人教新课标A版高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案)

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高二直线和圆的方程单元测试卷 班级： 姓名： 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.直线 l 经过 A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取 值范围是 A． ),0[  B． ),4 3[]4,0[   C． ]4,0[  D． ),2(]4,0[   2. 如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a 的值等于 A． 2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2 3.已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝r2，点 P（a，b）（ab≠0）是圆 O 内一点，以 P 为中点的弦所在的直线为 m，直线 n 的方程为 ax＋by＝r2，则 A．m∥n，且 n 与圆 O 相交 B．m∥n，且 n 与圆 O 相 离 C．m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离 D．m⊥n，且 n 与圆 O 相离 4. 若直线 2 2 0( , 0)ax by a b    始终平分圆 2 2 4 2 8 0x y x y     的 周长，则 1 2 a b  的最小值为 A．1 B．5 C ． 4 2 D． 3 2 2 5. 0 0( , )M x y 为 圆 2 2 2 ( 0)x y a a   内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线 2 00 ayyxx  与该圆的位置关系为 A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或 相交 6. 已知两点 M（2，－3），N（－3，－2），直线 L 过点 P（1，1）且与线段 MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是 A． 3 4  ≤k≤4 B．k≥ 4 3 或 k≤－4 C． 4 3 ≤k≤4 D．－ 4≤k≤ 4 3 7. 过直线 y x 上的一点作圆 2 2( 5) ( 1) 2x y    的两条切线 1 2l l， ，当直 线 1 2l l， 关于 y x 对称时，它们之间的夹角为 A．30 B． 45 C． 60 D．90 8．如果实数 x y、 满足条件 1 0 1 0 1 0 x y y x y           ，那么 14 ( )2 x y 的最大值为 A． 2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 9．设直线过点 (0, ),a 其斜率为 1，且与圆 2 2 2x y  相切，则 a 的值为 Ａ． 4 Ｂ． 2 2 Ｃ． 2 Ｄ． 2 10．如图， 1l 、 2l 、 3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与 2l 间的距离是 1， 2l 与 3l 间的距离是2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 1l 、2l 、3l 上，则⊿ ABC 的边长是 A. 2 3 B. 3 64 C. 3 17 4 D. 2 21 3 一、 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．答案填在题中横线上． 11．已知直线 1 : sin 1 0l x y    ， 2 : 2 sin 1 0l x y    ，若 1 2//l l ，则   ． 12．有下列命题： ①若两条直线平行，则其斜率必相等； ②若两条直线的斜率乘积为－1, 则其必互相垂直； ③过点（－1，1），且斜率为 2 的直线方程是 21 1   x y ； ④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行; ⑤若直线的倾斜角为 ，则  0 . 其中为真命题的有_____________(填写序号). 13．直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 M、N，若满足 C2＝A2＋ B2，则OM  ·ON  （O 为坐标原点）等于 _ . 14．已知函数 32)( 2  xxxf ，集合   0)()(,  yfxfyxM ， 集 合   0)()(,  yfxfyxN ， 则 集 合 NM  的 面 积 是 ； 15 ． 集 合  05|),(  yxyxP ， x N* ， y N* ｝ ，   xyxQ 2|),( 0 my ，  yxzyxM  |), ， )(),( QPyx  ， 若 z 取 最 大 值 时 ，  )1,3(M ，则实数 m 的取值范围是 ； 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤． 16．（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的顶点 A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为 6 10 59 0x y   ， B 的平分线所在直线方程为 4 10 0x y   ，求 BC 边所在直线的方程． 17．（本小题满分 12 分） 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元，2 千 元。甲、乙产品都需要在 A，B 两种设备上加工，在每台 A，B 上加工一 件甲产品所需工时分别为 1 时、2 时，加工一件乙产品所需工时分别为 2 时、1 时，A，B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500。如何 安排生产可使月收入最大？ 18．（本小题满分 12 分） 设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数    2 2f x x x b x R    的图 象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C．求： （Ⅰ）求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）求圆 C 的方程； （Ⅲ）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论． 19．（本小题满分 12 分） 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 (2 0)M ， ，AB 边所在直线的方程为 3 6 0x y   , 点 ( 11)T  ， 在 AD 边 所在直线上． （I）求 AD 边所在直线的方程； （II）求矩形 ABCD 外接圆的方程； （III）若动圆 P 过点 ( 2 0)N  ， ，且与矩形 ABCD 的 外接圆外切，求动圆 P 的圆心的方程． D T N O A B C M x y 20．（本小题满分 13 分） 设等差数列{an}的首项为 a(a≠0)，公差为 2a，前 n 项和为 Sn.记 A={(x，y)| x=n， y= n Sn ，n∈N*}，B={(x，y) | (x-2)2+y2=1，x、y∈R}. (1)若 A∩B≠φ，求 a 的取值集合； (2)设点 P∈A，点 Q∈B，当 a= 3 时，求|PQ|的最小值. 21．（本小题满分 14 分） 已知 ,a b 都是正数，△ABC 在平面直角坐标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 ) 和 B (0,b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点 C 在第一象限内. （1）若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0  x  1, 0 y  1}内， 试求 变量 ,a b 的约束条件，并在直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表示的 平面区域； （2）当 ( , )a b 在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC 面积 S 的最 大值，并求此时 ( , )a b 的值. 荆门市龙泉中学高二直线和圆的方程单元测试卷参考答案 一、选择题： 1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 二、填空题: 11． ( )4k k Z   ．解： sin 0  时不合题意； O （200，100） y x 500 250 400 200 sin 0  时由 21 1 22sin sin sinsin 2 2 4k                ，这 时 1 1sin   ． 12．② 13．－2 14. 4 解：集合 M 即为： 8)1()1( 22  yx ，集合 N 即为： 0))(2(  yxyx ， 其面积等于半圆面积。 15. 57  m 解：如图 QP  所表示区域为阴影部分的所有整点(横坐标，纵 坐标均为整数)，对于直线 t： yxz  ，即 1 z y z x ， z 即为 直线 t 的纵截距的相反数，当直线 t 位于阴影部分 最右端的整点时，纵截距最小， z 最大，当 3x ， 1y 时 z 取最大值， q)1,3( ， 0132  m ∴ 5m ， 又 （4 ，1） P ， 但 (4 ，1) q ， 即 018  m ∴ 7m 即 57  m 三、解答题： 16. 设 1 1(4 10, )B y y ，由 AB 中点在 6 10 59 0x y   上， 可得： 0592 1102 746 11  yy ，y1 = 5，所以 (10,5)B ． 设 A 点关于 4 10 0x y   的对称点为 '( ', ')A x y ， 则有 )7,1( 14 1 3 1 0102 442 3 A x y yx          . 故 : 2 9 65 0BC x y   ． 17． 解：设甲、乙两种产品的产量分别为 x，y 件，约束条件是 2 400 2 500 0, 0, x y x y x y         目标函数是 3 2f x y  ，要求出适当的 x，y，使 3 2f x y  取得最大值。 作出可行域，如图。 设 3 2 ,x y a a  是参数， 将它变形为 3 2 2 ay x   ， 这是斜率为 3 2  ，随 a 变化的一族直线。 当直线与可行域相交且截距 2 a 最大时， 目标函数 f 取得最大值。由 2 400 2 500 x y x y      得 200 100 x y    ， 因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为 200，100 件时，可得最大收入 800 千元。 18.解： （Ⅰ）令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）； 令   2 2 0f x x x b    ，由题意 b≠0 且Δ＞0，解得 b＜1 且 b≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F     令 y ＝0 得 2 0x Dx F   这与 2 2x x b  ＝0 是同一个方程，故 D＝2，F＝ b ． 令 x ＝0 得 2y Ey ＝0，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝―b―1． 所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b      . （Ⅲ）圆 C 必过定点（0，1）和（－2，1）． 证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边＝0 2 ＋1 2 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右 边＝0， 所以圆 C 必过定点（0，1）． 同理可证圆 C 必过定点（－2，1）． 19. 解:（I）因为 AB 边所在直线的方程为 3 6 0x y   ，且 AD 与 AB 垂直， 所以直线 AD 的斜率为 3 ．又因为点 ( 11)T  ， 在直线 AD 上， 所以 AD 边所在直线的方程为 1 3( 1)y x    ． 3 2 0x y   ． （II）由 3 6 0 3 2 = 0 x y x y       ， 解得点 A 的坐标为 (0 2)， ， 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 (2 0)M ， ． 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心． 又 2 2(2 0) (0 2) 2 2AM      ． 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 2 2( 2) 8x y   ． （III）因为动圆 P 过点 N ，所以 PN 是该圆的半径，又因为动圆 P 与圆 M 外切， 所以 2 2PM PN  ，即 2 2PM PN  ． 故点 P 的轨迹是以 M N， 为焦点，实轴长为 2 2 的双曲线的左支． 因为实半轴长 2a  ，半焦距 2c  ．所以虚半轴长 2 2 2b c a   ． 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 2 2 1( 2)2 2 x y x  ≤ ． 20. 解: (1)由已知得 Sn=na+ 2 )1( nn ·2a=an2， n Sn =an. …… 2 分 ∴A={(x，y)|y=ax，x∈N*}.(a≠0) …… 3 分 由 B={(x，y)|(x-2)２+y2=1，x，y∈R}知|x-2|≤1 ∴1≤x≤3. 由 A∩B≠φ ，知集合 B 中 x 只能取 1，2，3，又 y≠0，∴x=2. …… 5 分 此时 y=±1，由 y=ax 可求得 a=± 2 1 . 故 a 的取值集合为{ 2 1 ，- 2 1 }. …… 7 分 (2)由(1)知点 P 可设为(n， 3 n)，圆(x-2)2+y2=1 的圆心 M(2，0)，半径 r=1.先求|PM|最 小值. |PM|2=(n-2)2+3n2=4n2-4n+4=4(n- 2 1 )2+3. …… 11 分 又 n∈N*，∴|PM|最小值为 2 (n=1). 故|PQ|min=|PM|min-r=2-1=1. …… 13 分 21.解: （1）由题意知：顶点 C 是分别以 A、B 为圆心，以|AB|为半径的两圆在第一 象限的交点，由圆 A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圆 B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 . 解得 3 2 a bx  , 3 2 a by  ，∴C（ 2 3ba  ， 2 3 ba  ） △ABC 含于正方形 D 内，即三顶点 A，B，C 含于区域 D 内时， ∴              .12 30 ,12 30 ,10 ,10 ba ba b a 这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图 的六边形， ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外． （2）∵△ABC 是边长为 22 ba  的正三角形, ∴ S = 4 3 ( a2 + b2 )在（1）的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b ) 到原点的距离最大, 由六边形中 P、Q、R 相应的 OP、OQ、OR 的计算. OP2 = OR2 = 12 + ( 2 – 3 )2 = 8 – 4 3 ，OQ2 = 2( 3 – 1)2 = 8 – 4 3 . ∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 – 3 ), 或( 3 – 1, 3 – 1), 或( 2 – 3 , 1 ) 时, Smax =2 3 – 3. y x 5 O p t 5 z=x—y qt