2016年高考数学（理科）真题分类汇编J单元　计数原理

2016年高考数学（理科）真题分类汇编J单元　计数原理

数 学 J 单元 计数原理 J1 基本计数原理 J2 排列、组合 8．J2[2016·北京卷] 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个 空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一 个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 8．B [解析] 取两个球放入盒子有 4 种情况：①红＋红，则乙盒中红球个数加 1；② 黑＋黑，则丙盒中黑球个数加 1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球个数加 1；④ 黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球个数加 1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的 情况一样多，③和④的情况完全随机，所以 A，C，D 错误．③和④对乙盒中的红球与丙盒 中的黑球个数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以乙盒中的红球与丙盒中的黑 球个数一样，故选 B. 4．J2[2016·四川卷] 用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个 数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72 4．D [解析] 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1，3，5.分为两步：先从 1，3，5 三个数中选一个作为个位数，有 C 13种方法；再将剩下的 4 个数字排列，有 A 44种方 法．则满足条件的五位数有 C13·A44＝72(个)． 5．J2[2016·全国卷Ⅱ] 如图 11，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一 起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) 图 11 A．24 B．18 C．12 D．9 5．B [解析] 由 E 到 F 有 6 种走法，由 F 到 G 有 3 种走法，由分步乘法计数原理知， 共 6×3＝18 种走法． 23．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36－4C 47的值； (2)设 m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋nCmn－1＋(n＋ 1)Cmn ＝(m＋1)Cm＋2n＋2 . 23．解：(1)7C36－4C47＝7×6×5×4 3×2×1 －4×7×6×5×4 4×3×2×1 ＝0. (2)证明：当 n＝m 时，结论显然成立． 当 n>m 时，(k＋1)Cmk ＝ （k＋1）·k！ m！·（k－m）！ ＝(m＋1)· （k＋1）！ （m＋1）！·[（k＋1）－（m＋1）]！ ＝ (m＋1)Cm＋1k＋1 ，k＝m＋1，m＋2，…，n. 又因为 Cm＋1k＋1 ＋Cm＋2k＋1 ＝Cm＋2k＋2 ， 所以(k＋1)Cmk ＝(m＋1)(Cm＋2k＋2 －Cm＋2k＋1 )，k＝m＋1，m＋2，…，n. 因此(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn ＝(m＋1)Cmm＋[(m＋2)Cmm＋1＋ (m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn ]＝(m＋1)Cm＋2m＋2＋(m＋1)[(Cm＋2m＋3－Cm＋2m＋2)＋(Cm＋2m＋4－Cm＋2m＋3)＋…＋(Cm＋2n＋2 －Cm＋2n＋1 )]＝(m＋1)Cm＋2n＋2 . J3 二项式定理 10．J3[2016·北京卷] 在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为________．(用数字作答) 10．60 [解析] 展开式的通项 Tr＋1＝Cr6×16－r×(－2x)r＝(－2)rCr6xr，令 r＝2，得 x2 的系 数为(－2)2×C26＝60. 14．J3[2016·全国卷Ⅰ] (2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是________．(用数字填写答案) 14．10 [解析] 展开式的通项为 Tr＋1＝25－rCr5x5－r 2 ，令 5－r 2 ＝3，得 r＝4，故所求系数 为 2C45＝10. 2．J3，L4[2016·四川卷] 设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开式中含 x4 的项为( ) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 2．A [解析] 由题可知，含 x4 的项为 C26x4i2＝－15x4. 12．J3[2016·山东卷] 若(ax2＋ 1 x )5 的展开式中 x5 的系数是－80，则实数 a＝________． 12．－2 [解析] 由二项式定理得 Tr＋1＝Cr5(ax2)5－rx－r 2 ＝a5－rCr5x10－5r 2 ，令 10－5r 2 ＝5， 解得 r＝2.∴a5－2C25＝－80，解得 a＝－2. 10．J3[2016·天津卷] （x2－1 x ）8 的展开式中 x7 的系数为________．(用数字作答) 10．－56 [解析] 展开式的通项 Tr＋1＝Cr8(x2)8－r（－1 x ）r＝(－1)rCr8x16－3r，由 16－3r＝7， 得 r＝3，所以所求系数为(－1)3C38＝－56. 8．J3[2016·上海卷] 在(3 x－2 x)n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则 常数项等于________． 8．112 [解析] 由题意得 2n＝256，所以 n＝8，则二项展开式的通项为 Tr＋1＝Cr8(3 x)8－ r(－2 x)r＝(－2)rCr8x8 3 －4 3r，令8 3 －4 3r＝0，得 r＝2，所以常数项为 T3＝112. 23．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36－4C 47的值； (2)设 m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋nCmn－1＋(n＋ 1)Cmn ＝(m＋1)Cm＋2n＋2 . 23．解：(1)7C36－4C47＝7×6×5×4 3×2×1 －4×7×6×5×4 4×3×2×1 ＝0. (2)证明：当 n＝m 时，结论显然成立． 当 n>m 时，(k＋1)Cmk ＝ （k＋1）·k！ m！·（k－m）！ ＝(m＋1)· （k＋1）！ （m＋1）！·[（k＋1）－（m＋1）]！ ＝ (m＋1)Cm＋1k＋1 ，k＝m＋1，m＋2，…，n. 又因为 Cm＋1k＋1 ＋Cm＋2k＋1 ＝Cm＋2k＋2 ， 所以(k＋1)Cmk ＝(m＋1)(Cm＋2k＋2 －Cm＋2k＋1 )，k＝m＋1，m＋2，…，n. 因此(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn ＝(m＋1)Cmm＋[(m＋2)Cmm＋1＋ (m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn ]＝(m＋1)Cm＋2m＋2＋(m＋1)[(Cm＋2m＋3－Cm＋2m＋2)＋(Cm＋2m＋4－Cm＋2m＋3)＋…＋(Cm＋2n＋2 －Cm＋2n＋1 )]＝(m＋1)Cm＋2n＋2 . J4 单元综合 23．J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36－4C 47的值； (2)设 m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋nCmn－1＋(n＋ 1)Cmn ＝(m＋1)Cm＋2n＋2 . 23．解：(1)7C36－4C47＝7×6×5×4 3×2×1 －4×7×6×5×4 4×3×2×1 ＝0. (2)证明：当 n＝m 时，结论显然成立． 当 n>m 时，(k＋1)Cmk ＝ （k＋1）·k！ m！·（k－m）！ ＝(m＋1)· （k＋1）！ （m＋1）！·[（k＋1）－（m＋1）]！ ＝ (m＋1)Cm＋1k＋1 ，k＝m＋1，m＋2，…，n. 又因为 Cm＋1k＋1 ＋Cm＋2k＋1 ＝Cm＋2k＋2 ， 所以(k＋1)Cmk ＝(m＋1)(Cm＋2k＋2 －Cm＋2k＋1 )，k＝m＋1，m＋2，…，n. 因此(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn ＝(m＋1)Cmm＋[(m＋2)Cmm＋1＋ (m＋3)Cmm＋2＋…＋(n＋1)Cmn ]＝(m＋1)Cm＋2m＋2＋(m＋1)[(Cm＋2m＋3－Cm＋2m＋2)＋(Cm＋2m＋4－Cm＋2m＋3)＋…＋(Cm＋2n＋2 －Cm＋2n＋1 )]＝(m＋1)Cm＋2n＋2 . [2016·浙江卷]04 “计数原理与概率”模块 (1)已知(1＋2x)4(1－x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求 a2 的值． (2)设袋中共有 8 个球，其中 3 个白球、5 个红球，从袋中随机取出 3 个球，求至少有 1 个白球的概率． 解：(1)因为(1＋2x)4 二项展开式的通项为 Cr4(2x)r，r＝0，1，2，3，4. (1－x2)3 二项展开式的通项为 Cr3(－x2)r，r＝0，1，2，3. 所以 a2＝C24·22·C03＋C04·C13·(－1)＝21. (2)从袋中取出 3 个球，总的取法有 C38＝56(种)； 其中都是红球的取法有 C35＝10(种)． 因此，从袋中取出 3 个球至少有 1 个白球的概率是 1－C35 C38 ＝23 28. 3．[2016·丹东模拟] 有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，且取出的小球的编号互不相同，则不同的取法种数为( ) A．5 B．80 C．105 D．210 3．B [解析] 把颜色不同、号码相同的小球分为一组，从中取出 4 组，再从每组中各 取 1 个小球，则取法种数是 C45×24＝80. 4．[2016·遵义质检] 在二项式 x＋3 x n 的展开式中，各项系数之和为 M，各项二项式系 数之和为 N，且 M＋N＝72，则展开式中常数项的值为( ) A．18 B．12 C．9 D．6 4．C [解析] 由题可知 4n＋2n＝72，即 2n(2n＋1)＝8×9，解得 n＝3.二项展开式的通项 公式为 Tr＋1＝Cr3( x)3－r 3 x r＝3rCr3x3－3r 2 ，易知当 r＝1 时取得常数项，所以常数项为 9.