2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟校高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在复平面内，与复数（为虚数单位）对应的点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，对应点.‎ ‎2．抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 抛物线的准线方程为，焦点在轴上， ，即， ， 准线方程是，故选D.‎ ‎3．如图是2008年在泉州举行的全国农民运动会上，七位评委为某舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）‎ A. 84，4.84 B. 84，1.6 C. 85，1.6 D. 85，4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图知，掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为，方差为，故选C.‎ ‎4．如果执行下面的程序框图，那么输出的（ ）‎ A. -1 B. 3 C. D. -5‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行程序框图，输入 ，第一次循环；第二次循环， ；第三次循环， ；第四次循环 ，不成立，退出循环，输出，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎5．两个变量与的回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合与之间的关系，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）‎ 模型 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.98‎ ‎0.80‎ ‎0.50‎ ‎0.25‎ A. 模型1 B. 模型2 C. 模型3 D. 模型4‎ ‎【答案】A ‎【解析】两个变量与的回归模型中，它们的相关指数，越接近于，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中是相关指数最大的值， 拟合效果最好的模型是模型，故选A.‎ ‎6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有一个白球；至少有一个红球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；都是白球 ‎【答案】B ‎【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个, 在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立; 在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立; 在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立; 在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立. 故选B.‎ 点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.‎ ‎7．已知双曲线： 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，双曲线： 的离心率为，则有，即，即有，又由双曲线的焦点在轴上，则其渐近线方程为，故选C.‎ ‎8．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：‎ 在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）‎ A. ①—分析法，②—反证法 B. ①—分析法，②—综合法 C. ①—综合法，②—反证法 D. ①—综合法，②—分析法 ‎【答案】D ‎【解析】一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法，即为由已知推出可知内容，流程线①。一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。这种证明的方法叫做分析法，即为由未知推出需知的内容，流程线②。‎ 故本题正确答案为D。‎ 点晴：本题考查的是综合法和分析法的概念。‎ 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法；一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。这种证明的方法叫做分析法.‎ ‎9．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项 ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项 ，故选B. ‎ ‎10．已知， 且，则， 的值满足（ ）‎ A. ， 都大于1 B. ， 至少有一个小于1‎ C. ， 都小于1 D. 以上说法都不正确 ‎【答案】B ‎【解析】假设和都大于， ， ，且，两式相加得， 相矛盾，因此假设和都大于不成立，所以， 至少有一个小于正确，故选B.‎ ‎11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“...”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）‎ A. B. 3 C. 6 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.‎ ‎12．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简为 即 ，令，可得，所以 ， ，令 可得 在 上递增，令 可得 在 上递减，所以在 处取得极大值 ，又因为，不等式的解集中恰有两个整数，等价于不等式的解集中恰有两个整数，当时，不等式不等式的解集中恰有两个整数 ，所以不等式的解集中恰有两个整数，实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解决不等式有解问题,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 二、填空题 ‎13．在区间上随机抽取一个实数，则位于0到1之间的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据几何概型概率公式可得，在区间上随机抽取一个实数，则位于到之间的概率是 ，故答案为.‎ ‎14．‎ ‎2016年1月1日我国全面放开二胎政策实施后，某大学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该大学所在城区符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的有2400人，30岁至40岁的有3600人，40岁及以上的有6000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为的样本进行调查，已知从40岁及以上的女性中抽取人数为60人，则__________．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】由分层抽样方法的原理可得，各层抽取的比例相同，并且等于总体中抽取样本的比例，因为从岁及以上的女性中抽取人数为人，所以 ，故答案为.‎ ‎15．设：函数在区间上单调递减； ：方程表示焦点在轴上的椭圆.如果为真命题， 为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ 当x∈时，f′（x）0，函数为减函数，‎ 当p为真命题时， ，‎ 解得： ‎ ‎（2）若q为真命题，则：‎ ‎9﹣m＞m﹣1＞0，‎ 解得：1＜m＜5‎ 若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，‎ 故，或 解得： 或1＜m＜3‎ 故答案为： ‎ ‎16．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，如图所示，在宝塔形数表中位于第行、第列的数记为，比如， ， .若，则__________．‎ ‎【答案】68‎ ‎【解析】是第个奇数， 宝塔形数表第行有个数， 前行共有 个数， ， 在宝塔形数表的第行中， 为第行从右向左数第个数，即， ，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察宝塔形数表，归纳出一般规律来考查归纳推理及等差数列求和公式，属于难题题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数， ， 是函数的导函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 的极大值为，极小值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，利用可得的值；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；根据单调性可求得函数的极值.‎ 试题解析：（1） .‎ ‎（2）或，‎ 故在， 单调递增， 单调递减，‎ 又∵， ，‎ ‎∴的极大值为，极小值为.‎ ‎18．“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价和销售量之间的一组数据如下表所示：‎ 价格（元）‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ ‎11‎ 销售量（杯）‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ 通过分析，发现销售量对奶茶的价格具有线性相关关系.‎ ‎（1）求销售量对奶茶的价格的回归直线方程；‎ ‎（2）若将出售价定为5元，请预测奶茶妹妹能销售多少杯奶茶.‎ 注：回归直线方程中： ， ；‎ ‎ ， .‎ ‎【答案】(1) ；(2)24.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（2）将，代入（1）中所求回归方程即可的结果.‎ 试题解析：（1）， ，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时， ，‎ 答：奶茶妹妹大约能销售24杯奶茶.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性回归方程求法与应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19．随着我国经济的高速发展，很多城市空气污染较为严重，应当注重环境的治理，现随机抽取某市一年（365天）内100天的空气质量指数（）的监测数据，统计结果如下表：‎ 指数 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 ‎5‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎15‎ ‎25‎ 若本次抽取的样本数据有40天是在供暖季，这40天中有15天为严重污染.‎ ‎（1）完成下面的列联表：‎ 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎（2）判断是否有以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关.‎ 附： ，其中.‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)有以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据表格中数据完成列联表；（2）根据列联表中数据，利用公式： ，求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ 试题解析：（1）‎ 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 非供暖季 ‎50‎ ‎10‎ ‎60‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎（2） .‎ 答：有以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎20．为检验寒假学生自主学习的效果，年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计，下面是政治成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： ， ， ， ， ， .‎ ‎（1）求图中的值及政治成绩的中位数；‎ ‎（2）从分数在中选定6人记为， ，…， ，从分数在中选定3人，记为， ， ，组成一个学习小组.现从这6人和3人中各选1人作为组长，求被选中且未被选中的概率.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据概率和为求出，判断该样本数据的中位数在第四组，设为， ；（2）利用列举法，这人和人中各选人作为组长，共有种结果，其中被选中且未被选中的结果有两种，根据古典概型概率公式可得被选中且未被选中的概率为.‎ 试题解析：（1）依题意： ，‎ 第一组的频率为0.04，第二组的频率为0.04，第三组的频率为0.16，第四组的频率为0.50，‎ 故该样本数据的中位数在第四组，设为，则：‎ ‎ .‎ ‎（2）记“被选中且未被选中”为事件，依题意：‎ 做一次实验包含， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共18种结果；‎ 事件包含： ， 共2种结果，‎ 由古典概型得： .‎ 答： 被选中且未被选中的概率为.‎ ‎21．如图，在四棱锥中， 平面，底面是菱形， ， ， 是线段上的动点.‎ ‎（1）若是线段中点时，证明： 平面；‎ ‎（2）若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接交于，连接，由底面是菱形，得是中点，又∵是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）底面，∴为直线与底面所成的角，由直线与底面所成角的正弦值为，可得 ‎，再根据 ，即可确定点的位置.‎ 试题解析：（1）连接交于，连接，‎ ‎∵底面是菱形，∴是中点，又∵是的中点，‎ ‎∴，‎ 且平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵底面，∴为直线与底面所成的角，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 又∵，∴，‎ ‎∵菱形中， ，∴，‎ ‎∵底面， 平面，‎ ‎∴平面底面，且它们的交线是，‎ 在底面内，过点作，垂足为点，则： 平面，‎ 故点到平面的距离 ‎ .‎ 故是线段上靠近点的三等分点.‎ ‎22．已知函数（），（其中为自然对数的底数）. ‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若对， ， ‎ 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）若对， ， 恒成立，等价于,利用导数研究函数的单调性，根据单调性分别求出函数最值，进而可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）的定义域为，当时， ，‎ ‎∵，∴，又∵，‎ 故在处的切线方程为： .‎ ‎（2）若对， ， 恒成立， ，‎ ‎∵在上单调递增，∴，‎ ‎∴在上单调递增，∴‎ ‎，当时，恒成立.‎ ‎， ，‎ 令，则，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎