2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3
第
1
课时 函数的概念
必备知识
·
自主学习
函数
(1)
概念：
①定义：设
A
，
B
是非空的实数集，如果对于集合
A
中的
_________
数
x
，按照某
种确定的对应关系
f
，在集合
B
中都有
_________
的数
y
和它对应，那么
f
：
A→B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数
.
导思
初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系，那么函数还有没有其他的定义方法？
任意一个
唯一确定
②
记法：
y=f(x)
，
x∈A.
③
定义域：
x
的取值范围
A
；值域：与
x
的值对应的
y
值叫做函数值，即集合
____________.
(2)
本质：函数的集合定义
.
(3)
应用：给出了函数的一般性定义
.
{f(x)|x∈A}
【
思考
】
1.
对于函数
f
：
A→B
，值域一定是集合
B
吗？为什么？
提示：
不一定
.
值域是集合
B
的子集，即
{f(x)|x∈A}⊆B.
2.
对应关系
f
必须是一个解析式的形式吗？为什么？
提示：
不一定
.
可以是数表，也可以是图象
.
3.f(x)
的含义是什么？
提示：
集合
A
中的数
x
在对应关系
f
的作用下对应的数
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)“y=f(x)”
表示的是“
y
等于
f
与
x
的乘积”
. (
)
(2)
根据函数的定义，定义域中的任何一个
x
可以对应着值域中不同的
y. (
)
(3)
在研究函数时，除用符号
f(x)
外，还可用
g(x)
，
F(x)
，
G(x)
等来表示函
数
. (
)
提示：
(1)×.
符号
y=f(x)
是
“
y
是
x
的函数
”
的数学表示，应理解为
x
是自变量，它是关系所施加的对象
.
(2)×.
根据函数的定义，对于定义域中的任何一个
x
，在值域中都有唯一的
y
与之对应
.
(3)√.
同一个题中，为了区别不同的函数，常采用
g(x)
，
F(x)
，
G(x)
等来表示函数
.
2.
下列两个变量之间的关系不是函数关系的是
(
)
A.
出租车车费与出租车行驶的里程
B.
商品房销售总价与商品房建筑面积
C.
铁块的体积与铁块的质量
D.
人的身高与体重
【
解析
】
选
D.A.
出租车车费与行程是函数关系；
B.
商品房销售总价与建筑面积是函数关系；
C.
铁块的体积与质量是函数关系；
D.
人的身高与体重不是函数关系
.
3.(
教材二次开发：练习改编
)
如图能表示函数关系的是
_______.
【
解析
】
由于③中的
2
与
1
和
3
同时对应，故③不是函数关系
.
答案：
①②④
关键能力
·
合作学习
类型一 函数的概念
(
数学抽象
)
【
题组训练
】
1.(2020·
临沂高一检测
)
图中所给图象是函数图象的个数为
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.
设集合
P={x|0≤x≤2}
，
Q={y|0≤y≤2}
，则图中能表示
P
到
Q
的函数的
是
(
)
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)
C.(4) D.(3)
3.
以下从
M
到
N
的对应关系表示函数的是
(
)
A.M=R
，
N={y|y>0}
，
f
：
x→y=|x|
B.M={x|x≥2
，
x∈N
*
}
，
N={y|y≥0
，
y∈N
*
}
，
f
：
x→y=x
2
-2x+2
C.M={x|x>0}
，
N=R
，
f
：
x→y=±
D.M=R
，
N=R
，
f
：
x→y=
【
解析
】
1.
选
B.①
的图象中，当
x>0
时，每一个
x
值都有两个
y
值与之相对应，故①中的图象不是函数图象；②的图象中，当
x=x
0
或
x<0
时，有两个
y
值与之相对应，故②中的图象不是函数图象；
③④的图象中，对于每一个
x
值都有唯一的
y
值与之对应，符合函数的定义，故③④中的图象是函数的图象，所以是函数图象的有
2
个
.
2.
选
C.
对于
(1)
，根据函数的定义，在定义域内的任何一个
x
值，都唯一对应一个
y
值，而当
x=1
时，有
2
个
y
值与之对应，故
(1)
不正确；对于
(2)
，定义域
{x|0
0}
，
f
：
x→y=|x|
，
M
中元素
0
，在
N
中无对应的元素，不满足函数的定义；
B
中，
M={x|x≥2
，
x∈N
*
}
，
N={y|y≥0
，
y∈N
*
}
，
f
：
x→y=x
2
-2x+2
，
M
中任一元素，在
N
中都有唯
一的元素与之对应，满足函数的定义；
C
中，
M={x|x>0}
，
N=R
，
f
：
x→y=
±
，
M
中任一元素，在
N
中都有两个对应的元素，不满足函数的定义；
D
中
M=R
，
N=R
，
f
：
x→y=
，
M
中元素
0
，在
N
中无对应的元素，不满足函数的定义
.
【
解题策略
】
1.
判断一个对应是否是函数的方法
2.
根据图象判断对应是否为函数的步骤
(1)
任取一条垂直于
x
轴的直线
l
.
(2)
在定义域内平行移动直线
l
.
(3)
若
l
与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数
.
如图所示：
【
补偿训练
】
(2020·
朝阳高一检测
)
图中，能表示函数
y=f(x)
的图象的是
(
)
【
解析
】
选
D.
根据题意，对于
A
，
B
两图，可以找到一个
x
与两个
y
对应的情形；对于
C
图，当
x=0
时，有两个
y
值对应；对于
D
图，每个
x
都有唯一的
y
值对应
.
因此，
D
图可以表示函数
y=f(x).
类型二 函数的三要素
(
数学运算
)
角度
1
定义域和值域
【
典例
】
(2020·
丰台高一检测
)
已知函数
y=f(x)
的图象如图所示，则该函数的定义域为
_____
，值域为
_____.
【
思路导引
】
观察横坐标的取值确定定义域，观察纵坐标的取值确定值域
.
【
解析
】
根据
y=f(x)
的函数图象可看出，
f(x)
的定义域为
{x|-2≤x≤4
或
5≤x≤8}
，值域为
{y|-4≤y≤3}.
答案：
{x|-2≤x≤4
或
5≤x≤8}
{y|-4≤y≤3}
【
变式探究
】
若已知函数
f(x)=x
2
，
x∈{-1
，
0
，
1}
，试求函数的值域
.
【
解析
】
由
x∈{-1
，
0
，
1}
，代入
f(x)=x
2
，
解得
f(-1)=1
，
f(0)=0
，
f(1)=1
，
根据集合的互异性，函数的值域为
{0
，
1}.
角度
2
对应关系
【
典例
】
(2020·
哈尔滨高一检测
)
德国数学家狄利克雷在
1837
年时提出：
“如果对于
x
的每一个值，
y
总有一个完全确定的值与之对应，则
y
是
x
的函
数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵
.
只要有一个法则，使得
x
在取值
范围中的每一个值，都有一个确定的
y
和它对应就行了，不管这个对应的法则
是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数
f(x)
由表给出，则
的值为
(
)
A.0 B.1 C.2 D.3
x
x≤1
10}
时，
函数值为
1
，在
x=0
时，
函数值为
0
，在
x∈{x|x<0}
时，函数值为
-1.
故函数的值域为
{-1
，
0
，
1}.
2.
已知函数
f(x)
，
g(x)
分别由表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
则方程
g(f(x))=3
的解集为
_______.
【
解析
】
根据题意，若方程
g(f(x))=3
，必有
f(x)=1
，则有
x=1
或
3
，即方程
g(f(x))=3
的解集为
{1
，
3}.
答案：
{1
，
3}
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
【
补偿训练
】
已知函数
f(x)
与
g(x)
分别由表给出，那么
f(g(3))=_______.
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
x
1
2
3
4
g(x)
3
4
1
2
【
解析
】
由题意得
g(3)=1
，
f(g(3))=f(1)=2.
答案：
2
类型三 构建问题情境
(
数学建模
)
【
典例
】
已知矩形的面积为
10
，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系，
【
思路导引
】
观察解析式求出的值对应图形中的线段，构建问题情境
.
【
解析
】
(1)
设长为
x
，宽为
y
，那么
y= .
其中
x
的取值范围
A={x|x>0}
，
y
的取值范围
B={y|y>0}
，对应关系
f
把每一个长
方形的长
x
，对应到唯一确定的宽
.
(2)
设长为
x
，周长为
y
，那么
y=2x+ .
其中
x
的取值范围
A={x|x>0}
，
y
的取值范围
B={y|y>0}
，对应关系
f
把每一个长
方形的长
x
，对应到唯一确定的周长
2x+ .
(3)
设长为
x
，对角线为
y
，那么
y= .
其中
x
的取值范围
A={x|x>0}
，
y
的取值范围
B={y|y≥ }
，对应关系
f
把每一
个长方形的长
x
，对应到唯一确定的对角线
.
【
解题策略
】
构建问题情境的步骤
(1)
综合考虑构建具体的实际问题
.
(2)
赋予每个变量具体的实际意义
.
(3)
根据变量关系，设计出所求的实际问题
.
【
跟踪训练
】
构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式
y=2
来描
述
.
【
解析
】
某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的
2
倍，设投资为
x
，利润为
y
，那么
y=2 .
其中
x
的取值范围
A={x|x≥0}
，
y
的取值范围
B={y|y≥0}
，对应关系
f
把每一笔投资对应到唯一确定的利润
2 .
课堂检测
·
素养达标
1.
对于函数
f
：
A→B
，若
a∈A
，
b∈A
，则下列说法错误的是
(
)
A.f(a)∈B
B.f(a)
有且只有一个
C.
若
f(a)=f(b)
，则
a=b
D.
若
a=b
，则
f(a)=f(b)
【
解析
】
选
C.
对于函数
f
：
A→B
，
a∈A
，
b∈A
，则根据函数的定义，
f(a)∈B
，且
f(a)
唯一，故若
a=b
，则
a
，
b
代表集合
A
中同一个元素，这时，有
f(a)=f(b)
，故
B
，
D
都对
.
但若
f(a)=f(b)
，则不一定有
a=b
，如
f(x)=x
2
，显然
f(-1)=f(1)=1
，但
-1≠1
，故
C
错误
.
2.
函数
y=f(x)
的图象与直线
x=2 020
的公共点有
(
)
A.0
个
B.1
个
C.0
个或
1
个
D.
以上答案都不对
【
解析
】
选
C.
由函数的概念：
“
对集合
A
中的任意一个自变量的值，在集合
B
中有唯一确定的值与之对应
”
可知，直线
x=2 020
与函数
y=f(x)
的图象有且只有一个公共点或没有公共点
.
3.
若函数
y=x
2
-3x
的定义域为
{-1
，
0
，
2
，
3}
，则其值域为
_______.
【
解析
】
依题意，当
x=-1
时，
y=4
；当
x=0
时，
y=0
；当
x=2
时，
y=-2
；当
x=3
时，
y=0
，所以函数
y=x
2
-3x
的值域为
{-2
，
0
，
4}.
答案：
{-2
，
0
，
4}
4.
下列对应关系是集合
P
上的函数的是
_______.
①P=Z
，
Q=N
*
，对应关系
f
：对集合
P
中的元素取绝对值与集合
Q
中的元素相对应；
②
P={-1
，
1
，
-2
，
2}
，
Q={1
，
4}
，对应关系
f
：
x→y=x
2
，
x∈P
，
y∈Q
；
③
P={
三角形
}
，
Q={x|x>0}
，对应关系
f
：对
P
中的三角形求面积与集合
Q
中的元素对应
.
【
解析
】
②
显然正确，由于①中的集合
P
中的元素
0
在集合
Q
中没有对应元素，并且③中的集合
P
不是数集，从而①③不正确
.
答案：
②
