山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

高一数学 2021．1 本试卷共 4 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  1,0,1A   ，  1,2,5B  ，则 A B  （ ） A． 0,1,2,5 B． 1,0,1,5 C． 1,0,1,2,5 D． 1,0,2,5 2．函数 3 11y x x    的定义域是（ ） A． ( ,1] B． ( ,0) (0,1]  C． ( ,0) (0,1)  D． (0,1] 3．把 A ，B 两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设 A 队得分的极差为 x ， B 队得分的 25%分位数为 y ，则 x ， y 的值分别为（ ） A．42 66.5 B．47 66.5 C．42 69 D．47 69 4．方程 ln 4x x  的根所在的区间是（ ） A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4 5．1614 年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637 年法国数学 家笛卡尔开始使用指数运算；1770 年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数， 对数的发明先于指数．若 2 5x  ， lg 2 0.3010 ，则 x 的值约为（ ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 6．函数 2( ) 1 xf x x    的图像大致是（ ） A． B． C． D． 7．城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013 年，我国城镇常住人口从 1.7 亿增加到 7.3 亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算 2035 年我国城镇常住人口数为（ ） A．10.82 亿 B．10.66 亿 C．10.98 亿 D．9.12 亿 8．已知函数 ( ) 2xf x  ，且函数  g x 的图像与  f x 的图像关于 y x 对称，函数  x 的图像与  g x 的 图像关于 x 轴对称，设 1 2a f      ， 1 3b g      ， 1 3c       ．则（ ） A． a b c  B．b c a  C． c b a  D．b a c  二、多项选择题： 9．若 0a b  ． 0c  ，则（ ） A． ac bc B． a c b c   C． 2 2a b D． 1 1 a b  10．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个小球，则下列结论正确的是（ ） A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 11．若函数 , 0( ) 3 ( 1) , 0 xa a xf x a x x        （ 0a  且 1a  ）在 R 上为单调函数，则 a 的值可以是（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 2 D．2 12．已知  f x 为奇函数，且  1f x  为偶函数，若  1 0f  ，则（ ） A．  3 0f  B．    3 5f f C． ( 3) ( 1)f x f x   D． ( 2) ( 1) 1f x f x    三、填空题： 13． 1 2 4 9 log 24       ______． 14．若“ x R ， 2 2 0x ax a   ”的否定是真命题，则实数 a 的取值范围是______． 15．如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图）， 根 据 图 中 信 息 ， 写 出 一 个 关 于 甲 、 乙 两 种 产 品 销 售 额 比 较． ． 的 统 计 结 论 ： ____________________________________． 16．若存在常数 k 和b ，使得函数  F x 和  G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： ( )F x kx b  和 ( )G x kx b  恒成立，则称此直线 y kx b  为  F x 和  G x 的“隔离直线”．已知函数  2( )f x x x  R ， 1( ) ( 0)g x xx   ，若函数  f x 和  g x 之间存在隔离直线 2y x b   ，则实数b 的取值范围是______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知全集为 R ， [ ,5]A a ， ( ,2] (6, )B     ． （1）若 [ 3,2]A B   ，求 R Að ； （2）从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是 RA B ð 的什么条件？（只需说明充分必要性，无需 证明）． ① [ 3, 2)a   ；② (3,4)a ． 18．已知函数 2( ) ( 1) 4f x x k x    ，且关于 x 的不等式 ( ) 0f x  的解集为 1,m ． （1）求实数 m ， k 的值； （2）当 (0, )x  时， ( )f xb x  恒成立，求实数b 的取值范围． 19．有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有 3 个红球，2 个白球；乙盒中有 1 个红球，4 个白球除颜色外球的质 地大小完全相同）． （1）从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？ （2）现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒 子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？ 20．已知函数  2( ) 3 1xf x     R ． （1）若 3 2   ，求函数  f x 的零点； （2）探索是否存在实数  ，使得函数  f x 为奇函数？若存在，求出实数  的值并证明；若不存在，请说 明理由． 21．某市约有 30 万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方 法，即制定每户居民月用电量的临界值 a ，若居民某月用电量不超过 a 度则按第一阶梯电价标准收费，价格 为 0.5 元/度；若某月用电量超过 a 度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为b 元/度，未超出部分 按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了 200 户居民的某月用电量，以了解这个城市 家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同 一组数据用该区间的中点值作代表）． （1）若该市政府希望让全市 70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值 a 应定为多少？ 并估计全市居民月用电量的众数和平均数； （2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过 a 度的居民用电量保持不变；月用电量 超过 a 度的居民节省“超出部分”的 40%，试估计全市居民每月节约的电量； （3）在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价b ．（结果保留 两位有效数字） 22．已知函数 ( ) log log ( )2a a af x x x a       （ 0a  且 1a  ）． （1）当 2a  时，解不等式 ( ) 1f x  ； （2） [2 ,4 ]x a a  ， ( ) 1f x  ，求实数 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在 , ( , )a    ，使  f x 在区间 ,  上的值域是 log ,loga a  ？若 存在，求实数 a 的取值范围；若不存在，试说明理由． 高一数学参考答案及评分标准 2021．1 一、单项选择题 1-4 CBDC 5-8 BAAD 二、多项选择题 9．BCD 10．BD 11．ABD 12．ABC 三、填空题 13．2 14． 8,0 15．结论一：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品； 结论二：甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较 大；结论三：甲产品的月销售额的极差小于乙产品的月销售额的极差． 16． 2 2, 1    四、解答题 17．解：（1）由题意可得 3a   ，所以 R ( , 3) (5, )A     ð ， （2）当选择①时，则结论是既不充分也不必要条件；当选择②时，则结论是充分不必要条件． 18．解：（1）由题意得 m ，1 是方程 2 ( 1) 4 0x k x    的根， 由韦达定理得 1 4m  ，所以 4m  ，又 1 5 1m k    ，解得 4k   ．所以 4m  ， 4k   ． （2）由题意得， 2 5 4x xb x   在 (0, )x  上恒成立， 令 2 5 4( ) x xg x x   ，只需 min( )b g x 即可，由均值不等式得 4( ) 5 2 4 5 1g x x x        ，当且仅当 4x x  ，即 2x  时等号成立．所以 1b   ， 所以实数b 的取值范围是 , 1  ． 19．解（1）甲盒中的 3 个红球记为 1a ， 2a ， 3a ；2 个白球记为 1b ， 2b ； 从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间                                         1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 1 1 1 2 1 3 1 2 2 1 2 2 2 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , a a a a a b a b a a a a a b a b a a a a a b a b b a b a b a b b b a b a b a b b                  共 20 个样本点， 记事件 A ：至少取得一个红球，则                                     1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , a a a a a b a b a a a a A a b a b a a a a a b a b b a b a b a b a b a b a          共 18 个样本点， 所以至少取得一个红球的概率 18 9( ) 20 10P A   ； （2）参考答案一：选择的是甲盒， 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为 3 5 ，在乙盒中摸到红球的概率为 1 5 ， 在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应是甲盒， 但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性． 参考答案二：选择的是乙盒 理由如下： 在甲盒中摸到红球的概率为 3 5 ，在乙盒中摸到红球的概率为 1 5 ， 虽然在乙盒中摸到红球的概率较低，但是不为 0， 所以存在选择乙盒的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性． 参考答案三：无法判断， 理由如下：在甲盒中摸到红球的概率为 3 5 ，在乙盒中摸到红球的概率为 1 5 ， 都是概率不为 0 的随机事件，都有可能发生，所以可能无法判断． 20．解：（1）当 3 2   时， 3 2( ) 2 3 1xf x    ， 由 ( ) 0f x  得， 2 3 3 1 2x  ，所以 43 1 3 x   ， 13 3 x  ，解得 1x   ，所以函数  f x 的零点为 1 ． （2）假设存在实数  ，使得函数  f x 为奇函数， 因为  f x 的定义域为 R ，关于原点对称，则 (0) 1 0f    ，所以 1  ，此时 3 1( ) 3 1 x xf x   ， 又因为 3 1 1 3( ) ( )3 1 3 1 x x x xf x f x          ，此时  f x 为奇函数，满足题意． 故存在实数 1  ，使得函数  f x 为奇函数． 21．解：（1）由频率分布直方图可得，区间 0,160 的频率总和恰为 0.7，由样本估计总体，可得临界值 a 的 值为 160，众数为 120,160 的中间值 140， 平均数为 20 0.04 60 0.12 100 0.24 140 0.3 180 0.25 220 0.05 1 30            ． （2）由（1）知，月用电量在 0,160 内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为 0 度； 月用电量在 160,200 内的 50 户居民，平均每户用电 180 度，超出部分为 20 度，根据题意，每户每月节电 20 40% 8  （度），50 户每月共节电8 50 400  （度）； 月用电量在  200,240 内的 10 户居民，平均每户用电 220 度，超出部分为 60 度，根据题意，每户每月节 电 60 40% 24  （度），10 户每月共节电 24 10 240  （度） 故样本中 200 户居民每月共节电 400 240 640  （度）， 用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为 30640 96200   （万度）． （3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出 部分”对应的总电费也不变，在 200 户居民组成的样本中，每月用电量共超出 20 50 60 10 1600    度， 实行“阶梯电价”后，共节约 640 度，剩余 960 度，所以1600 0.5 960 b   ，解得 0.83b  ． 22．解：（1） 2a  时，  2 2 2 2( ) log ( 1) log ( 2) log 3 2f x x x x x       函数定义域为 (2, ) ， ( ) 1f x  ，即  2 2 2log 3 2 log 2x x   ，所以 2 3 2 2x x   ， 即 2 3 0x x  ，解得 0x  或 3x  ，又 (2, )x  ，所以不等式 ( ) 1f x  的解集为 (3, ) ． （2） [2 ,4 ]x a a  ， ( ) 1f x  ，即 max( ) 1f x  成立， 又 22 2 2 3 3( ) log log2 2 4 16a a a a af x x ax x                    函数 2 23 4 16 at x a      在[2 ,4 ]a a 上为增函数，①若 0 1a  ，则 (2 ) 1f a  ， 所以 2 23log 2 14 16a a aa           ，即 2 232 4 16 a aa a      ，则 3 1 02a a     ， 解得 2 3a  或 0a  ．又 0 1a  ，所以 2 13 a  ． ②若 1a  ，则 (4 ) 1f a  ，所以 2 23log 4 14 16a a aa           ，即 2 234 4 16 a aa a      ， 则 21 1 02 a a     ，解得 20 21a  ，又 1a  ，所以 a ．综上 a 的取值范围为 2 ,13     ． （3）假设存在 ， 满足题意，由（2）知 2 13 a  ，所以  f x 在 ( , )a  上是减函数，则 ( ) log ( ) log a a f f        ， 所以 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 aa aa               ，即 ，  是方程 2 2 3 2 2 ax ax x   的大于 a 的两个不等实根， 设 2 2 3( ) 12 2 ah x x a x       ，其对称轴为 3 1 4 2x a  ， 由题意得 2 2 3 1 ,4 2 3 1 4 0,2 2 ( ) 0, a a aa h a                    所以 2 4 2 6 0 a a a       或 6 4 2a    ， 又 2 13 a  ，所以 a ．综上，不存在满足题意的实数 ，  ．