中考数学专题训练——几何题中用旋转构造手拉手模型

中考数学专题训练——几何题中用旋转构造手拉手模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型 ‎ 一、教学目标：‎ ‎1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．‎ ‎2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．‎ ‎3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．‎ 二、教学重难点：‎ ‎1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．‎ ‎2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．‎ 三、教学过程：‎ ‎1.复习旧知 师：如图，△ABD，△BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论？‎ 生：（1）△ABE≌△DBC （2）△ABG≌△DBF ‎ （3）△CFB≌△EGB （4）△BFG为等边三角形 ‎ （5）△AGB∽△DGH （6）∠DHA＝60°（7）H，G，F，B四点共圆 （8）BH平分∠AHC ……‎ 师：我们再来重点研究△ABE与△DBC，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？‎ 生：它们有同一个字母B，即同一个顶点B．‎ 师：我们也可以把△DBC看作由△ABE经过怎样的图形运动得到？‎ 生：绕点B逆时针旋转60°得到．‎ ‎2.引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？‎ 生：对应边相等．‎ 师：我们可以称之为“等线段”．‎ 生：有同一个顶点．‎ 师：我们可以称之为“共顶点”．‎ 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？‎ 生：旋转．‎ 师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．‎ ‎3.小题热身 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C， 则AF＝____BE．‎ ‎2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．‎ ‎3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°， BE＝3，DF＝5，则EF＝_______．‎ 师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．‎ 生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．‎ ‎ 题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE．‎ 师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？‎ 生：没有． ‎ 师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？‎ 生：等线段是AD，AB，共顶点是A．‎ 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？‎ 生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°．‎ 师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？‎ 生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形， AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等．‎ 师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？‎ 生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条 “共顶点”的线段，将其旋转．‎ 师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？‎ 生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．‎ 师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？‎ 步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．‎ 步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过 “共顶点”的线段旋转．‎ 步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．‎ 师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？‎ 生：连接GD后，要证明G，D，F三点共线．‎ ‎4.例题精讲 例1：等边△ABC中，AD＝4，DC＝3，BD＝5，求∠ADC度数．‎ 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？‎ 要构造全等，该怎样旋转？‎ 生：将△ADC绕点A顺时针旋转60°．‎ 师：你是怎么想的，还有其他做法吗？‎ 生：我发现AB＝AC，A为“共顶点”，我选择的旋转线段 是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60°到AB，所以△ADC也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点A逆时针旋转60°．‎ ‎【解答】‎ 将AD绕点A顺时针旋转60°到AE，连接BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ADC，∴BE＝DC＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠AEB＝∠ADC＝150°‎ 例2： 如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形， ÐAOB＝ÐCOD＝90°．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形的面积． ‎ 师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？‎ 生：将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，即可使OC，OD共线，再通过证明确定△BCE即是以AD、BC、OC＋OD的长度为三边长的三角形．‎ ‎【解答】‎ 如图，将OD绕点O逆时针旋转90°至OE，连接BE．易证△OAD≌△OBE，AD＝BE，∴△BCE即是以AD、BC、OC＋OD长度为三边长的三角形．又∵OC＝OE，∴S△BCE＝2S△BOC＝2．‎ ‎5.自主练习 ‎1．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 _________．‎ 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．‎ 生：“等线段”是CA和BA，“共顶点”是A．方法是将AD绕点A顺时针旋转90°．‎ ‎2．如图，在△ABC中，BC＝2，AB＝，以AC为边，向外做正方形 ACDE，连接BE，则BE最大值为_________．‎ 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．‎ 生：“等线段”是CA和EA，“共顶点”是A．‎ 方法是将AB绕点A逆时针旋转90°．‎ 师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？‎ 生：△ABC，因为AC是逆时针旋转90°到AE，所以AB也绕点A逆时针旋转90°．‎ ‎3．如图，点A在⊙B上，AB＝1，BC＝2，△ACD是等边三角形，求△BCD面积的最大值．‎ 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．‎ 生：“等线段”是CA和CD，“共顶点”是C．‎ 方法是将CA绕点C逆时针旋转60°．‎ 附：自主练习解答 1． 如图，将AD绕点A顺时针旋转90°至AE，易证△EAC≌△DAB，可得CE＝BD，又∵∠EDA＝45°，∴∠CDE＝90°，CD＝3，DE＝4，则Rt△CDE中，CE2＝CD2＋DE2＝32 ＋ (4)2＝41‎ ‎∴CE＝，∴DB＝ ‎2.如图，将AB绕点A逆时针旋转90°至AF，易证△EAF≌△CAB，可得EF＝BC＝2．Rt△BAF中，AF＝AB＝，∴BF＝2．由三角形三边关系易知，BE≤EF＋BF，∴BE最小值为4.‎ ‎3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60°至CE，连接DE，过点E作EF⊥CB于F，过点D作DG⊥CB于G．易证△CBA≌CED， 则DE＝1，EF＝，过E作DG边上的高，可证DG＜DE＋EF．‎ 当D，E，F三点共线时，DG＝DE＋EF．即高的最大值为1＋， S△BCDmax＝×2×（1＋）＝1＋