高中数学第8章圆锥曲线方程（第18课时）小结与复习(2)

高中数学第8章圆锥曲线方程（第18课时）小结与复习(2)

课 题：小结与复习（二）‎ 教学目的：‎ ‎1通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 ‎2通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识 ‎3结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 ‎ 教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质 ‎ 教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点 ‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、讲解范例：‎ 例1 根据下列条件，写出椭圆方程 ‎⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；‎ ‎⑵ 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，－3)；‎ ‎⑶ 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是 分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，‎ 因此有两解： ‎ ‎ ⑵ 焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,(a>b>0)，由已知条件有 ,故方程为 ‎ ⑶ 设椭圆方程为,(a>b>0)‎ 由题设条件有 及a2=b2+c2，解得b=,‎ 故所求椭圆的方程是 例2 从椭圆,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F2PQ的面积为20，求此时椭圆的方程 解 可用待定系数法求解 ‎∵b=c,a=c，可设椭圆方程为 ‎∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，‎ 代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，‎ 根据弦长公式，得,‎ 又点F1到PQ的距离d=c ‎∴ ,由 故所求椭圆方程为 例3 已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长 解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）‎ 由题意知：与联立消去y得：‎ 设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，‎ ‎，又因为A、B、F都是直线上的点，‎ 所以|AB|=‎ 点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算 例4 中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程 分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，，最后解关于a、b的方程组即可 解：设椭圆的标准方程为，‎ 由F1（0，）得 ‎ 把直线方程代入椭圆方程整理得：‎ 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：‎ ‎，‎ 又AB的中点横坐标为，‎ ‎，与方程联立可解出 故所求椭圆的方程为：‎ 例5 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？‎ 解： 把代入 整理得：……（1）‎ 当时，‎ 由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若A、B在双曲线的同一支，须>0 ，所以或 故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上 例6 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程 解：设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-a2‎ 则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 ‎ ‎ 设M（x1,y1）,N(x2,y2),则，‎ ‎ ‎ 解得：，‎ 故所求双曲线方程为：‎ 点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握 例7 已知双曲线，过点 A（2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q两点（1）求PQ中点的轨迹方程；（2）过B（1，1）能否作直线，使与所给双曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若存在，求出的方程，不存在说明理由 解：（1）设P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中点为（x，y）,PQ的斜率为k,‎ 若PQ的斜率不存在显然（2，0）点是曲线上的点 若PQ的斜率存在，由题设知：‎ ‎…（1） …（2）‎ ‎（2）-（1）得：‎ ‎ ，即…（3）‎ 又代入（3）整理得：‎ ‎（2）显然过B点垂直X抽的直线不符合题意只考虑有斜率的情况设的方程为y-1=k(x-1)‎ 代入双曲线方程，整理得：‎ ‎…※‎ 设M（x1,y1）、N(x2,y2)则有解得：=2‎ 又直线与双曲线必须有两不同交点，‎ 所以※式的 把K=2代入得<0，‎ 故不存在满足题意的直线 例8 已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．‎ 解：设与抛物线交于 ‎ 由距离公式 ‎|AB|==‎ 则有 ‎ 由 ‎ ‎ 从而由于p>0，解得 ‎ 例9 如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线 ‎ ‎ （1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若的取值范围 解：（1）当AB不垂直x轴时，设AB方程为 由|‎ ‎，‎ 故所求抛物线方程为 ‎（2）设 ‎ ‎ ‎ ①，‎ 平方后化简得 又由①知 的取值范围为 轴时，‎ 符合条件，‎ 故符合条件的m取值范围为 二、课堂练习：‎ ‎1．直线与曲线，相交于A、B两点，求直线的倾斜角的范围答案：‎ ‎2．直线与双曲线的左支仅有一个公共点，求K的取值范围答案：或 ‎3．已知双曲线与点P（1，2），过P点作直线L与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点（1）求直线AB的方程（2）若Q为（-1，-1），证明不存在以Q为中点的弦答案 AB：x-y+1=0‎ ‎4．双曲线，一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动，其中点为M，求距Y轴最近的点M的坐标答案：‎ ‎5．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得的弦长为，求抛物线的方程答案：或 ‎6．过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若、在抛物线准线上的射影分别为、，则等于 （ B ）‎ A． B C D ‎7若抛物线被过焦点，且倾斜角为的直线所截，求截得的线段的中点坐标答案： ‎ ‎8过点的直线与抛物线交于、两点，求直线的斜率K的取值范围答案：‎ ‎9．过点作倾斜角为的直线交抛物线于点、‎ ‎，若，求实数的值答案：‎ 三、小结 ：‎ ‎（1）直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种 ‎（2）判断其位置关系看直线是否过定点，在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系 ‎（3）可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系但有一解不一定是相切，要根据斜率作进一不的判定 ‎ 四、课后作业：‎ 五、板书设计（略）‎ 六、课后记：采用数形结合、类比联想（椭圆）、启发诱导的教学方法，注重思维能力的培养和学生动手操作的能力的训练，同时结合几何画板进行动画演示，验证结果（特别是轨迹问题）‎