备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题51 曲线与方程——求轨迹方程

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题51 曲线与方程——求轨迹方程

专题51 曲线与方程----求轨迹方程 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.‎ ‎1、求点轨迹方程的步骤：‎ ‎（1）建立直角坐标系 ‎（2）设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）‎ ‎（3）列式：从已知条件中发掘的关系，列出方程 ‎（4）化简：将方程进行变形化简，并求出的范围 ‎2、求点轨迹方程的方法 ‎ ‎（1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可 ‎（2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程 ‎（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：‎ ‎① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 ‎ 直角→圆：若，则点在以为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标，半径 ‎② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和，定点距离 ‎③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离 ‎④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：‎ 19‎ ‎.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 ‎（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届北京石景山区一模】如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）‎ A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎【答案】B 例2.设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（　　）‎ A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线 ‎【答案】D ‎【解析】圆的标准方程为，‎ 如图所示，设圆心坐标为，满足题意的点为点，由题意有：‎ ‎，则，‎ 19‎ 设，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线.‎ 本题选择D选项.‎ 例3.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 例4.已知直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点，若于，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 19‎ ‎【解析】思路：先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形.即，设，即，联立直线与抛物线方程并利 联立方程：，消去可得： ‎ ‎ ，由可得 ‎ ‎，即直线过定点 ‎ 即 的轨迹为以为直径的圆 则该圆的圆心为，半径 ‎ 轨迹方程为 ‎ 答案：B 例5.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由垂直平分线的性质有，所以，‎ 又，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是C，F为焦点，以4为实轴长的双曲线，‎ ‎，，‎ 所以点Q的轨迹方程是.‎ 例6.【2019届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线过抛物线： 的焦点， 与交于， ‎ 19‎ 两点，过点， 分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎，故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为，故答案为.‎ 例7.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ ‎【答案】(1) .(2)证明略.‎ ‎【解析】‎ 19‎ ‎（2）由题意知.设,则 ‎，‎ ‎.‎ 由得，又由（1）知，故 ‎.‎ 所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.‎ 例8.已知抛物线：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）．‎ ‎【解析】由题设.设，则，且 19‎ ‎.‎ 记过两点的直线为，则的方程为. ‎ ‎（I）由于在线段上，故.‎ 记的斜率为，的斜率为，则 当与轴不垂直时，由可得.而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ‎ 例9.【2019届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.‎ ‎（1）求抛物线及的方程；‎ ‎（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：‎ 19‎ ‎，同理： ，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.‎ 解析：‎ ‎（1）由题意，，故。‎ 所以抛物线的方程为.‎ 将代入抛物线方程，解得，‎ 因此，‎ 令，解得，‎ 故：，‎ 同理： .‎ 19‎ 则由 解得 因直线 ，.‎ 则由 得，‎ 则 因此根据点在圆上满足方程，消参得到.‎ 例10：如图所示，点在圆上运动，轴，点在的延长线上，且 ‎ ‎（1）求点的轨迹方恒，并求当为何值时，的轨迹表示焦点在轴上的椭圆 ‎ ‎（2）当时，在（1）中所得曲线记为，已知直线，是上的动点，射线（为坐标原点）交曲线于点，又点在上且满足，求点的轨迹方程 19‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 轴 ①‎ 由在上可知：，代入①可得：‎ 设，进而得到与的联系：，再寻找的联系，结合条件可知，从而用即可表示出与的联系（而不用再设字母）：.所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去即可得到的轨迹方程 解：由（1）可得曲线方程为：‎ 19‎ 设 ‎ 设 由线段比例可得： ‎ ‎ ‎ 由同理可得： ‎ 分别在直线与椭圆上 ，代入可得：‎ ‎，化简可得：的轨迹方程为：‎ ‎.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2．【2019届江西省新余市二模】斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于，两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 为定值 B. 为定值 ‎ 19‎ C. 点的轨迹为圆的一部分 D. 点的轨迹是圆的一部分 ‎【答案】C ‎【解析】由题意知抛物线的焦点为，故直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴．‎ 选项A中，，为定值．故A正确．‎ 选项B中，，为定值，故B正确．‎ 选项C中，由消去k得，故点的轨迹不是圆的一部分，所以C不正确．‎ 选项D中，由于，直线过定点，所以点Q在以为直径的圆上，故D正确．‎ 综上选C． ‎ ‎3．【2019届江西省监测】已知向量， 满足， ， ，若为的中点，并且，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 19‎ ‎4．如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段， 为垂足. 当点在圆上运动时，满足 的动点的轨迹是椭圆，求这个椭圆离心率的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，代入圆的方程，即，∵，∴动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其中， ，则，故而可得，故，即，故选D.‎ ‎5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (　 　)‎ A. (x＋2)2＋(y－1)2＝1 B. (x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C. (x＋4)2＋(y－2)2＝4 D. (x－2)2＋(y＋1)2＝1‎ ‎【答案】D 19‎ ‎ ‎ ‎6．【2019届广西二模】设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 为椭圆上任意一点,且A,B为焦点， ，又，，所以点的轨迹方程为.‎ ‎7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周长为22,则顶点C的轨迹方程是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 19‎ ‎8．【2019届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】设P（m，n），Q（x，y）‎ ‎∵椭圆M的方程为，‎ ‎∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）‎ ‎∴=（x+a，y），=（m+a，n）‎ ‎∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣ ①‎ 19‎ 此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选B.‎ ‎9.已知椭圆为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点则线段的中点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 线段 ‎【答案】A ‎【解析】设线段的中点 ‎ ‎ ‎ 19‎ ‎∴点的轨迹方程为 ‎ ‎∴线段 的中点 的轨迹是椭圆． 故选A．‎ ‎10.过圆 ： 上的点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 .当 在 上运动时，记点 的轨迹为 .‎ ‎（1）求 的方程；‎ ‎【答案】（1）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设点坐标，点坐标，由题意可得点坐标为满足则点的轨迹的方程为．‎ ‎11.已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎(2)记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．‎ 19‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出点M的轨迹方程，然后说明轨迹的形状；‎ ‎（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．‎ 详解：（1） 由得 化简得：，轨迹为圆 ‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线 符合题意； ‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为：‎ 由圆心到直线的距离等于得 此时直线的方程为：.‎ ‎12.已知圆，直线， .‎ ‎（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；‎ ‎（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆 试题解析：‎ 证明：（1）圆的圆心为，半径为，‎ 所以圆心到直线的距离.‎ 所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点；‎ 19‎ ‎（2）设中点为，‎ 所以的轨迹方程是，‎ 它是一个以为圆心，以为半径的圆.‎ 19‎