18
，5π
36 上单调递减，故选 B.
5．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π
6
，④y＝tan 2x－π
4
中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选 C 对①，∵y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝2π
2
＝π，∴y＝cos |2x|的最小正周期为π；
对于②，∵y＝cos x 的最小正周期为 2π，∴y＝|cos x|的最小正周期为π；对于③，y＝cos 2x＋π
6
的最小正周期为 T＝2π
2
＝π；对于④，y＝tan 2x－π
4 的最小正周期为 T＝π
2.
综上，①②③的最小正周期为π，故选 C.
一、选择题
1．函数 f(x)＝(1－cos 2x)cos2x，x∈R，设 f(x)的最大值是 A，最小正周期为 T，则 f(AT)
的值为( )
A.1
4 B.1
2
C．1 D．0
解析：选 B f(x)＝(1－cos 2x)cos2x＝(1－cos 2x)·1＋cos 2x
2
＝1－cos22x
2
＝1－cos 4x
4
，则
A＝1
2
，T＝π
2
，则 f(AT)＝1－cos π
4
＝1
2.
2．(2018·广东七校联考)已知函数 y＝sin(2x＋φ)在 x＝π
6
处取得最大值，则函数 y＝cos(2x
＋φ)的图象( )
A．关于点
π
6
，0 对称 B．关于点
π
3
，0 对称
C．关于直线 x＝π
6
对称 D．关于直线 x＝π
3
对称
解析：选 A 因为函数 y＝sin(2x＋φ)在 x＝π
6
处取得最大值，所以 sin
π
3
＋φ ＝1，则φ＝
2kπ＋π
6
，k∈Z，则 y＝cos 2x＋2kπ＋π
6 ＝cos 2x＋π
6 ，当 x＝π
6
时，y＝0，故 A 正确．
3．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线 x＝π
6
对称；(3)在
π
6
，π
3
上是减函数”的是( )
A．y＝sin
x
2
＋5π
12 B．y＝sin 2x－π
3
C．y＝cos 2x＋2π
3 D．y＝sin 2x＋π
6
解析：选 D 易知函数 y＝sin
x
2
＋5π
12 的最小正周期为 4π，故排除 A；当 x＝π
6
时，y＝
sin 2x－π
3 ＝0，故排除 B；当 x∈
π
6
，π
3 时，2x＋2π
3
∈ π，4π
3 ，函数 y＝cos 2x＋2π
3 在 x∈
π，4π
3 上单调递增，故排除 C；对于函数 y＝sin 2x＋π
6 ，可知其最小正周期 T＝2π
2
＝π，将
x＝π
6
代入得，y＝sin 2×π
6
＋π
6 ＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线 x＝π
6
对称，令π
2
＋
2kπ≤2x＋π
6
≤3π
2
＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得π
6
＋kπ≤x≤2π
3
＋kπ(k∈Z)，可知函数 y＝
sin 2x＋π
6 在
π
6
，π
3 上是减函数，故选 D.
4．若函数 f(x)＝cos ωx＋π
6 (ω>0)在[0，π]内的值域为 －1， 3
2 ，则ω的取值范围是
( )
A.
3
2
，5
3 B.
5
6
，3
2
C.
5
6
，＋∞
D.
5
6
，5
3
解析：选 D 因为 0≤x≤π，所以π
6
≤ωx＋π
6
≤ωπ＋π
6
，
又因为函数 f(x)＝cos ωx＋π
6 (ω>0)在[0，π]内的值域为 －1， 3
2 ，
所以π≤ωπ＋π
6
≤11π
6
，即5
6
≤ω≤5
3
，
则ω的取值范围是
5
6
，5
3 .
5．已知函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1A>0，ω>0，0<φ<π
2
的最大值为 3，f(x)的图象与 y 轴
的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)
＝( )
A．4 033 B．4 034
C．4 035 D．4 036
解析：选 C ∵函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·1＋cos2ωx＋2φ
2
＋1＝A
2cos(2ωx＋2φ)
＋1＋A
2A>0，ω>0,0<φ<π
2
的最大值为 3，∴A
2
＋1＋A
2
＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条对称
轴间的距离为 2，可得函数的最小正周期为 4，即2π
2ω
＝4，∴ω＝π
4.再根据 f(x)的图象与 y 轴
的交点坐标为(0,2)，可得 cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又 0<φ<π
2
，∴2φ＝π
2
，φ＝π
4.故函
数 f(x)的解析式为 f(x)＝cosπ
2x＋π
2
＋2＝－sinπ
2x＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)＝－
sinπ
2
＋sin2π
2
＋sin3π
2
＋…＋sin2 017π
2
＋sin2 018π
2
＋2×2 018＝－504×0－sinπ
2
－sin π＋4 036
＝－1＋4 036＝4 035.
6．(2018·洛阳统考)已知 f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中 a，b∈R，ab≠0.若 f(x)≤|f
π
6 |对
一切 x∈R 恒成立，且 f
π
2 ＞0，则 f(x)的单调递增区间是( )
A. kπ－π
3
，kπ＋π
6 (k∈Z)
B. kπ＋π
6
，kπ＋2π
3 (k∈Z)
C. kπ，kπ＋π
2 (k∈Z)
D. kπ－π
2
，kπ (k∈Z)
解析：选 B f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝ a2＋b2sin(2x＋φ)，其中 tan φ＝b
a.∵f(x)≤|f
π
6 |，
∴x＝π
6
是函数 f(x)的图象的一条对称轴，即π
3
＋φ＝π
2
＋kπ(k∈Z)，φ＝π
6
＋kπ(k∈Z)．又 f
π
2 ＞
0，∴φ的取值可以是－5π
6
，∴f(x)＝ a2＋b2sin 2x－5π
6 ，由 2kπ－π
2
≤2x－5π
6
≤2kπ＋π
2(k∈
Z)，得 kπ＋π
6
≤x≤kπ＋2π
3 (k∈Z)，故选 B.
二、填空题
7．函数 f(x)＝ 1＋log1
2x＋tan x＋π
4 的定义域是________．
解析：依题意得
1＋log1
2
x≥0，
x＋π
4
≠kπ＋π
2
k∈Z.
∴00 时， 2a＋a＋b＝8，
b＝5，
∴a＝3 2－3，b＝5.
②当 a<0 时， b＝8，
2a＋a＋b＝5.
∴a＝3－3 2，b＝8.
综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8.
12．(2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]．
(1)若 a∥b，求 x 的值；
(2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值．
解：(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
所以－ 3cos x＝3sin x.
则 tan x＝－ 3
3 .
又 x∈[0，π]，所以 x＝5π
6 .
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋π
6 .
因为 x∈[0，π]，所以 x＋π
6
∈
π
6
，7π
6 ，
从而－1≤cos x＋π
6 ≤ 3
2 .
于是，当 x＋π
6
＝π
6
，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
当 x＋π
6
＝π，即 x＝5π
6
时，f(x)取到最小值－2 3.
1．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π
2 的图象过点 B(0，－1)，且在
π
18
，π
3 上单调，
同时 f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合．当 x1，x2∈ －17π
12
，－2π
3 ，且 x1≠x2
时，f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( )
A．－ 3 B．－1
C．1 D. 2
解析：选 B 由题意知，2sin φ＝－1，∴sin φ＝－1
2
，
∵|φ|<π
2
，∴φ＝－π
6
，∴f(x)＝2sin ωx－π
6 ，平移后的函数解析式为 g(x)＝2sin ωx＋π－π
6
＝2sin ωx＋ωπ－π
6 ，
∴ωπ＝2kπ，k∈Z，∴ω＝2k，k∈Z.
又π
3
－ π
18
≤T
2
＝π
ω
，
∴ω≤18
5
，故ω＝2，
∴f(x)＝2sin 2x－π
6 ，故其图象的对称轴为 x＝kπ
2
＋π
3
，k∈Z，借助题设可知 x1＋x2＝
2× －7π
6 ＝－7π
3
，从而可求得 f(x1＋x2)＝f
－7π
3 ＝－1.
2．已知函数 f(x)＝4cos ωxsin ωx－π
6 (ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函数 f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
(2)求 f(x)在
π
8
，3π
8 上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ωx－π
6
＝4cos ωx
3
2 sin ωx－1
2cos ωx
＝2 3sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1
＝ 3sin 2ωx－cos 2ωx－1
＝2sin 2ωx－π
6 －1.
且 f(x)的最小正周期是2π
2ω
＝π，所以ω＝1，
从而 f(x)＝2sin 2x－π
6 －1.
令－π
2
＋2kπ≤2x－π
6
≤π
2
＋2kπ，k∈Z，
解得－π
6
＋kπ≤x≤π
3
＋kπ，k∈Z，
所以函数 f(x)在(0，π)上的单调递增区间为 0，π
3 和
5π
6
，π .
(2)当 x∈
π
8
，3π
8 时，2x－π
6
∈
π
12
，7π
12 ，
所以 2sin 2x－π
6 ∈
6－ 2
2
，2 .
所以当 2x－π
6
＝ π
12
，即 x＝π
8
时，f(x)取得最小值 6－ 2
2
－1.
当 2x－π
6
＝π
2
，即 x＝π
3
时，f(x)取得最大值 1.
故 f(x)在
π
8
，3π
8 上的最大值和最小值分别为 1， 6－ 2
2
－1.
高考研究课(三)
三角函数的 1 个必考点——函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
y＝Asin(ωx＋φ)图象变换 5 年 4 考 图象变换及求平移单位
由图象求解析式 5 年 1 考 已知图象求解析式
y＝Asin(ωx＋φ)的性质 5 年 3 考 已知图象或图象变换后研究单调性、对称性
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[典例] (1)要得到函数 y＝sin 4x－π
3 的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象( )
A．向左平移 π
12
个单位 B．向右平移 π
12
个单位
C．向左平移π
3
个单位 D．向右平移π
3
个单位
(2)(2018·景德镇测试)已知函数 f(x)＝4cos x·sin x＋π
6 ＋a 的最大值为 2.
①求 a 的值及 f(x)的最小正周期；
②在坐标系上作出 f(x)在[0，π]上的图象．
[解析] (1)∵y＝sin 4x－π
3 ＝sin 4 x－ π
12 ，
∴要得到 y＝sin 4x－π
3 的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象向右平移 π
12
个单位．
答案：B
(2)①f(x)＝4cos xsin x＋π
6 ＋a
＝4cos x·
3
2 sin x＋1
2cos x ＋a
＝ 3sin 2x＋2cos2x＋a
＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin 2x＋π
6 ＋1＋a，
∵f(x)的最大值为 2.
∴a＝－1，最小正周期 T＝2π
2
＝π.
②由①知 f(x)＝2sin 2x＋π
6 ，列表：
x 0 π
2x＋π
6 π 2π
f(x)＝2sin 2x＋π
6 1 2 0 －2 0 1
画出函数图象如图所示：
[方法技巧]
1．三角函数图象变换的 2 要点
(1)常规方法
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移
变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量 x，如果
x 的系数不是 1，则需把 x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向．
(2)方程思想
可以把判断的两函数变为同名的函数，且 x 的系数变为一致，通过列方程求解，如 y＝
sin 2x 变为 y＝sin 2x＋π
3 ，可设平移φ个单位长度，即 2(x＋φ)＝2x＋π
3
⇒φ＝π
6
，向左平移π
6
，
若φ＜0 说明向右平移|φ|个单位长度．
2．用“五点法”作图的注意点
(1)将原函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．
(2)求出周期 T＝2π
ω .
(3)求出振幅 A.
(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特
殊点和区间端点．
[即时演练]
1．(2018·湖南常德质检)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)
其中 A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 的图象如图，
为了得到 f(x)的图象，则只需将 g(x)＝sin 2x 的图象( )
A．向右平移π
6
个单位长度
B．向右平移π
3
个单位长度
C．向左平移π
6
个单位长度
D．向左平移π
3
个单位长度
解析：选 C 由图象知 A＝1，T
4
＝7π
12
－π
3
＝π
4
，所以 T＝π＝2π
ω
，ω＝2，此时函数 f(x)＝
sin(2x＋φ)，代入
7π
12
，－1 得 sin
7π
6
＋φ ＝－1，
∴sin
π
6
＋φ ＝1，
∴π
6
＋φ＝π
2
＋2kπ，k∈Z.
解得φ＝π
3
＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜π
2
，所以φ＝π
3
，
f(x)＝sin 2x＋π
3 ＝sin 2 x＋π
6 ，
∴g(x)＝sin 2x 向左平移π
6
个单位长度得到 f(x)的图象．
2．要得到函数 y＝sin x＋cos x 的图象，可以由函数 y＝sin x－cos x 的图象向左平移得
到，则平移的最短长度为________．
解析：易知 y＝f(x)＝sin x＋cos x＝ 2
2
2 sin x＋ 2
2 cos x ＝ 2sin x＋π
4 ，同理可得 y＝
g(x)＝sin x－cos x＝ 2sin x－π
4 ，根据“左加右减”的方法知，g(x)的图象向左至少平移π
2
个单位与 f(x)的图象重合，所以由函数 y＝sin x－cos x 的图象向左平移得到 y＝sin x＋cos x
的图象，则平移的最短长度为π
2.
答案：π
2
由图象求 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例] (1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，
则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝( )
A．0 B. 2
C. 2＋2 D．1
(2)如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω
＞0,0≤φ＜2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．
[解析] (1)由图象可知，A＝2，周期 T＝8，故ω＝π
4
，
又三角函数的图象过原点，所以φ＝0，
所以 f(x)＝2sin π
4x，
所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，
即每一个周期内的三角函数值之和为 0，
因此，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝ 2＋2.
(2)由图象可知 b＝20，A＝30－10
2
＝10，
T
2
＝14－6＝8，T＝16＝2π
ω
，解得ω＝π
8.
将(6,10)代入 y＝10sin
π
8
x＋φ ＋20，
可得 sin
3π
4
＋φ ＝－1，
由 0≤φ＜2π可得φ＝3π
4
，
∴y＝10sin
π
8x＋3π
4 ＋20.
[答案] (1)C (2)y＝10sin
π
8x＋3π
4 ＋20
[方法技巧]
求函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求 A，b
先确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－m
2
，b＝M＋m
2
.
(2)求ω
先确定函数的周期 T，则可得ω＝2π
T .
(3)求φ
常用方法有：①代入法．把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)或代入图象与
直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法．确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，具体如下：
选“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时，令ωx＋φ＝0；
选“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝π
2
；
选“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；
选“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝3π
2
；
选“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.
[即时演练]
1.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
的部分图象如图所
示，若 x1，x2∈ －π
6
，π
3 ，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( )
A．1 B.1
2
C. 2
2 D. 3
2
解析：选 D 观察图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
将 －π
6
，0 代入上式得 sin
－π
3
＋φ ＝0，
由|φ|＜π
2
，得φ＝π
3
，则 f(x)＝sin 2x＋π
3 .
函数 f(x)图象的对称轴为 x＝
－π
6
＋π
3
2
＝ π
12.
又 x1，x2∈ －π
6
，π
3 ，且 f(x1)＝f(x2)，∴x1＋x2
2
＝ π
12
，
∴x1＋x2＝π
6
，∴f(x1＋x2)＝sin 2×π
6
＋π
3 ＝ 3
2 .
2．(2017·天津高考)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若 f
5π
8 ＝2，f
11π
8
＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则( )
A．ω＝2
3
，φ＝ π
12 B．ω＝2
3
，φ＝－11π
12
C．ω＝1
3
，φ＝－11π
24 D．ω＝1
3
，φ＝7π
24
解析：选 A 法一：由 f
5π
8 ＝2，得5π
8 ω＋φ＝π
2
＋2kπ(k∈Z)，①
由 f
11π
8 ＝0，得11π
8 ω＋φ＝k′π(k′∈Z)，②
由①②得ω＝－2
3
＋4
3(k′－2k)．
又最小正周期 T＝2π
ω >2π，所以 0<ω<1，ω＝2
3.
又|φ|<π，将ω＝2
3
代入①得φ＝ π
12.选项 A 符合．
法二：∵f
5π
8 ＝2，f
11π
8 ＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，
∴11π
8
－5π
8
＝T
4(2m＋1)，m∈N，
∴T＝ 3π
2m＋1
，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于 2π，∴T＝3π，
∴ω＝2π
3π
＝2
3
，∴f(x)＝2sin
2
3
x＋φ .
由 2sin
2
3
×5π
8
＋φ ＝2，得φ＝2kπ＋ π
12
，k∈Z.
又|φ|<π，∴取 k＝0，得φ＝ π
12.故选 A.
y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
函数 y＝Asinωx＋φ的图象与性质是命题的热点，多将图象变换、解析式求法与性质综
合一起考查，属中低档题.
常见的命题角度有：
1图象变换与性质的综合；
2解析式的求法与性质的综合；
3图象与性质的综合问题.
角度一：图象变换与性质的综合
1．定义行列式运算|a1 a2
b1 b2|＝a1b2－a2b1，将函数 f(x)＝| 3 sin x
1 cos x|的图象向左平移 t(t>0)
个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 t 的最小值为( )
A.π
6 B.π
3
C.5π
6 D.2π
3
解析：选 C 由题意可得 f(x)＝ 3cos x－sin x＝2cos x＋π
6 ，则平移后所得图象对应函
数的解析式 g(x)＝2cos x＋t＋π
6 ，因为 g(x)是偶函数，所以 t＋π
6
＝kπ，k∈Z，t＝kπ－π
6
，k
∈Z，由题意可知，当 k＝1 时，t 取得最小值为5π
6 .
角度二：解析式的求法与性质的综合
2．已知函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|≤π
2 的部分图象如图所示，A，B 两点之间的
距离为 10，且 f(2)＝0，若将函数 f(x)的图象向右平移 t(t＞0)个单位长度后所得函数图象关于
y 轴对称，则 t 的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 由题图可设 A(x1,3)，B(x2，－3)，
所以|AB|＝ x1－x22＋62＝10，
解得|x1－x2|＝8，
所以 T＝2|x1－x2|＝16，
故2π
ω
＝16，解得ω＝π
8.
所以 f(x)＝3sin
π
8x＋φ ，
由 f(2)＝0，得 3sin
π
4
＋φ ＝0，
又－π
2
≤φ≤π
2
，所以φ＝－π
4.
故 f(x)＝3sin
π
8x－π
4 ，
将 f(x)的图象向右平移 t(t＞0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 g(x)＝f(x－t)
＝3sin
π
8
x－t－π
4
＝3sin
π
8x－
π
8
t＋π
4 .
由题意得，函数 g(x)的图象关于 y 轴对称，
所以 π
8t＋π
4
＝kπ＋π
2(k∈Z)，解得 t＝8k＋2(k∈Z)，
故正数 t 的最小值为 2，选 B.
角度三：图象与性质的综合问题
3．(2018·江西联考)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω>0，|φ|<π)的一个零点是π
3
，函数 y
＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝－π
6
，则当ω取得最小值时，函数 f(x)的单调递增区间是
( )
A. 3kπ－π
3
，3kπ－π
6 (k∈Z)
B. 3kπ－5π
3
，3kπ－π
6 (k∈Z)
C. 2kπ－2π
3
，2kπ－π
6 (k∈Z)
D. 2kπ－π
3
，2kπ－π
6 (k∈Z)
解析：选 B 依题意得，f
π
3 ＝2sin
πω
3
＋φ －1＝0，即 sin
πω
3
＋φ ＝1
2
，得πω
3
＋φ＝2k1π
＋π
6
或πω
3
＋φ＝2k2π＋5π
6 (其中 k1，k2∈Z) ①.又 sin
－πω
6
＋φ ＝±1，即－πω
6
＋φ＝k3π＋π
2(其
中 k3∈Z) ②.由①－②得πω
2
＝(2k1－k3)π－π
3
或πω
2
＝(2k2－k3)π＋π
3
，即ω＝2(2k1－k3)－2
3
或ω
＝2(2k2－k3)＋2
3(其中 k1，k2，k3∈Z)，因此ω的最小值为2
3.因为 sin
－πω
6
＋φ ＝sin
－π
9
＋φ ＝
±1，所以－π
9
＋φ＝π
2
＋kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝π
2
＋π
9
，所以当ω＝2
3
时，f(x)＝2sin
2
3x＋π
2
＋π
9
－1＝2cos
2
3x＋π
9 －1，当 2kπ－π≤2
3x＋π
9
≤2kπ(k∈Z)，即 3kπ－5π
3
≤x≤3kπ－π
6(k∈Z)时，
函数 f(x)单调递增．因此，当ω取得最小值时，f(x)的单调递增区间是 3kπ－5π
3
，3kπ－π
6 (k
∈Z)，选 B.
4．已知函数 f(x)＝cos 2x－π
3 ＋2sin x－π
4 sin x＋π
4 .
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)先将 y＝f(x)的图象向左平移π
3
个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来
的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝g(x)的图象，若函数 y＝g(x)在区间
π
2
，13π
4 上的图象与直
线 y＝a 有三个交点，求实数 a 的取值范围．
解：(1)因为 sin x＋π
4 ＝sin
x－π
4 ＋π
2 ＝cos x－π
4 ，
所以 f(x)＝cos 2x－π
3 ＋2sin x－π
4 cos x－π
4
＝cos 2x－π
3 ＋sin 2x－π
2
＝1
2cos 2x＋ 3
2 sin 2x－cos 2x
＝ 3
2 sin 2x－1
2cos 2x＝sin 2x－π
6 ，
由 2kπ－π
2
≤2x－π
6
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，
得 kπ－π
6
≤x≤kπ＋π
3
，k∈Z.
所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－π
6
，kπ＋π
3 (k∈Z)．
(2)将 y＝f(x)的图象向左平移π
3
个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 y＝
sin 2 x＋π
3 －π
6 ＝sin 2x＋π
2 ＝cos 2x，所以函数 g(x)＝cos x，作出函数 g(x)＝cos x，x∈
π
2
，13π
4 的图象与直线 y＝a，如图所示，由图易知 a∈ － 2
2
，0 .
[方法技巧]
解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将 y＝f(x)化为 y＝asin x＋bcos x 的形式，
然后用辅助角公式化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助 y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、
对称性、单调性等)解决相关问题．
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin 2x＋2π
3 ，则下面结论正确的是( )
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个
单位长度，得到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度，得到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个
单位长度，得到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π
12
个
单位长度，得到曲线 C2
解析：选 D 易知 C1：y＝cos x＝sin x＋π
2 ，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数 y＝sin 2x＋π
2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 π
12
个单位
长度，可得函数 y＝sin 2 x＋ π
12 ＋π
2 ＝sin 2x＋2π
3 的图象，即曲线 C2.
2．(2016·全国卷Ⅱ)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin 2x－π
6
B．y＝2sin 2x－π
3
C．y＝2sin x＋π
6
D．y＝2sin x＋π
3
解析：选 A 由图象知T
2
＝π
3
－ －π
6 ＝π
2
，故 T＝π，因此ω＝2π
π
＝2.又图象的一个最高点
坐标为
π
3
，2 ，所以 A＝2，且 2×π
3
＋φ＝2kπ＋π
2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π
6(k∈Z)，结合选项可
知 y＝2sin 2x－π
6 .故选 A.
3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin 2x＋π
6 的图象向右平移1
4
个周期后，所得图象对应的
函数为( )
A．y＝2sin 2x＋π
4 B．y＝2sin 2x＋π
3
C．y＝2sin 2x－π
4 D．y＝2sin 2x－π
3
解析：选 D 函数 y＝2sin 2x＋π
6 的周期为π，将函数 y＝2sin 2x＋π
6 的图象向右平移1
4
个周期即π
4
个单位长度，所得图象对应的函数为 y＝2sin 2 x－π
4 ＋π
6 ＝2sin 2x－π
3 ，故选 D.
4．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π
12
个单位长度，则平移后图象
的对称轴为( )
A．x＝kπ
2
－π
6(k∈Z) B．x＝kπ
2
＋π
6(k∈Z)
C．x＝kπ
2
－ π
12(k∈Z) D．x＝kπ
2
＋ π
12(k∈Z)
解析：选 B 将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移 π
12
个单位长度，得到函数 y＝2sin
2 x＋ π
12 ＝2sin 2x＋π
6 的图象．由 2x＋π
6
＝kπ＋π
2(k∈Z)，得 x＝kπ
2
＋π
6(k∈Z)，即平移后图
象的对称轴为 x＝kπ
2
＋π
6(k∈Z)．
5．(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，
则 f(x)的单调递减区间为( )
A. kπ－1
4
，kπ＋3
4 ，k∈Z
B. 2kπ－1
4
，2kπ＋3
4 ，k∈Z
C. k－1
4
，k＋3
4 ，k∈Z
D. 2k－1
4
，2k＋3
4 ，k∈Z
解析：选 D 由图象知，周期 T＝2
5
4
－1
4 ＝2，
∴2π
ω
＝2，∴ω＝π.
由π×1
4
＋φ＝π
2
＋2kπ，得φ＝π
4
＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝π
4
，∴f(x)＝cos πx＋π
4 .
由 2kπ＜πx＋π
4
＜2kπ＋π，k∈Z，
得 2k－1
4
＜x＜2k＋3
4
，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为 2k－1
4
，2k＋3
4 ，k∈Z，故选 D.
6．(2016·全国卷Ⅲ)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图象可由函数 y＝sin x＋ 3cos x 的图象至
少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为 y＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋π
3 ，y＝sin x－ 3cos x＝2sin x－π
3 ，
所以把 y＝2sin x＋π
3 的图象至少向右平移2π
3
个单位长度可得 y＝2sin x－π
3 的图象．
答案：2π
3
一、选择题
1．(2018·长沙质检)将函数 y＝cos 2x 的图象先向左平移π
2
个单位长度，再向上平移 1 个
单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )
A．y＝－sin 2x B．y＝－cos 2x
C．y＝2sin2x D．y＝－2cos2x
解析：选 C y＝cos 2x错误!y＝cos 2x＋π
2
――→向上平移 1 个单位
y＝cos 2 x＋π
2 ＋1，即 y＝cos(2x
＋π)＋1＝1－cos 2x＝2sin2x.
2．已知曲线 C1：y＝sin x，曲线 C2：y＝cos 2x－π
3 ，则下面结论正确的是( )
A．曲线 C1 横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移π
6
个单位，得到 C2
B．曲线 C1 横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 π
12
个单位，得到 C2
C．曲线 C1 横坐标缩短到原来的1
2
倍，再向左平移π
6
个单位，得到 C2
D．曲线 C1 横坐标缩短到原来的1
2
倍，再向左平移 π
12
个单位，得到 C2
解析：选 D 因为曲线 C1：y＝sin x＝cos x－π
2 ，
所以将曲线 C1 横坐标缩短到原来的1
2
倍得函数 y＝cos 2x－π
2 的图象，
再向左平移 π
12
个单位可得到曲线 C2：y＝cos 2x－π
3 .
3．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的最大值为 4，最小值为 0.函数图象的两个对称轴间最
短距离为π
2
，直线 x＝π
6
是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( )
A．y＝－2sin 2x＋π
6 ＋2 B．y＝2sin 2x＋π
3 ＋2
C．y＝－2sin 2x＋π
3 D．y＝4sin 2x＋π
6
解析：选 A 由函数的最大值与最小值可得 A＝2 或－2，m＝2.由函数图象的两个对称
轴间最短距离为π
2
，可知函数的最小正周期为π，则ω＝2.又直线 x＝π
6
是其图象的一条对称轴，
所以π
6
×2＋φ＝kπ＋π
2
，k∈Z，则φ＝kπ＋π
6
，k∈Z，令 k＝0，得φ＝π
6
，故选 A.
4．(2018·河南六市联考)将奇函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A≠0，ω＞0，－π
2
＜φ＜π
2 的图象
向左平移π
6
个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )
A．6 B．3
C．4 D．2
解析：选 A 由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－π
2
＜φ＜π
2
，∴φ＝0，y＝Asin ωx.由函
数图象向左平移π
6
个单位得到函数 y＝Asin ω x＋π
6 ＝Asin ωx＋π
6ω ，其图象关于原点对称，
∴有π
6ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，故选 A.
5．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π
2 的最小正周期为π，且其图象向左平移π
3
个单
位后得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，则函数 f(x)的图象( )
A．关于直线 x＝ π
12
对称 B．关于直线 x＝5π
12
对称
C．关于点
π
12
，0 对称 D．关于点
5π
12
，0 对称
解析：选 C 由函数 f(x)的最小正周期为π，可得ω＝2，所以函数
f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<π
2 的图象向左平移π
3
个单位后得到函数 g(x)＝cos
2x＝sin 2x＋π
2 ＝sin2x＋2π
3
＋φ的图象，所以2π
3
＋φ＝π
2
，即φ＝－π
6
，所
以 f(x)＝sin2x－π
6
，因为 f
π
12 ＝sin 2× π
12
－π
6 ＝0，所以函数 f(x)的图象关于点
π
12
，0 对称．
6.(2018·贵州贵阳监测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数 f′(x)的
图象如图所示，则 f
π
2 的值为( )
A．2 2 B. 2
C．－ 2
2 D．－ 2
4
解析：选 D 依题意得 f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数 y＝f′(x)的图象可知，T＝2π
ω
＝
4
3π
8
－π
8 ＝π，ω＝2.
又 Aω＝1，因此 A＝1
2.f′
3π
8 ＝cos
3π
4
＋φ ＝－1，
因为 0<φ<π，所以3π
4 <3π
4
＋φ<7π
4
，
所以3π
4
＋φ＝π，φ＝π
4
，f(x)＝1
2sin 2x＋π
4 ，
f
π
2 ＝1
2sin π＋π
4 ＝－1
2
× 2
2
＝－ 2
4 .
二、填空题
7．已知函数 f(x)＝3sin ωx－π
6 (ω＞0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若 x∈
0，π
2 ，则 f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin ωx－π
6 ＝3cos
π
2
－ ωx－π
6 ＝3cos ωx－2π
3 ，易知ω＝2，则 f(x)＝
3sin 2x－π
6 ，
∵x∈ 0，π
2 ，∴－π
6
≤2x－π
6
≤5π
6
，
∴－3
2
≤f(x)≤3.
答案： －3
2
，3
8.已知函数 f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函
数的部分图象如图所示，AC＝BC＝ 2
2
，C＝90°，则 f
1
2 ＝________.
解析：依题意知，△ABC 是直角边长为 2
2
的等腰直角三角形，因此其边 AB 上的高是1
2
，
函数 f(x)的最小正周期是 2，故 M＝1
2
，2π
ω
＝2，ω＝π，f(x)＝1
2cos(πx＋φ)．又函数 f(x)是奇函
数，于是有φ＝kπ＋π
2
，其中 k∈Z.由 0＜φ＜π，得φ＝π
2
，故 f(x)＝－1
2sin πx，f
1
2 ＝－1
2sinπ
2
＝
－1
2.
答案：－1
2
9.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，
也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为 R 的水车，
一个水斗从点 A(3 3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且
旋转一周用时 60 秒．经过 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设 P 的坐标为(x，
y)，其纵坐标满足 y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ) t≥0，ω>0，|φ|<π
2 .
则下列叙述正确的是________．
①R＝6，ω＝ π
30
，φ＝－π
6
；
②当 t∈[35,55]时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6；
③当 t∈[10,25]时，函数 y＝f(t)单调递减；
④当 t＝20 时，|PA|＝6 3.
解析：①由点 A(3 3，－3)，可得 R＝6，由旋转一周用时 60 秒，可得 T＝2π
ω
＝60，则ω
＝ π
30
，由点 A(3 3，－3)，可得∠AOx＝π
6
，则φ＝－π
6
，故①正确；
②由①知，f(t)＝6sin
π
30
t－π
6 ，当 t∈[35,55]时，π
30t－π
6
∈ π，5π
3 ，即当 π
30t－π
6
＝3π
2
时，
点 P(0，－6)，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6，故②正确；
③当 t∈[10,25]时，π
30t－π
6
∈
π
6
，2π
3 ，由正弦函数的单调性可知，函数 y＝f(t)在[10,25]
上有增有减，故③错误；
④f(t)＝6sin
π
30
t－π
6 ，当 t＝20 时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝2π
3
，所以|PA|
＝6 3，故④正确．
答案：①②④
三、解答题
10．(2017·山东高考)设函数 f(x)＝sin ωx－π
6 ＋sinωx－π
2
，其中 0<ω<3.已知 f
π
6 ＝0.
(1)求ω；
(2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图
象向左平移π
4
个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 －π
4
，3π
4 上的最小值．
解：(1)因为 f(x)＝sin ωx－π
6 ＋sin ωx－π
2 ，
所以 f(x)＝ 3
2 sin ωx－1
2cos ωx－cos ωx
＝ 3
2 sin ωx－3
2cos ωx＝ 3
1
2sin ωx－ 3
2 cos ωx
＝ 3sin ωx－π
3 .
因为 f
π
6 ＝0，
所以ωπ
6
－π
3
＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又 0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得 f(x)＝ 3sin 2x－π
3 ，
所以 g(x)＝ 3sin x＋π
4
－π
3 ＝ 3sin x－ π
12 .
因为 x∈ －π
4
，3π
4 ，
所以 x－ π
12
∈ －π
3
，2π
3 ，
当 x－ π
12
＝－π
3
，即 x＝－π
4
时，g(x)取得最小值－3
2.
11．已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝ cos x，3
2 ，函数 f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)将函数 f(x)的图象向左平移π
8
个单位得到函数 g(x)的图象，在△ABC 中，角 A，B，C
所对边分别 a，b，c，若 a＝3，g
A
2 ＝ 6
6
，sin B＝cos A，求 b 的值．
解：(1)因为 m＝(sin x，－1)，n＝ cos x，3
2 ，
所以 f(x)＝(m＋n)·m
＝ sin x＋cos x，1
2 ·(sin x，－1)
＝sin2x＋sin xcos x－1
2
＝1
2sin 2x－1
2(1－2sin2x)
＝1
2sin 2x－1
2cos 2x
＝ 2
2 sin 2x－π
4 .
由 2kπ－π
2
≤2x－π
4
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，
可得 kπ－π
8
≤x≤kπ＋3π
8
，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－π
8
，kπ＋3π
8 ，k∈Z.
(2)由(1)得 g(x)＝ 2
2 sin 2 x＋π
8 －π
4 ＝ 2
2 sin 2x，
因为 g
A
2 ＝ 2
2 sin A＝ 6
6
，
所以 sin A＝ 3
3
，
在△ABC 中，sin B＝cos A>0，
可得 sin B＝cos A＝ 1－
3
3 2＝ 6
3
，
由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
，
可得 b＝asin B
sin A
＝
3× 6
3
3
3
＝3 2.
12．(2018·山东师大附中模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 的部分
图象如图所示．
(1)求函数 y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象经过怎样的平移变换得
到；
(3)若方程 f(x)＝m 在 －π
2
，0 上有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围．
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4
π
3
－ π
12 ＝π，
∴2π
ω
＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f
π
3 ＝0，
∴sin
2π
3
＋φ ＝0，∴φ＋2π
3
＝kπ，k∈Z.
∵|φ|＜π
2
，
∴φ＝π
3
，∴f(x)＝2sin 2x＋π
3 .
(2)y＝ 3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－π
6
＝2sin 2 x－π
4 ＋π
3 ，
故将函数 y＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向左平移π
4
个单位就得到函数 y＝f(x)的图象．
(3)
当－π
2
≤x≤0 时，－2π
3
≤2x＋π
3
≤π
3
，故－2≤f(x)≤ 3，若方程 f(x)＝m 在 －π
2
，0 上有
两个不相等的实数根，则曲线 y＝f(x)与直线 y＝m 在 －π
2
，0 上有 2 个交点，结合图形，易
知－2＜m≤－ 3.
故 m 的取值范围为(－2，－ 3]．
1.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π
2
，x∈R 的图象如图所
示，令 g(x)＝f(x)＋f′(x)，则下列关于函数 g(x)的说法中不正确的是( )
A．函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝kπ－ π
12(k∈Z)
B．函数 g(x)的最大值为 2 2
C．函数 g(x)的图象上存在点 P，使得在 P 点处的切线与直线 l：y＝3x－1 平行
D．方程 g(x)＝2 的两个不同的解分别为 x1，x2，则|x1－x2|的最小值为π
2
解析：选 C 由图象可知，A＝2，最小正周期 T＝2π
ω
＝4
2π
3
－π
6 ，则ω＝1，又π
6
＋φ＝2kπ
＋π
2
，k∈Z，且|φ|<π
2
，则φ＝π
3
，所以 f(x)＝2sin x＋π
3 ，f′(x)＝2cos x＋π
3 ，则 g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝2 2sin x＋7π
12 ，由 x＋7π
12
＝kπ＋π
2
，k∈Z，可得 x＝kπ－ π
12
，k∈Z，故 A 正确；显然 B 正
确；g′(x)＝2 2cos x＋7π
12 ≤2 2，故 C 不正确；当 g(x)＝2 2sin x＋7π
12
＝2 时，sin x＋7π
12 ＝ 2
2
，则 x1＋7π
12
＝2k1π＋π
4
或 x2＋7π
12
＝2k2π＋3π
4
，k1
∈Z，k2∈Z，即 x1＝2k1π－π
3
或 x2＝2k2π＋π
6
，k1∈Z，k2∈Z，则|x1－x2|＝2(k1－k2)π－π
2(k1，
k2∈Z)，当且仅当 k1－k2＝0 时，|x1－x2|的最小值为π
2
，则 D 正确．
2.函数 f(x)＝6cos2ωx
2
＋ 3sin ωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最
高点，B，C 为图象与 x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．
(1)求ω的值及函数 f(x)的值域；
(2)若 f(x0)＝8 3
5
，且 x0∈ －10
3
，2
3 ，求 f(x0＋1)的值．
解：(1)由已知可得 f(x)＝6cos2ωx
2
＋ 3sin ωx－3
＝ 3sin ωx＋3cos ωx
＝2 3
1
2sin ωx＋ 3
2 cos ωx
＝2 3sin ωx＋π
3 ，
由正三角形 ABC 的高为 2 3，得|BC|＝4，所以 f(x)的周期为 8，故ω＝π
4
，f(x)的值域为
[－2 3，2 3]．
(2)由(1)知 f(x)＝2 3
π
4x＋π
3 .
所以由 f(x0)＝8 3
5
，得 sin
π
4x0＋π
3 ＝4
5.
又 x0∈ －10
3
，2
3 ，知 π
4x0＋π
3
∈ －π
2
，π
2 ，
故 cos
π
4x0＋π
3 ＝3
5
，
所以 f(x0＋1)＝2 3sin
π
4x0＋π
4
＋π
3
＝2 3sin
π
4x0＋π
3 ＋π
4
＝2 3
4
5
× 2
2
＋3
5
× 2
2 ＝7 6
5 .
高考研究课(四)
三角恒等变换的 3 个考查点——化简、求值和应用
[全国卷 5 年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
三角变换求最值 5 年 3 考 三角变换与最值
三角变换求值 5 年 5 考 给角求值、给值求值
三角函数式的化简
[典例] (1)化简：
1＋sin α＋cos α· cosα
2
－sinα
2
2＋2cos α
(0＜α＜π)＝________.
(2)(2018·滕州一中模拟)计算：1＋cos 20°
2sin 20°
－sin 10°·
1
tan 5°
－tan 5° ＝________.
[解析] (1)原式＝
＝
cos α
2
cos2α
2
－sin2α
2
|cosα
2|
＝
cosα
2cos α
|cosα
2| .
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α
2
＜π
2
，
所以 cosα
2
＞0，
所以原式＝cos α.
(2)原式＝ 2cos210°
4sin 10°cos 10°
－sin 10°·cos25°－sin25°
sin 5°cos 5°
＝ cos 10°
2sin 10°
－sin 20°
sin 10°
＝cos 10°－2sin 20°
2sin 10°
＝cos 10°－2sin30°－10°
2sin 10°
＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°
2sin 10°
＝ 3
2 .
[答案] (1)cos α (2) 3
2
[方法技巧]
三角函数式的化简方法及基本思路
(1)化简方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等．
2化简基本思路
“一角二名三结构”，即：
一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从
而正确使用公式；
二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化
弦”，关于 sin α·cos α的齐次分式化切等；
三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，
“遇根式化被开方式为完全平方式”等.)
[即时演练]
1.
tan
π
4
＋α ·cos 2α
2cos2
π
4
－α
的值为________．
解析：原式＝
sin
π
4
＋α ·cos 2α
2sin2
π
4
＋α cos
π
4
＋α
＝
cos 2α
2sin
π
4
＋α cos
π
4
＋α
＝
cos 2α
sin
π
2
＋2α
＝cos 2α
cos 2α
＝1.
答案：1
2．化简 sin2 α－π
6 ＋sin2 α＋π
6 －sin2α的结果是________．
解析：原式＝1－cos 2α－π
3
2
＋1－cos 2α＋π
3
2
－sin2α
＝1－1
2
cos 2α－π
3 ＋cos 2α＋π
3 －sin2α
＝1－cos 2α·cos π
3
－sin2α
＝1－cos 2α
2
－1－cos 2α
2
＝1
2.
答案：1
2
3．(2017·江苏高考)若 tan α－π
4 ＝1
6
，则 tan α＝________.
解析：tan α＝tan
α－π
4 ＋π
4
＝
tan α－π
4 ＋tanπ
4
1－tan α－π
4 tanπ
4
＝
1
6
＋1
1－1
6
＝7
5.
答案：7
5
条件求值问题
三角函数条件求值问题是高考命题的热点.
常见的命题角度有：
1给角求值；
2变角求值；
3给值求角.
角度一：给角求值
1．计算：2cos 10°
sin 70°
－tan 20°＝( )
A. 3 B. 3－1
2
C．1 D. 3
2
解 析 ： 选 A 2cos 10°
sin 70°
－ tan 20° ＝ 2cos 10°
cos 20°
－ sin 20°
cos 20°
＝ 2cos30°－20°－sin 20°
cos 20°
＝
2
3
2 cos 20°＋1
2sin 20° －sin 20°
cos 20°
＝ 3.
2．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)的值是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选 B ∵(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°，
tan 45°＝ tan 17°＋tan 28°
1－tan 17°tan 28°
＝1，
∴(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2，
同理(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝2，
∴(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 27°)(1＋tan 18°)＝4.
[方法技巧]
求解给角求值问题的 3 个注意点
(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．
(2)观察名，尽可能使函数统一名称．
(3)观察结构，利用公式，整体化简．
角度二：变角求值
3．(2018·深圳调研)若α，β都是锐角，且 cos α＝ 5
5
，sin(α－β)＝ 10
10
，则 cos β＝( )
A. 2
2 B. 2
10
C. 2
2
或－ 2
10 D. 2
2
或 2
10
解析：选 A ∵α，β都是锐角，且 cos α＝ 5
5
，sin(α－β)＝ 10
10
，∴sin α＝2 5
5
，cos(α－
β)＝3 10
10
，从而 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝ 2
2
，故选 A.
4．设 tan(α＋β)＝3
7
，tan β－π
4 ＝－1
3
，则 tan α＋π
4 的值是( )
A.2
3 B.8
9
C. 1
12 D.1
9
解析：选 B 因为 tan(α＋β)＝3
7
，tan β－π
4 ＝－1
3
，
所以 tan α＋π
4 ＝tan α＋β－ β－π
4
＝
tanα＋β－tan β－π
4
1＋tanα＋βtan β－π
4
＝8
9.
[方法技巧]
在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑
角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β
2
＝ α－β
2 －
α
2
－β ，α＝(α－β)＋β，π
4
＋α＝π
2
－
π
4
－α ，15°＝45°－30°等．
角度三：给值求角
5．(2018·成都一诊)若 sin 2α＝ 5
5
，sin(β－α)＝ 10
10
，且α∈
π
4
，π ，β∈ π，3π
2 ，则α＋
β的值是( )
A.7π
4 B.9π
4
C.5π
4
或7π
4 D.5π
4
或9π
4
解析：选 A 因为α∈
π
4
，π ，所以 2α∈
π
2
，2π ，
又 sin 2α＝ 5
5
，所以 2α∈
π
2
，π ，α∈
π
4
，π
2 ，
故 cos 2α＝－2 5
5 .
又β∈ π，3π
2 ，所以β－α∈
π
2
，5π
4 ，
故 cos(β－α)＝－3 10
10 .
所以 cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－2 5
5
× －3 10
10 － 5
5
× 10
10
＝ 2
2
，
且α＋β∈
5π
4
，2π ，故α＋β＝7π
4 .
6．在△ABC 中，若 4sin A＋2cos B＝4，1
2sin B＋cos A＝ 3
2
，则角 C＝________.
解析：由题意可得 sin A＋1
2cos B＝1，1
2sin B＋cos A＝ 3
2
，将两式平方相加可得 1＋1
4
＋
sin Acos B＋sin Bcos A＝1＋3
4
，所以 sin C＝sin(A＋B)＝1
2
，则 C＝π
6
或5π
6 .
若 C＝5π
6
，A＋B＝π
6
，则 cos A> 3
2
，
所以 1
2sin B＋cos A＝ 3
2
不成立，故 C＝π
6.
答案：π
6
[方法技巧]
“给值求角”的解题策略
(1)求角的某一三角函数值；
(2)讨论角的范围；
(3)根据角的范围写出要求的角．
三角恒等变换与向量的综合应用
[典例] 已知向量 a＝(sin x，cos x)，b＝ cos x＋π
6 ＋sin x，cos x ，函数 f(x)＝a·b.
(1)求 f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈ 0，π
2 且 cos α＋ π
12 ＝1
3
，求 f(α)．
[思路点拨] (1)先化简函数 f(x)，再利用三角函数的单调性求解即可；(2)利用二倍角公
式化简求解即可．
[解] (1)f(x)＝sin xcos x＋π
6 ＋1
＝ 3
2 sin xcos x－1
2sin2x＋1
＝ 3
4 sin 2x＋1
4cos 2x＋3
4
＝1
2sin 2x＋π
6 ＋3
4
，
令 2kπ－π
2
≤2x＋π
6
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，
得 kπ－π
3
≤x≤kπ＋π
6
，k∈Z，
故 f(x)的单调递增区间为 kπ－π
3
，kπ＋π
6 ，k∈Z.
(2)f(α)＝1
2sin 2α＋π
6 ＋3
4
＝sin α＋ π
12 cos α＋ π
12 ＋3
4
，
∵cos α＋ π
12 ＝1
3
且α∈ 0，π
2 ，∴sin α＋ π
12 ＝2 2
3
，
∴f(α)＝2 2
9
＋3
4.
[方法技巧]
向量与三角函数综合问题的特点与解题思路
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，
然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还融入参数，
考查分类讨论的思想方法．
(2)对于三角函数求最值问题，一般有两种形式：一种是化成 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝
Acos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成 y＝asin2x＋bsin x＋c 或 y＝acos2x＋bcos x＋c 的形式．
[即时演练]
1．(2018·湖南联考)设向量 a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若 a⊥b，则 tan α－π
4 ＝
( )
A．－1
3 B.1
3
C．－1 D．0
解析：选 B 由已知可得，a·b＝2cos α－sin α＝0，
∴tan α＝2，tan α－π
4 ＝tan α－1
1＋tan α
＝1
3.
2．已知△ABC 为锐角三角形，若向量 p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量 q＝(sin A－
cos A,1＋sin A)是共线向量．
(1)求角 A 的大小；
(2)求函数 y＝2sin2B＋cos C－3B
2
的最大值．
解：(1)因为 p，q 共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，即 2
－2sin2A＝sin2A－cos2A，化简得 sin2A＝3
4.
又 A 为锐角，所以 sin A＝ 3
2
，则 A＝π
3.
(2)y＝2sin2B＋cos C－3B
2
＝2sin2B＋cos
π－π
3
－B －3B
2
＝2sin2B＋cos
π
3
－2B
＝1－cos 2B＋1
2cos 2B＋ 3
2 sin 2B
＝ 3
2 sin 2B－1
2cos 2B＋1
＝sin 2B－π
6 ＋1.
因为△ABC 为锐角三角形且 A＝π
3
，所以 B∈
π
6
，π
2 ，所以 2B－π
6
∈
π
6
，5π
6 ，所以当 2B
－π
6
＝π
2
，即 B＝π
3
时，函数 y 取得最大值 2.
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α－cos α＝4
3
，则 sin 2α＝( )
A．－7
9 B．－2
9
C.2
9 D.7
9
解析：选 A 将 sin α－cos α＝4
3
的两边进行平方，得 sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝16
9
，即
sin 2α＝－7
9.
2．(2016·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝cos 2x＋6cos
π
2
－x 的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解 ：选 B ∵f(x)＝ cos 2x ＋6cos
π
2
－x ＝ cos 2x＋ 6sin x＝ 1－ 2sin2x＋ 6sin x ＝ －
2 sin x－3
2 2＋11
2
，
又 sin x∈[－1,1]，
∴当 sin x＝1 时，
f(x)取得最大值 5.
3．(2016·全国卷Ⅱ)若 cos
π
4
－α ＝3
5
，则 sin 2α＝( )
A. 7
25 B.1
5
C．－1
5 D．－ 7
25
解析：选 D 因为 cos
π
4
－α ＝3
5
，
所以 sin 2α＝cos
π
2
－2α ＝cos 2
π
4
－α
＝2cos2
π
4
－α －1＝2× 9
25
－1＝－ 7
25.
4．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ 3
2 B. 3
2
C．－1
2 D.1
2
解析：选 D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋
10°)＝sin 30°＝1
2
，故选 D.
5．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈ 0，π
2 ，β∈ 0，π
2 ，且 tan α＝1＋sin β
cos β
，则( )
A．3α－β＝π
2 B．2α－β＝π
2
C．3α＋β＝π
2 D．2α＋β＝π
2
解析：选 B 由条件得sin α
cos α
＝1＋sin β
cos β
，
即 sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，
sin(α－β)＝cos α＝sin
π
2
－α ，
因为－π
2<α－β<π
2
，0<π
2
－α<π
2
，
所以α－β＝π
2
－α，所以 2α－β＝π
2
，故选 B.
6．(2013·全国卷Ⅱ)已知 sin 2α＝2
3
，则 cos2 α＋π
4 ＝( )
A.1
6 B.1
3
C.1
2 D.2
3
解析：选 A 法一：cos2 α＋π
4 ＝1
2
1＋cos 2α＋π
2 ＝1
2(1－sin 2α)＝1
6.
法二：cos α＋π
4 ＝ 2
2 cos α－ 2
2 sin α，
所以 cos2 α＋π
4 ＝1
2(cos α－sin α)2＝1
2(1－2sin αcos α)
＝1
2(1－sin 2α)＝1
6.
7．(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3
4
x∈ 0，π
2 的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－3
4
＝－cos2x＋ 3cos x＋1
4
＝－ cos x－ 3
2 2＋1，
因为 x∈ 0，π
2 ，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 3
2
时，f(x)max＝1.
答案：1
8．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈ 0，π
2 ，tan α＝2，则 cos α－π
4 ＝________.
解析：∵α∈ 0，π
2 ，tan α＝2，
∴sin α＝2 5
5
，cos α＝ 5
5
，
∴cos α－π
4 ＝cos αcosπ
4
＋sin αsinπ
4
＝ 2
2
×
2 5
5
＋ 5
5 ＝3 10
10 .
答案：3 10
10
9．(2014·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，
因为 x∈R，所以 f(x)的最大值为 1.
答案：1
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ)若 tan θ＝－1
3
，则 cos 2θ＝( )
A．－4
5 B．－1
5
C.1
5 D.4
5
解析：选 D ∵cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
cos2θ＋sin2θ
＝1－tan2θ
1＋tan2θ
，
又∵tan θ＝－1
3
，∴cos 2θ＝
1－1
9
1＋1
9
＝4
5.
2．已知 tan α＋π
4 ＝1
2
，且－π
2
＜α＜0，则
2sin2α＋sin 2α
cos α－π
4
等于( )
A．－2 5
5 B．－3 5
10
C．－3 10
10 D.2 5
5
解析：选 A 由 tan α＋π
4 ＝tan α＋1
1－tan α
＝1
2
，
得 tan α＝－1
3.
又－π
2<α<0，
所以 sin α＝－ 10
10 .
故
2sin2α＋sin 2α
cos α－π
4
＝2sin αsin α＋cos α
2
2
sin α＋cos α
＝2 2sin α＝－2 5
5 .
3．(2018·温州测试)已知 sin x＋ 3cos x＝6
5
，则 cos
π
6
－x ＝( )
A．－3
5 B.3
5
C．－4
5 D.4
5
解析：选 B ∵sin x＋ 3cos x＝2
1
2sin x＋ 3
2 cos x
＝2 sinπ
6sin x＋cosπ
6cos x ＝2cos
π
6
－x ＝6
5
，
∴cos
π
6
－x ＝3
5.
4．(2018·东北三省模拟)已知 sin
π
6
－α ＝cos
π
6
＋α ，则 cos 2α＝( )
A．1 B．－1
C.1
2 D．0
解析：选 D ∵sin
π
6
－α ＝cos
π
6
＋α ，
∴1
2cos α－ 3
2 sin α＝ 3
2 cos α－1
2sin α，
即
1
2
－ 3
2 sin α＝－
1
2
－ 3
2 cos α，
∴tan α＝sin α
cos α
＝－1，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α
sin2α＋cos2α
＝1－tan2α
tan2α＋1
＝0.
5．(2018·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝3
4
，则 tan θ
2
＝( )
A. 7 B.1
7
C．7 D. 7
7
解析：选 D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ
2
∈ 0，π
2 ，
所以 cos θ
2
＝ cos θ＋1
2
＝ 14
4
，
所以 sin θ
2
＝ 2
4
，所以 tan θ
2
＝ 7
7 .
法二：由题意得 sin θ＝ 7
4
，所以 tan θ＝ 7
3 .因为θ∈[0，π]，所以θ
2
∈ 0，π
2 ，所以由
tan θ＝
2tan θ
2
1－tan2 θ
2
＝ 7
3
，解得 tan θ
2
＝ 7
7
或 tan θ
2
＝－ 7(舍去)，故选 D.
6．(2018·吉林大学附中检测)若α∈
π
2
，π ，且 3cos 2α＝sin
π
4
－α ，则 sin 2α的值为( )
A．－ 35
6 B．－1
6
C．－ 35
18 D．－17
18
解析：选 D ∵3cos 2α＝sin
π
4
－α ，
∴3(cos2 α－sin2 α)＝ 2
2 (cos α－sin α)，
易知 sin α≠cos α，故 cos α＋sin α＝ 2
6
，
两边平方得 1＋sin 2α＝ 1
18
，解得 sin 2α＝－17
18.
7．已知 sin
2π
3
－α ＋sin α＝4 3
5
，则 sin α＋7π
6 的值是( )
A．－4
5 B．－3
5
C．－2
5 D．－1
5
解析：选 A 因为 sin
2π
3
－α ＋sin α＝ 3
2 cos α＋3
2sin α＝ 3sin α＋π
6 ＝4 3
5
，
所以 sin α＋π
6 ＝4
5
，
所以 sin α＋7π
6 ＝－sin α＋π
6 ＝－4
5.
8．(2018·长沙模拟)在△ABC 中，若 3(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1，则 sin 2A＝( )
A．－1
2 B.1
2
C．－ 3
2 D. 3
2
解析：选 D 由两角和的正切公式知 tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan B·tan C)，所以
3(tan B＋tan C)＝tan B·tan C－1＝ 3tan(B＋C)(1－tan B·tan C)，所以 tan(B＋C)＝－ 3
3
，
所以 tan A＝ 3
3
，又 A∈(0，π)，所以 A＝π
6
，所以 sin 2A＝ 3
2
，故选 D.
二、填空题
9．化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin 50° 1＋ 3·sin 10°
cos 10°
＝sin 50°·cos 10°＋ 3sin 10°
cos 10°
＝sin 50°·2
1
2cos 10°＋ 3
2 sin 10°
cos 10°
＝2sin 50°·cos 50°
cos 10°
＝sin 100°
cos 10°
＝cos 10°
cos 10°
＝1.
答案：1
10．(2017·北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边
关于 y 轴对称．若 sin α＝1
3
，则 cos(α－β)＝________.
解析：因为角α与角β的终边关于 y 轴对称，
所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，
所以 cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α
＝－(1－2sin2α)＝－ 1－2×
1
3 2 ＝－7
9.
答案：－7
9
11．(2018·东北三省四市联考)已知 tan(3π－x)＝2，则
2cos2x
2
－sin x－1
sin x＋cos x
＝________.
解析：由诱导公式得 tan(3π－x)＝－tan x＝2，
即 tan x＝－2，
故
2cos2x
2
－sin x－1
sin x＋cos x
＝cos x－sin x
sin x＋cos x
＝1－tan x
tan x＋1
＝－3.
答案：－3
12．(2018·珠海六校联考)已知 tan(α＋β)＝2
5
，tan β＝1
3
，则 tan α＋π
4 的值为________．
解析：∵tan(α＋β)＝2
5
，tan β＝1
3
，
∴tan α＝tan[(α＋β)－β]
＝ tanα＋β－tan β
1＋tanα＋β·tan β
＝
2
5
－1
3
1＋2
5
×1
3
＝ 1
17
，
∴tan α＋π
4 ＝1＋tan α
1－tan α
＝
1＋ 1
17
1－ 1
17
＝9
8.
答案：9
8
三、解答题
13．已知函数 f(x)＝sin
π
2
－x sin x－ 3cos2x＋ 3
2 .
(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的取值集合；
(2)若方程 f(x)＝2
3
在(0，π)上的解为 x1，x2，求 cos(x1－x2)的值．
解：(1)f(x)＝sin xcos x－ 3
2 (2cos2x－1)
＝1
2sin 2x－ 3
2 cos 2x＝sin 2x－π
3 ，
故当 2x－π
3
＝π
2
＋2kπ，k∈Z，即 x＝5π
12
＋kπ，k∈Z 时，f(x)取得最大值 1，故当 f(x)取得
最大值 1 时，x 的取值集合为 x|5π
12
＋kπ，k∈Z .
(2)由(1)可知 f(x)的图象关于直线 x＝5π
12
对称，且 f
5π
12 ＝1，
∴x1＋x2＝5π
6
，即 x1＝5π
6
－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos
5π
6
－2x2 ＝cos
π
2
＋π
3
－2x2 ＝sin 2x2－π
3 ＝f(x2)＝2
3.
14．已知函数 f(x)＝sin2x－sin2 x－π
6 ，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间 －π
3
，π
4 上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有 f(x)＝1－cos 2x
2
－1－cos 2x－π
3
2
＝1
2
1
2cos 2x＋ 3
2 sin 2x －1
2cos 2x
＝ 3
4 sin 2x－1
4cos 2x＝1
2sin 2x－π
6 .
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π.
(2)因为 f(x)在区间 －π
3
，－π
6 上是减函数，在区间 －π
6
，π
4 上是增函数，
且 f
－π
3 ＝－1
4
，f
－π
6 ＝－1
2
，f
π
4 ＝ 3
4
，
所以 f(x)在区间 －π
3
，π
4 上的最大值为 3
4
，最小值为－1
2.
1．已知函数 f(x)＝sin2ωx
2
＋1
2sin ωx－1
2(ω>0)，x∈R，若 f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
则ω的取值范围是( )
A. 0，1
8 B. 0，1
4 ∪
5
8
，1
C. 0，5
8 D. 0，1
8 ∪
1
4
，5
8
解析：选 D f(x)＝sin2ωx
2
＋1
2sin ωx－1
2
＝1
2sin ωx－1
2cos ωx＝ 2
2 sin ωx－π
4 ，因为
π0，所以 0<ω≤1
8
或1
4
≤ω≤5
8.
2．已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)＋2sin2ωx＋φ
2
－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对
称轴间的距离为π
2.
(1)当 x∈ －π
2
，π
4 时，求 f(x)的单调递减区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右平移π
6
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的1
2(纵
坐标不变)，得到函数 y＝g(x)的图象．当 x∈ － π
12
，π
6 时，求函数 g(x)的值域．
解：(1)由题意得，f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin ωx＋φ－π
6 ，
因为相邻两对称轴间的距离为π
2
，所以 T＝2π
ω
＝π，ω＝2.
又因为函数 f(x)为奇函数，
所以φ－π
6
＝kπ，k∈Z，φ＝kπ＋π
6
，k∈Z.
因为 0<φ<π，所以φ＝π
6
，
故函数 f(x)＝2sin 2x.
令π
2
＋2kπ≤2x≤3π
2
＋2kπ，k∈Z，
得π
4
＋kπ≤x≤3π
4
＋kπ，k∈Z，
令 k＝－1，得－3π
4
≤x≤－π
4
，
因为 x∈ －π
2
，π
4 ，
所以函数 f(x)的单调递减区间为 －π
2
，－π
4 .
(2)由题意可得，g(x)＝2sin 4x－π
3 ，
因为 x∈ － π
12
，π
6 ，所以－2π
3
≤4x－π
3
≤π
3
，
所以－1≤sin 4x－π
3 ≤ 3
2
，g(x)∈[－2， 3]，
即函数 g(x)的值域为[－2， 3]．
