高考数学二轮名师精编精析：直线和圆的方程

高考数学二轮名师精编精析：直线和圆的方程

直线和圆的方程 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．全国Ⅰ）已知直线l 过点（－2，0），当直线 与圆 xyx 222  有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是（ C ） A． ( 22,22 ) B． )2,2( C．（ 4 2,4 2 ） D．（ 8 1,8 1 ） 2．（大连检测）从点 P(m,3)向圆 C： 1)2()2( 22  yx ，引切线，则切线长的最小值为（A ） A．2 6 B． 26 C． 24  D．5 3．(江西高考) P 为双曲线 1169 22  yx 的右支上一点，M、N 分别是圆 4)5( 22  yx 和  2)5(x 12 y 上的点， 则 |||| PNPM  的最大值为 （ D ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．(天津高考)设直线 03  yax 与圆 4)2()1( 22  yx 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 32 ，则 ____a 。 （0） 5．如果实数 yx, 满足条件       01 01 01 yx y yx ，那么 yx 2 的最大值为_______。(1) 6．过点(1,2)总可以作两条直线与圆 0152 222  kykxyx 相切，则实数 k 的取值范围____ ( )3,3 38()3 38,2(  ) ★ ★★热点透析 直线与圆在高考中主要考查三类问题： 一.基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查： 1）与直线方程特征值（主要指斜率，截距）有关的问题； 2）直线的平行和垂直的条件； 3）与距离有关的问题等。 此类题目大都属于中、低档题，以选择题和填空题形出现； 二.直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现； 三.线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大 ★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】已知点 P 到两个定点 M（－1，0）、 N（1，0）距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的距离为求直线 PN 的方程 解：设点 P 的坐标为（x，y），由题设有 2|| || PN PM ， 即 2222 )1(2)1( yxyx  ． 整理得 x2+y2－6x+1=0． ① 因为点 N 到 PM 的距离为 1，|MＮ|＝2， 所以∠PMN＝30°，直线 PM 的斜率为± 3 3 ， 直线 PM 的方程为 y=± （x＋1）．② 将②式代入①式整理得 x2－4x＋1＝0．解得 x＝2＋ 3 ，x＝2－ ． 代入②式得点 P 的坐标为（2＋ ，1＋ ）或（2－ ，－1＋ ）； （2＋ ，－1－ ）或（2－ ，1－ ）． 直线 PN 的方程为 y=x－1 或 y=－x+1． 【范例 2】已知点 A(-1,1),B(1,1),点 P 是直线 y = x -2 上的一点，满足∠APB 最大，求点 P 的坐标及∠APB 的最大值. 解：设 P（t ，t －2），则 kAP＝ )1(1 3   tt t )1(1 3   tt tkBP ， 当 ＜3 1t且 时， tanAPB＝ 33 4)3( 1 1    ttkk kk BPAP BPAP ≤1 当且仅当 3－ ＝ t3 4 ，即 ＝1 时等号成立， 1tan  APB 1tan,1  APBt 时 ∴P 是(1,-1)时，∠APB 有最大值 4  ； 当 ＞3 时，同法可求∠APB 的最大值是 arctan 7 1 结论：当 P 点的坐标是（－1，1）时，∠APB 有最大值 变式：过点 )4,2(M 作两条互相垂直的直线，分别交 yx, 的正半轴于 BA, ，若四边形 OAMB 的面积被直线 AB 平分，求 直线 AB 方程.(x+2y-5=0 和 2x+y-4=0) 【范例 3】已知点 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB )0( 21 xx 是抛物线 pxy 22  )0( p 上的两个动点，O 是坐标原点，向量 OBOA, 满足 |||| OBOAOBOA  设圆 C 的方程为 xxxyx )( 21 22  0)( 21  yy ,证明：1）求圆心 C 的规迹方程；2）当圆 C 的圆心到直线 02  yx 的距离的最小值为 5 52 时，求 p 的值。 P 1 2 3 x y B(1,1)A(-1,1) O 解：设圆 C 的圆心为 C(x,y)，则        2 2 21 21 yyy xxx , )0,0(2,2 212 2 21 2 1  yyppxypxy 2 2 2 2 1 21 4p yyxx  又 02121  yyxx , 2121 yyxx  2 2 2 2 1 21 4p yyyy  021 xx , 021 yy 2 21 4pyy  p yyyyyypyyp xxx 2)2(4 1)(4 1 2 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 21  = )2(1 22 pyp  所以圆心的轨迹方程为： 22 2ppxy  2）设圆心 C 到直线 02  yx 的距离为 d,则 p ppyyxd 5 |)(| 5 |2| 22  ，所以当 py  ,d 有最小值，由题设 5 52 5 p ，所以 p=2 变式：已知 P 是直线 0843  yx 上的动点，PA、PB 是圆 012222  yxyx 的两条切线，A、B 是切点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值。 解：点 P 在直线 0843  yx 上，所以设 )4 32,( xxP  ，C 点坐标为(1,1) PACBS =2 PACS = |||||| APACAP  1|||||||| 2222  PCACPCAP ,||,|| 最小最小时当 APPC 四边形 PACB 的面积最小，而|PC| 2 = 9)14 5()4 321()1( 222  xxx ，所以|PC|最小为 3，所以 最小为 22 变式：一束光线通过点 )22,221( M 射到 x 轴上，再反射到圆 C： 8)4()1( 22  yx 上，求反射光线在 x 轴上的活动范围。（反射点在 之间与 )0,1()0,221( BA  ）