2016年高考数学(理科)真题分类汇编J单元 计数原理

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2016年高考数学(理科)真题分类汇编J单元 计数原理

数 学 J 单元 计数原理 J1 基本计数原理 J2 排列、组合 8.J2[2016·北京卷] 袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个 空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一 个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 8.B [解析] 取两个球放入盒子有 4 种情况:①红+红,则乙盒中红球个数加 1;② 黑+黑,则丙盒中黑球个数加 1;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球个数加 1;④ 黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球个数加 1.因为红球和黑球个数一样,所以①和②的 情况一样多,③和④的情况完全随机,所以 A,C,D 错误.③和④对乙盒中的红球与丙盒 中的黑球个数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以乙盒中的红球与丙盒中的黑 球个数一样,故选 B. 4.J2[2016·四川卷] 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个 数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 4.D [解析] 由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是 1,3,5.分为两步:先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数,有 C 13种方法;再将剩下的 4 个数字排列,有 A 44种方 法.则满足条件的五位数有 C13·A44=72(个). 5.J2[2016·全国卷Ⅱ] 如图 11,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一 起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) 图 11 A.24 B.18 C.12 D.9 5.B [解析] 由 E 到 F 有 6 种走法,由 F 到 G 有 3 种走法,由分步乘法计数原理知, 共 6×3=18 种走法. 23.J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36-4C 47的值; (2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+ 1)Cmn =(m+1)Cm+2n+2 . 23.解:(1)7C36-4C47=7×6×5×4 3×2×1 -4×7×6×5×4 4×3×2×1 =0. (2)证明:当 n=m 时,结论显然成立. 当 n>m 时,(k+1)Cmk = (k+1)·k! m!·(k-m)! =(m+1)· (k+1)! (m+1)!·[(k+1)-(m+1)]! = (m+1)Cm+1k+1 ,k=m+1,m+2,…,n. 又因为 Cm+1k+1 +Cm+2k+1 =Cm+2k+2 , 所以(k+1)Cmk =(m+1)(Cm+2k+2 -Cm+2k+1 ),k=m+1,m+2,…,n. 因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn =(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+ (m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn ]=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+2m+3-Cm+2m+2)+(Cm+2m+4-Cm+2m+3)+…+(Cm+2n+2 -Cm+2n+1 )]=(m+1)Cm+2n+2 . J3 二项式定理 10.J3[2016·北京卷] 在(1-2x)6 的展开式中,x2 的系数为________.(用数字作答) 10.60 [解析] 展开式的通项 Tr+1=Cr6×16-r×(-2x)r=(-2)rCr6xr,令 r=2,得 x2 的系 数为(-2)2×C26=60. 14.J3[2016·全国卷Ⅰ] (2x+ x)5 的展开式中,x3 的系数是________.(用数字填写答案) 14.10 [解析] 展开式的通项为 Tr+1=25-rCr5x5-r 2 ,令 5-r 2 =3,得 r=4,故所求系数 为 2C45=10. 2.J3,L4[2016·四川卷] 设 i 为虚数单位,则(x+i)6 的展开式中含 x4 的项为( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 2.A [解析] 由题可知,含 x4 的项为 C26x4i2=-15x4. 12.J3[2016·山东卷] 若(ax2+ 1 x )5 的展开式中 x5 的系数是-80,则实数 a=________. 12.-2 [解析] 由二项式定理得 Tr+1=Cr5(ax2)5-rx-r 2 =a5-rCr5x10-5r 2 ,令 10-5r 2 =5, 解得 r=2.∴a5-2C25=-80,解得 a=-2. 10.J3[2016·天津卷] (x2-1 x )8 的展开式中 x7 的系数为________.(用数字作答) 10.-56 [解析] 展开式的通项 Tr+1=Cr8(x2)8-r(-1 x )r=(-1)rCr8x16-3r,由 16-3r=7, 得 r=3,所以所求系数为(-1)3C38=-56. 8.J3[2016·上海卷] 在(3 x-2 x)n 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则 常数项等于________. 8.112 [解析] 由题意得 2n=256,所以 n=8,则二项展开式的通项为 Tr+1=Cr8(3 x)8- r(-2 x)r=(-2)rCr8x8 3 -4 3r,令8 3 -4 3r=0,得 r=2,所以常数项为 T3=112. 23.J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36-4C 47的值; (2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+ 1)Cmn =(m+1)Cm+2n+2 . 23.解:(1)7C36-4C47=7×6×5×4 3×2×1 -4×7×6×5×4 4×3×2×1 =0. (2)证明:当 n=m 时,结论显然成立. 当 n>m 时,(k+1)Cmk = (k+1)·k! m!·(k-m)! =(m+1)· (k+1)! (m+1)!·[(k+1)-(m+1)]! = (m+1)Cm+1k+1 ,k=m+1,m+2,…,n. 又因为 Cm+1k+1 +Cm+2k+1 =Cm+2k+2 , 所以(k+1)Cmk =(m+1)(Cm+2k+2 -Cm+2k+1 ),k=m+1,m+2,…,n. 因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn =(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+ (m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn ]=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+2m+3-Cm+2m+2)+(Cm+2m+4-Cm+2m+3)+…+(Cm+2n+2 -Cm+2n+1 )]=(m+1)Cm+2n+2 . J4 单元综合 23.J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36-4C 47的值; (2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+ 1)Cmn =(m+1)Cm+2n+2 . 23.解:(1)7C36-4C47=7×6×5×4 3×2×1 -4×7×6×5×4 4×3×2×1 =0. (2)证明:当 n=m 时,结论显然成立. 当 n>m 时,(k+1)Cmk = (k+1)·k! m!·(k-m)! =(m+1)· (k+1)! (m+1)!·[(k+1)-(m+1)]! = (m+1)Cm+1k+1 ,k=m+1,m+2,…,n. 又因为 Cm+1k+1 +Cm+2k+1 =Cm+2k+2 , 所以(k+1)Cmk =(m+1)(Cm+2k+2 -Cm+2k+1 ),k=m+1,m+2,…,n. 因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn =(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+ (m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn ]=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+2m+3-Cm+2m+2)+(Cm+2m+4-Cm+2m+3)+…+(Cm+2n+2 -Cm+2n+1 )]=(m+1)Cm+2n+2 . [2016·浙江卷]04 “计数原理与概率”模块 (1)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求 a2 的值. (2)设袋中共有 8 个球,其中 3 个白球、5 个红球,从袋中随机取出 3 个球,求至少有 1 个白球的概率. 解:(1)因为(1+2x)4 二项展开式的通项为 Cr4(2x)r,r=0,1,2,3,4. (1-x2)3 二项展开式的通项为 Cr3(-x2)r,r=0,1,2,3. 所以 a2=C24·22·C03+C04·C13·(-1)=21. (2)从袋中取出 3 个球,总的取法有 C38=56(种); 其中都是红球的取法有 C35=10(种). 因此,从袋中取出 3 个球至少有 1 个白球的概率是 1-C35 C38 =23 28. 3.[2016·丹东模拟] 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,且取出的小球的编号互不相同,则不同的取法种数为( ) A.5 B.80 C.105 D.210 3.B [解析] 把颜色不同、号码相同的小球分为一组,从中取出 4 组,再从每组中各 取 1 个小球,则取法种数是 C45×24=80. 4.[2016·遵义质检] 在二项式 x+3 x n 的展开式中,各项系数之和为 M,各项二项式系 数之和为 N,且 M+N=72,则展开式中常数项的值为( ) A.18 B.12 C.9 D.6 4.C [解析] 由题可知 4n+2n=72,即 2n(2n+1)=8×9,解得 n=3.二项展开式的通项 公式为 Tr+1=Cr3( x)3-r 3 x r=3rCr3x3-3r 2 ,易知当 r=1 时取得常数项,所以常数项为 9.
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