2020高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2

2020高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2

映射 一、考点突破 了解映射的概念及表示方法。‎ 二、重难点提示 重点：理解映射的概念；‎ 难点：理解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象。‎ ‎◆ 映射的定义 设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：。‎ 注意：‎ ‎（1）要理解映射定义中的关键词；‎ ‎（2）A中元素必须取完，B中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多；‎ ‎（3）在映射中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中元素y叫做x的象，记作：，x叫做y的原象。‎ ‎◆ 映射的“三性”‎ ‎1. “有序性”：映射是有方向的，从A到B的映射与从B到A的映射往往不是同一个映射；‎ ‎2. “存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；‎ ‎3. “唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的。‎ 例题1 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? ‎ ‎（1）A=R，B=R，对应法则f：取倒数；‎ ‎（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆。‎ 思路分析：根据定义分析是否满足“A中元素的任意性”和“B中对应元素的唯一性”。‎ 答案：（1）不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意性”；若把集合A改为A={x|x≠0}或者把对应法则f改为“加1”等，就可成为映射；‎ ‎（2）是映射，集合A中的任意一个元素（三角形），在集合B中都有唯一的元素（该三角形的外接圆）与之对应，这是因为平面内不共线的三点可以确定一个圆。‎ 技巧点拨：将不是映射的对应修改为映射，可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手。‎ 例题2 已知A=R，B={（x，y）|x，y 2‎ R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→（x+1，x2+1），求A中的元素的象，B中元素的原象。‎ 思路分析：把握好象与原象的关系，进而求象或原象。‎ 答案：∵的映射关系为 ‎∴A中元素的象为 故的原象为。‎ ‎【思维拓展】‎ 巧算有限集合间可建立的映射个数 若集合中有元素个，集合中有元素个，则从集合到集合的映射的个数为个。‎ ‎【满分训练】‎ 已知集合，集合，则从集合到集合的映射有_______个？‎ 思路分析：因为集合中有两个元素，所以可将从到的映射分两步进行。‎ 元素有3种对应选择，元素也有3种对应选择，所以从集合到集合的映射的个数为（个）。‎ 答案：9‎ 2‎