2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(C卷02)江苏版

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2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(C卷02)江苏版

‎2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理(C卷02)江苏版 一、填空题 ‎1.若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 ______ .‎ ‎【答案】‎ 则,绘制函数的图象如图所示,‎ 函数有3个不同的零点,‎ 则函数与函数有个不同的交点,‎ 观察函数图象可得:.‎ ‎ ‎ 22‎ 点睛:函数零点的求解与判断方法:‎ ‎(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.‎ ‎(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.‎ ‎(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.‎ ‎2.已知函数若关于的方程有三个不同的解,其中最小的解为,则的取值范围为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令 ‎ ‎,又 ‎ ‎ .‎ ‎3.已知椭圆的离心率为, 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且,则直线的方程为_______.‎ 22‎ ‎【答案】‎ 又,‎ ‎∴。‎ 设点N的坐标为,‎ 则,解得。‎ 故N的坐标为。‎ 所以点关于原点对称,从而直线过原点,且。‎ 所以直线的方程为。‎ 答案: ‎ ‎4.已知椭圆的右顶点为, 点,过椭圆上任意一点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为_________.‎ 22‎ ‎【答案】‎ 答案: ‎ 点睛:本题求最值的方法采用了几何法,在圆锥曲线的最值问题中,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时,则考虑用图形性质来解决,这样可使问题的解决变得直观简捷,如在本题中运用了连接两点间的线中线段最短的结论。‎ ‎5.已知函数, ,若两函数与的图像有三个不同的公共点,则的范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 作出函数的图象,如图所示,‎ ‎ 设直线与相切与点,所以,‎ ‎ 所以曲线在切点处的切线方程为,‎ ‎ 把原点代入切线方程得,得,‎ ‎ 要使得直线与交于三个不同的点,则,‎ ‎ 联立,解得,所以,则,‎ 22‎ ‎ 所以的取值范围是.‎ ‎ 点睛:函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.‎ ‎6.已知函数,设关于的方程()有4个不同的实数解,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】 由题意, ,‎ ‎ 令,解得或,‎ ‎ 所以当或时, ,当时, ,‎ ‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎ 所以当时, 取得极大值;当时, 取得极大值,‎ ‎ 作出函数的图象,如图所示,‎ ‎ 由得或,‎ ‎ 由图象可知有两解,所以也有两解,‎ ‎ 所以或.‎ 22‎ ‎ 点睛:本题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系的应用,其中解答中涉及到利用导数判定函数的单调性、利用导数求解函数的极值等知识点综合应用,其中把方程的根的个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及数形结合思想的应用.‎ ‎7.椭圆: 的左顶点为,点是椭圆上的两个动点,若直线 的斜率乘积为定值,则动直线恒过定点的坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ 则(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠﹣2,‎ 则x1•x2+2(x1+x2)+4+4(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4‎ ‎=+(2+4km)+4m2+4=0‎ 22‎ 则m2﹣km﹣2k2=0,‎ ‎∴(m﹣2k)(m+k)=0,‎ ‎∴m=2k或m=﹣k.‎ 当m=2k时,直线BC的方程为y=kx+2k=k(x+2).‎ 此时直线BC过定点(﹣2,0),显然不适合题意.‎ 当m=﹣k时,直线BC的方程为y=kx﹣k=k(x﹣1),此时直线BC过定点(1,0).‎ 当直线BC的斜率不存在时,若直线BC过定点(1,0),B、C点的坐标分别为(1, ),(1,﹣),满足kAB•kAC=﹣.‎ 综上,直线BC过定点(1,0).‎ 故答案为:(1,0).‎ 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.‎ ‎8.已知函数,设关于的方程()有3个不同的实数解,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】或 22‎ 点睛:利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.‎ ‎9.设是定义在上的可导函数,且满足,则不等式 的解集为________.‎ ‎【答案】‎ 即,‎ 22‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得。‎ 所以原不等式的解集为。‎ 答案: 。‎ ‎10.已知椭圆的一个顶点为,离心率,直线交椭圆于两点,如果的重心恰好为椭圆的右焦点,直线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得,‎ 设线段的中点为,‎ 由三角形重心的性质知,从而,‎ 解得,‎ 所以点Q的坐标为。‎ 22‎ 答案: ‎ 点睛:弦中点问题的解决方法 ‎(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ‎①设点——设出弦的两端点坐标;‎ ‎②代入——代入圆锥曲线方程;‎ ‎③作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开;‎ ‎④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解。‎ ‎(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0;在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交。‎ ‎11.已知函数在区间取得最小值4,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析:因为,当时,是上的增函数,函数在处取最小值,则,即不合题意;当时, 当时,即 是增函数函数在处取最小值,则,即不合题意, 当 时,即时,是减函数,函数在处取最小值,则,故 合题意, 当时,即,函数在处取最小值,则,即 ‎,不合题意.综上.‎ 22‎ 考点:导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想.‎ ‎【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间取得最小值这一条件和信息,先对函数进行求导,进而分类讨论参数的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数的值,从而写出符合题设条件的参数的值.‎ ‎12.过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆于另一点,且点与右焦点的连线垂直于轴,若,则椭圆的离心率的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示, ,‎ 又 , ,故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于的不等式,从而求出的范围.‎ ‎13.有下列命题:‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点;‎ 22‎ ‎②“”是“2x2﹣5x﹣3<0”必要不充分条件;‎ ‎③“若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题.;‎ ‎④若p是q的充分条件,r是q的必要条件,r是s的充要条件,则s是p的必要条件;‎ 其中是真命题的有: .(把你认为正确命题的序号都填上)‎ ‎【答案】①③④‎ 解:①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为 ‎ ②∵2x2﹣5x﹣3<0的解集为()‎ ‎∴“”是“2x2﹣5x﹣3<0”充分不必要条件 ‎③若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题是:“若xy≠0,则x、y都不为0”‎ 故是真命题.‎ ‎④∵p是q的充分条件 ‎∴p⇒q ‎∵r是q的必要条件 ‎∴q⇒r ‎∵r是s的充要条件 ‎∴r⇒s ‎∴p⇒s 故s是p的必要条件 答案为:①③④‎ 考点:圆锥曲线的共同特征;命题的真假判断与应用.‎ 22‎ ‎14.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ 如图所示,可得,解得 .‎ 二、解答题 ‎15.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: (a>b>0)的一条准线方程为x=,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)如图,设A为椭圆的上顶点,过点A作两条直线AM,AN,分别与椭圆C相交于M,N两点,且直线MN垂直于x轴.‎ ‎① 设直线AM,AN的斜率分别是k1, k2,求k1k2的值;‎ ‎② 过M作直线l1⊥AM,过N作直线l2⊥AN,l1与l2相交于点Q.试问:点Q是否在一条定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由. ‎ 22‎ ‎【答案】(1) +y2=1.(2) ① ② 点Q在一条定直线y=-1上 ‎②设Q(x1,y1),用坐标表示斜率,通过垂直得斜率之积为-1,可得(y0-1)(y1-y0)=-x0 (x1-x0),(-y0-1)(y1+y0)=-x0 (x1-x0),化得(y1+1) y0=0,所以y1=-1,得证.‎ 试题解析:‎ ‎(1)设椭圆C:+=1的半焦距为c.‎ 由题意,得 解得从而b=1.‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1. ‎ ‎(2)①根据椭圆的性质,M,N两点关于x轴对称,‎ 故可设M(x0,y0),N(x0,-y0)( x0≠0,y0≠0),‎ 从而 k1k2=·=. ‎ 因为点M在椭圆C上,所以+y02=1,所以1-y02=,‎ 22‎ 所以k1k2==. ‎ ‎②设Q(x1,y1),依题意A(0,1).‎ 因为l1⊥AM,所以·=-1,即(y0-1)(y1-y0)=-x0 (x1-x0);‎ 因为l2⊥AN,所以·=-1,即(-y0-1)(y1+y0)=-x0 (x1-x0),‎ 故 (y0-1)(y1-y0)-(-y0-1)(y1+y0)=0,‎ 化得(y1+1) y0=0. ‎ 从而必有y1+1=0,即y1=-1.‎ 即点Q在一条定直线y=-1上.‎ ‎16.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,焦距长为2,左准线为: .‎ ‎(1)求椭圆的方程及其离心率;‎ ‎(2)若过点的直线交椭圆于, 两点,且为线段的中点,求直线的方程;‎ ‎(3)过椭圆右准线上任一点引圆: 的两条切线,切点分别为, .试探究直线是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.‎ ‎【答案】(1), (2)(3).‎ 试题解析:(1)设椭圆方程为,则,所以,‎ 又其准线为,所以,则,‎ 所以椭圆方程为,其离心率为.‎ 22‎ 所以直线的斜率为,‎ 所以直线的方程为,即.‎ ‎(3)直线恒过定点. ‎ 因为椭圆的右准线方程为,所以设点坐标为,圆心坐标为,‎ 因为直线, 是圆的两条切线,所以切点, 在以为直径的圆上.‎ 所以该圆方程为,‎ 两圆方程相减,得直线的方程,‎ 即,由得 所以直线必过定点.‎ 点睛:定点的探索与证明问题 ‎(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.‎ ‎(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.‎ ‎17.某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量.根据调查数据,该昆虫的数量(万只)与时间(年)(其中)的关系为.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境,环保部门通过实时监控比值(其中为常数,且)来进行生态环境分析.‎ 22‎ ‎(1)当时,求比值取最小值时的值;‎ ‎(2)经过调查,环保部门发现:当比值不超过时不需要进行环境防护.为确保恰好3年不需要进行保护,求实数的取值范围.(为自然对数的底, )‎ ‎【答案】(1)M在时取最小值(2) ‎ ‎【解析】试题分析:(1)求导,利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值;(2)利用(1)结论,列出不等式组进行求解.‎ 试题解析:(1)当时, ,∴ ‎ 列表得:‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减,在上单调递增 ∴在时取最小值; ‎ 答:实数的取值范围为.‎ ‎18.已知椭圆 的右准线方程为,又离心率为,椭圆的左顶点为,上顶点为,点为椭圆上异于任意一点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ 22‎ ‎(2)若直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证: 为定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎(2)方法(一)设点 ,则, ,即. ‎ 当时, ,则, ∴ ‎ ‎∵点异于点 ∴ ‎ 当且时,设直线方程为: ,它与轴交于点 直线方程为: ,它与轴交于点 ‎∴, ‎ ‎ ∴‎ 为定值.‎ 方法(二)若直线斜率不存在,则直线方程为: ,此时,则, ‎ ‎∴ ‎ 若直线斜率存在,设直线方程为: ,且 ‎ 22‎ ‎∴且 ‎ 则联立方程: ,消去得: ,解得: 或,‎ 即点 ∵点异于点∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程为: ,‎ 则且 ‎ ‎∴为定值.‎ ‎19.已知函数的最小值为.‎ ‎⑴设,求证: 在上单调递增;‎ ‎⑵求证: ;‎ ‎⑶求函数的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解(2)见解析(3)见解析 ‎∴在上单调递增 22‎ 所以的最小值 ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴(当且仅当时取等号)‎ ‎∵ ∴‎ ‎(第二问也可证明,从而得到)‎ ‎⑶‎ 同⑴方法可证得在上单调递增 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴存在唯一的零点,设为,则 且 所以的最小值为 22‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴,即 由⑵可知 ‎∴=‎ ‎∵在上单调递增 ‎∴‎ 所以的最小值为 ‎20.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为, ,过右焦点的直线与椭圆交于, 两点(点在轴上方).‎ ‎(1)若,求直线的方程;‎ ‎(2)设直线, 的斜率分别为, .是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:设直线的方程,联立方程组,利用向量关系找出两交点的纵坐标关系,解方程求出直线方程;利用第一步的根与系数关系,借助已知的斜率关系求出的值.‎ 试题解析:(1)因为, ,所以,所以的坐标为 ‎, 设, ,直线的方程为,‎ 代入椭圆方程,得,‎ 则, . ‎ 22‎ 若,则,‎ 解得,故直线的方程为. ‎ ‎【点睛】求直线方程首先要设出方程,根据题目所提供的坐标关系,求出直线方程中的待定系数,得出直线方程;第二步存在性问题解题思路是首先假设存在,利用所求的, ,结合已知条件,得出坐标关系,再把, 代入求出符合题意,则存在,否则不存在.‎ 22‎
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