高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-2-1-1 函 数 概 念
第
1
课时 函 数 概 念
必备知识
·
自主学习
1.
函数
(1)
概念
:
①
定义
:
给定实数集
R
中的两个非空数集
A
和
B.
如果存在一个对应关系
f,
使对于
集合
A
中的每个数
x,
在集合
B
中都有
__________________
和它对应
,
那么就把对应关系
f
称为定义在
集合
A
上的一个函数
.
导思
初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系
,
那么函数还有没有其他的定义方法
?
唯一确定的数
y
②
记法
:y=f(x),x∈A.
③
定义域
:x
的取值范围
A;
值域
:
与
x
的值对应的
y
值叫作函数值
,
即集合
____________.
(2)
本质
:
函数的集合定义
.
(3)
应用
:
给出了函数的一般性定义
.
{f(x)|x∈A}
【
思考
】
(1)
对于函数
f:A→B,
值域一定是集合
B
吗
?
为什么
?
提示
:
不一定
.
值域是集合
B
的子集
,
即
{f(x)|x∈A}
⊆
B.
(2)
对应关系
f
必须是一个解析式的形式吗
?
为什么
?
提示
:
不一定
.
可以是数表
,
也可以是图象
.
(3)f(x)
的含义是什么
?
提示
:
集合
A
中的数
x
在对应关系
f
的作用下对应的数
.
2.
同一个函数
前提条件
_______
相同
_________
完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
【
思考
】
函数有定义域、对应关系和值域三要素
,
为什么判断两个函数是否是同一个函数
,
只看定义域和对应关系
?
提示
:
由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域
,
所以判断两个函数是否是同一个函数
,
只看定义域和对应关系即可
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1)“y=f(x)”
表示的是“
y
等于
f
与
x
的乘积”
. (
)
(2)
根据函数的定义
,
定义域中的任何一个
x
可以对应着值域中不同的
y. (
)
(3)
在研究函数时
,
除用符号
f(x)
外
,
还可用
g(x),F(x),G(x)
等来表示函数
. (
)
提示
:
(1)×.
符号
y=f(x)
是
“
y
是
x
的函数
”
的数学表示
,
应理解为
x
是自变量
,
它是关系所施加的对象
.
(2)×.
根据函数的定义
,
对于定义域中的任何一个
x,
在值域中都有唯一的
y
与之对应
.
(3)√.
同一个题中
,
为了区别不同的函数
,
常采用
g(x),F(x),G(x)
等来表示函数
.
2.
下列两个变量之间的关系不是函数关系的是
(
)
A.
出租车车费与出租车行驶的里程
B.
商品房销售总价与商品房建筑面积
C.
铁块的体积与铁块的质量
D.
人的身高与体重
【
解析
】
选
D.A.
出租车车费与行程是函数关系
;B.
商品房销售总价与建筑面积是函数关系
;C.
铁块的体积与质量是函数关系
;D.
人的身高与体重不是函数关系
.
3.(
教材二次开发
:
练习改编
)
如图能表示函数关系的是
______
.
【
解析
】
由于③中的
2
与
1
和
3
同时对应
,
故③不是函数关系
.
答案
:
①②④
关键能力
·
合作学习
类型一 函数的概念
(
数学抽象
)
【
题组训练
】
1.(2020·
临沂高一检测
)
图中所给图象是函数图象的个数为
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.
设集合
P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2},
则图中能表示
P
到
Q
的函数的是
(
)
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)
C.(4) D.(3)
3.
以下从
M
到
N
的对应关系表示函数的是
(
)
A.M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x|
B.M={x|x≥2,x∈N
*
},N={y|y≥0,y∈N
*
},f:x→y=x
2
-2x+2
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M=R,N=R,f:x→y=
【
解析
】
1.
选
B.①
的图象中
,
当
x>0
时
,
每一个
x
值都有两个
y
值与之相对应
,
故①中的图象不是函数图象
;②
的图象中
,
当
x=x
0
或
x<0
时
,
有两个
y
值与之相对应
,
故②中的图象不是函数图象
;
③④
的图象中
,
对于每一个
x
值都有唯一的
y
值与之对应
,
符合函数的定义
,
故③④中的图象是函数的图象
,
所以是函数图象的有
2
个
.
2.
选
C.
对于
(1),
根据函数的定义
,
在定义域内的任何一个
x
值
,
都唯一对应一个
y
值
,
而当
x=1
时
,
有
2
个
y
值与之对应
,
故
(1)
不正确
;
对于
(2),
定义域
{x|0
0},f:x→y=|x|,
M
中元素
0,
在
N
中无对应的元素
,
不满足函数的定义
;B
中
,M={x|x≥2,x∈N
*
},N=
{y|y≥0,y∈N
*
},f:x→y=x
2
-2x+2,M
中任一元素
,
在
N
中都有唯一的元素与之对应
,
满足函数的定义
;C
中
,M={x|x>0},N=R,f:x→y=± ,M
中任一元素
,
在
N
中都有
两个对应的元素
,
不满足函数的定义
;D
中
M=R,N=R,f:x→y= ,M
中元素
0,
在
N
中
无对应的元素
,
不满足函数的定义
.
【
解题策略
】
1.
判断一个对应是否是函数的方法
2.
根据图象判断对应是否为函数的步骤
(1)
任取一条垂直于
x
轴的直线
l
.
(2)
在定义域内平行移动直线
l
.
(3)
若
l
与图象有且只有一个交点
,
则是函数
;
若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点
,
则不是函数
.
如图所示
:
【
补偿训练
】
(2020·
朝阳高一检测
)
图中
,
能表示函数
y=f(x)
的图象的是
(
)
【
解析
】
选
D.
根据题意
,
对于
A,B
两图
,
可以找到一个
x
与两个
y
对应的情形
;
对于
C
图
,
当
x=0
时
,
有两个
y
值对应
;
对于
D
图
,
每个
x
都有唯一的
y
值对应
.
因此
,D
图可以表示函数
y=f(x).
类型二 函数的三要素
(
数学运算
)
角度
1
定义域和值域
【
典例
】
(2020·
丰台高一检测
)
已知函数
y=f(x)
的图象如图所示
,
则该函数的定义域为
______
,
值域为
______
.
【
思路导引
】
观察横坐标的取值确定定义域
,
观察纵坐标的取值确定值域
.
【
解析
】
根据
y=f(x)
的函数图象可看出
,f(x)
的定义域为
{x|-2≤x≤4
或
5≤x≤8},
值域为
{y|-4≤y≤3}.
答案
:
{x|-2≤x≤4
或
5≤x≤8}
{y|-4≤y≤3}
【
变式探究
】
若已知函数
f(x)=x
2
,x∈{-1,0,1},
试求函数的值域
.
【
解析
】
由
x∈{-1,0,1},
代入
f(x)=x
2
,
解得
f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,
根据集合的互异性
,
函数的值域为
{0,1}.
角度
2
对应关系
【
典例
】
(2020·
哈尔滨高一检测
)
德国数学家狄利克雷在
1837
年时提出
:“
如
果对于
x
的每一个值
,y
总有一个完全确定的值与之对应
,
则
y
是
x
的函数”
,
这个
定义较清楚地说明了函数的内涵
.
只要有一个法则
,
使得
x
在取值范围中的每一
个值
,
都有一个确定的
y
和它对应就行了
,
不管这个对应的法则是公式、图象、
表格还是其他形式
,
已知函数
f(x)
由表给出
,
则 的值为
(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
x
x≤1
10}
时
,
函数值为
1,
在
x=0
时
,
函数值为
0,
在
x∈{x|x<0}
时
,
函数值为
-1.
故函数的值域为
{-1,0,1}.
2.
已知函数
f(x),g(x)
分别由表给出
则方程
g(f(x))=3
的解集为
________
.
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
【
解析
】
根据题意
,
若方程
g(f(x))=3,
必有
f(x)=1,
则有
x=1
或
3,
即方程
g(f(x))=3
的解集为
{1,3}.
答案
:
{1,3}
【
补偿训练
】
已知函数
f(x)
与
g(x)
分别由表给出
,
那么
f(g(3))=
________
.
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
x
1
2
3
4
g(x)
3
4
1
2
【
解析
】
由题意得
g(3)=1,f(g(3))=f(1)=2.
答案
:
2
类型三 判断同一个函数
(
逻辑推理
)
【
典例
】
(2020·
丰台高一检测
)
下列各组函数
,
是同一个函数的是
(
)
A.f(x)=x+1,g(x)= +1
B.f(x)=x,u=
C.f(x)=1,g(x)=(x-1)
0
D.f(x)= m=|n|
【
思路导引
】
判断定义域、对应关系是否相同
.
【
解析
】
选
D.
对于
A,
函数
f(x)=x+1(x∈R),
与
g(x)= +1=x+1(x≠0)
的定义域
不同
,
不是同一个函数
;
对于
B,
函数
f(x)=x(x∈R),
与
u= =|v|(v∈R)
的对应
关系不同
,
不是同一个函数
;
对于
C,
函数
f(x)=1(x∈R),
与
g(x)=(x-1)
0
=1(x≠1)
的定义域不同
,
不是同一个函
数
;
对于
D,
函数
f(x)= =|x|(x∈R),
与
m=|n|(n∈R)
的定义域相同
,
对应关
系也相同
,
是同一个函数
.
【
解题策略
】
判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)
三个步骤
.
(2)
两个注意点
.
①
在化简解析式时
,
必须是等价变形
;
②
与用哪个字母表示变量无关
.
【
跟踪训练
】
(2020·
宁德高一检测
)
下列两个函数是同一个函数的是
(
)
A.f(x)=x
2
,g(x)=
B.f(x)= ,g(x)=x
0
C.f(x)= ,g(x)=x+1
D.f(x)= ,g(x)=|x|
【
解析
】
选
B.A.f(x)
的定义域为
R,g(x)
的定义域为
{x|x≠0},
两个函数的定义域不相同
,
不是同一个函数
;
B.f(x)= =1,
函数的定义域为
{x|x≠0},g(x)=x
0
=1,
定义域为
{x|x≠0},
两个
函数的定义域相同
,
对应关系也相同
,
是同一个函数
;
C.f(x)=x+1(x≠1),
两个函数的定义域不相同
,
不是同一个函数
.
D.f(x)
的定义域为
[0,+∞),g(x)
的定义域是
R,
两个函数的定义域和对应关系不
相同
,
不是同一个函数
.
课堂检测
·
素养达标
1.
对于函数
f:A→B,
若
a∈A,b∈A,
则下列说法错误的是
(
)
A.f(a)∈B
B.f(a)
有且只有一个
C.
若
f(a)=f(b),
则
a=b
D.
若
a=b,
则
f(a)=f(b)
【
解析
】
选
C.
对于函数
f:A→B,a∈A,b∈A,
则根据函数的定义
,f(a)∈B,
且
f(a)
唯一
,
故若
a=b,
则
a,b
代表集合
A
中同一个元素
,
这时
,
有
f(a)=f(b),
故
B,D
都对
.
但若
f(a)=f(b),
则不一定有
a=b,
如
f(x)=x
2
,
显然
f(-1)=f(1)=1,
但
-1≠1,
故
C
错误
.
2.
函数
y=f(x)
的图象与直线
x=2 020
的公共点有
(
)
A.0
个
B.1
个
C.0
个或
1
个
D.
以上答案都不对
【
解析
】
选
C.
由函数的概念
:“
对集合
A
中的任意一个自变量的值
,
在集合
B
中有唯一确定的值与之对应”可知
,
直线
x=2 020
与函数
y=f(x)
的图象有且只有一个公共点或没有公共点
.
3.
若函数
y=x
2
-3x
的定义域为
{-1,0,2,3},
则其值域为
________
.
【
解析
】
依题意
,
当
x=-1
时
,y=4;
当
x=0
时
,y=0;
当
x=2
时
,y=-2;
当
x=3
时
,y=0,
所以函数
y=x
2
-3x
的值域为
{-2,0,4}.
答案
:
{-2,0,4}
4.
下列对应关系是集合
P
上的函数的是
________
.
①P=Z,Q=N
*
,
对应关系
f:
对集合
P
中的元素取绝对值与集合
Q
中的元素相对应
;
②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},
对应关系
f:x→y=x
2
,x∈P,y∈Q;
③P={
三角形
},Q={x|x>0},
对应关系
f:
对
P
中的三角形求面积与集合
Q
中的元素对应
.
【
解析
】
②
显然正确
,
由于①中的集合
P
中的元素
0
在集合
Q
中没有对应元素
,
并且③中的集合
P
不是数集
,
从而①③不正确
.
答案
:
②
