2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

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文档介绍

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

‎2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=(  )‎ A.2 B.﹣2 C.1+i D.1﹣i ‎2.(5分)设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|﹣1)的定义域为A,集合B={x|sinπx=0},则(∁UA)∩B的子集个数为(  )‎ A.7 B.3 C.8 D.9‎ ‎3.(5分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象中相邻对称轴的距离为,若角φ的终边经过点,则的值为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎4.(5分)如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩,则输出的m,n分别是(  )‎ A.m=38,n=12 B.m=26,n=12 C.m=12,n=12 D.m=24,n=10‎ ‎5.(5分)设不等式组表示的平面区域为Ω1,不等式(x+2)2+(y﹣2)2≤2表示的平面区域为Ω2,对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N,|MN|的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)若函数f(x)=的图象如图所示,则m的范围为(  )‎ A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,2) C.(0,2) D.(1,2)‎ ‎7.(5分)某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是(  )‎ A.11 B. C. D.‎ ‎8.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2014>0,S2015<0,对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则k的值为(  )‎ A.1006 B.1007 C.1008 D.1009‎ ‎9.(5分)已知非零向量,,满足|﹣|=||=4,(﹣)•(﹣)=0,若对每一个确定的,||的最大值和最小值分别为m,n,则m﹣n的值为(  )‎ A.随增大而增大 B.随增大而减小 C.是2 D.是4‎ ‎10.(5分)已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上,△ABC和△DBC所在平面相互垂直,AB=3,AC=,BC=CD=BD=2,则球O的表面积为(  )‎ A.4π B.12π C.16π D.36π ‎11.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且,则双曲线C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[0,1],总存在唯一的y∈[﹣1,1],使得x+y2ey﹣a=0成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[1,e] B. C.(1,e] D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知a>0,展开式的常数项为15,则=   .‎ ‎14.(5分)设a,b∈R,关于x,y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解,则ab的取值范围是   .‎ ‎15.(5分)正项数列{an}的前n项和为Sn,且(n∈N*),设,则数列{cn}的前2016项的和为   .‎ ‎16.(5分)已知F是椭圆C:+=1的右焦点,P是C上一点,A(﹣2,1),当△APF周长最小时,其面积为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)△ABC中,已知点D在BC边上,且,AB=3.‎ ‎(Ⅰ)求AD的长;‎ ‎(Ⅱ)求cosC.‎ ‎18.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,△ADE,△BCF均为等边三角形,EF∥AB,EF=AD=AB.‎ ‎(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF∥平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.‎ ‎19.(12分)2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165.17万人受灾,5.6万人紧急转移安置,288间房屋倒塌,46.5千公顷农田受灾,直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五组,并作出如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款.现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助,设抽出损失超过8000元的居民为ξ户,求ξ的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如表,根据表格中所给数据,分别求b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d的值,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 a=30‎ b 捐款不超 过500元 c d=6‎ 合计 P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附:临界值表参考公式:,.‎ ‎20.(12分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=+be﹣x,点M(0,1)在曲线y=f(x)上,且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)如果当x≠0时,都有f(x)>+ke﹣x,求k的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)选修4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).‎ ‎(1)求点A,B,C,D的直角坐标;‎ ‎(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设f(x)=|x|﹣|2x﹣1|,记f(x)>﹣1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M;‎ ‎(2)已知a∈M,比较a2﹣a+1与的大小.‎ ‎ ‎ ‎2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=(  )‎ A.2 B.﹣2 C.1+i D.1﹣i ‎【解答】解:复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,‎ 所以z2=1﹣i,‎ ‎∴z1z2=(1+i)(1﹣i)=2.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设全集U=R,函数f(x)=lg(|x+1|﹣1)的定义域为A,集合B={x|sinπx=0},则(∁UA)∩B的子集个数为(  )‎ A.7 B.3 C.8 D.9‎ ‎【解答】解:由|x+1|﹣1>0,得|x+1|>1,即x<﹣2或x>0.‎ ‎∴A={x|x<﹣2或x>0},则∁UA={x|﹣2≤x≤0};‎ 由sinπx=0,得:πx=kπ,k∈Z,∴x=k,k∈Z.‎ 则B={x|sinπx=0}={x|x=k,k∈Z},‎ 则(∁UA)∩B={x|﹣2≤x≤0}∩{x|x=k,k∈Z}={﹣2,﹣1,0}.‎ ‎∴(∁UA)∩B的元素个数为3.‎ ‎∴(∁UA)∩B的子集个数为:23=8.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<‎ π)的图象中相邻对称轴的距离为,若角φ的终边经过点,则的值为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【解答】解:由题意相邻对称轴的距离为,可得周期T=π,那么ω=2,‎ 角φ的终边经过点,在第一象限.‎ 即tanφ=,‎ ‎∴φ=‎ 故得f(x)=sin(2x+)‎ 则=sin(+)=cos=.‎ 故选:A ‎ ‎ ‎4.(5分)如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩,则输出的m,n分别是(  )‎ A.m=38,n=12 B.m=26,n=12 C.m=12,n=12 D.m=24,n=10‎ ‎【解答】‎ 解:由程序框图知:算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中,成绩大于等于80的人数,和成绩小于80且大于等于60的人数,‎ 由茎叶图得,在50名学生的成绩中,成绩大于等于80的人数有80,80,81,84,84,85,86,89,90,91,96,98,共12人,故n=12,‎ 由茎叶图得,在50名学生的成绩中,成绩小于60的人数有43,46,47,48,50,51,52,53,53,56,58,59,共12人,‎ 则在50名学生的成绩中,成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26,故m=26‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)设不等式组表示的平面区域为Ω1,不等式(x+2)2+(y﹣2)2≤2表示的平面区域为Ω2,对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N,|MN|的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:不等式组表示的平面区域为Ω1,不等式(x+2)2+(y﹣2)2≤2表示的平面区域为Ω2,如图:‎ 对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N,|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径,‎ 所以,|MN|的最小值为:=.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)若函数f(x)=的图象如图所示,则m的范围为(  )‎ A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,2) C.(0,2) D.(1,2)‎ ‎【解答】解:∵当x>0时,f(x)>0,∴2﹣m>0,故m<2.‎ f′(x)=.‎ ‎∵f(x)有两个绝对值大于1的极值点,∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解,‎ ‎∴m>1.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是(  )‎ A.11 B. C. D.‎ ‎【解答】解:由多面体的三视图得:‎ 该多面体为如图所示的四棱锥P﹣ABCD,‎ 其中底面ABCD是边长为1的正方形,‎ 平面PAD⊥平面ABCD,‎ 点P到平面ABCD的距离为1,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,‎ ‎∴PA==,‎ ‎∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积:‎ S△PAB==.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2014>0,S2015<‎ ‎0,对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则k的值为(  )‎ A.1006 B.1007 C.1008 D.1009‎ ‎【解答】解:由等差数列的求和公式和性质可得S2014‎ ‎==1007(a1007+a1008)>0,‎ ‎∴a1007+a1008>0‎ 同理由S2015<0可得2015a1008<0,可得a1008<0,‎ ‎∴a1007>0,a1008<0,且|a1007|>|a1008|‎ ‎∵对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,‎ ‎∴k的值为1008‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知非零向量,,满足|﹣|=||=4,(﹣)•(﹣)=0,若对每一个确定的,||的最大值和最小值分别为m,n,则m﹣n的值为(  )‎ A.随增大而增大 B.随增大而减小 C.是2 D.是4‎ ‎【解答】解:假设=(4,0)、=(2,2)、=(x,y),‎ ‎∵(﹣)•(﹣)=0,‎ ‎∴(4﹣x,﹣y)•(2﹣x,2﹣y)=x2+y2﹣6x﹣2y+8=0,‎ 即(x﹣3)2+(y﹣)2=4,‎ ‎∴满足条件的向量的终点在以(3,)为圆心、半径等于2的圆上,‎ ‎∴||的最大值与最小值分别为m=2+2,n=2﹣2,‎ ‎∴m﹣n=4,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上,△‎ ABC和△DBC所在平面相互垂直,AB=3,AC=,BC=CD=BD=2,则球O的表面积为(  )‎ A.4π B.12π C.16π D.36π ‎【解答】解:∵AB=3,AC=,BC=2,‎ ‎∴AB2+AC2=BC2,‎ ‎∴AC⊥AB,‎ ‎∴△ABC的外接圆的半径为,‎ ‎∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直,‎ ‎∴球心在BC边的高上,‎ 设球心到平面ABC的距离为h,则h2+3=R2=(﹣h)2,‎ ‎∴h=1,R=2,‎ ‎∴球O的表面积为4πR2=16π.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且,则双曲线C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设双曲线的一条渐近线方程 为y=x,A(a,0),‎ P(m,),(m>0),‎ 由=3,可得Q(3m,),‎ 圆的半径为r=|PQ|==2m•,‎ PQ的中点为H(2m,),‎ 由AH⊥PQ,可得=﹣,‎ 解得m=,r=.‎ A到渐近线的距离为d==,‎ 则|PQ|=2=r,‎ 即为d=r,即有=•.‎ 可得=,‎ e====.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知e为自然对数的底数,若对任意的x∈[0,1],总存在唯一的y∈[﹣1,1],使得x+y2ey﹣a=0成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[1,e] B. C.(1,e] D.‎ ‎【解答】解:由x+y2ey﹣a=0成立,解得y2ey=a﹣x,‎ ‎∴对任意的x∈[0,1],总存在唯一的y∈[﹣1,1],使得x+y2ey﹣a=0成立,‎ ‎∴a﹣1≥(﹣1)2e﹣1,且a﹣0≤12×e1,‎ 解得≤a≤e,其中a=1+时,y存在两个不同的实数,因此舍去,a的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知a>0,展开式的常数项为15,则=  .‎ ‎【解答】解:由的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•a6﹣r•,‎ 令=0,求得r=2,故常数项为,可得a=1,‎ 因此原式为 ‎=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)设a,b∈R,关于x,y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解,则ab的取值范围是 [﹣16,16] .‎ ‎【解答】解:关于x,y的不等式|x|+|y|<1表示的可行域如图的阴影部分:可行域与坐标轴的交点坐标(1,0),(0,1),(0,﹣1),(﹣1,0),‎ 关于x,y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解,则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧,‎ 当a>0,b>0时满足题意,可得≥1,≥1,可得0<ab≤16,‎ 当a>0,b<0时满足题意,可得﹣1,,可得:﹣2≤b<0,0<a≤8可得﹣16≤ab<0,‎ 当a<0,b>0时满足题意,可得,,可得:0<b≤2,﹣8≤a<0可得﹣16≤ab<0,‎ 当a<0,b<0时满足题意,可得,,可得:﹣2≤b<0,﹣8≤a<0,∴0<ab≤16,‎ 当ab=0时,不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解;‎ 故ab的取值范围是:[﹣16,16];‎ 故答案为:[﹣16,16].‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)正项数列{an}的前n项和为Sn,且(n∈N*),设,则数列{cn}的前2016项的和为  .‎ ‎【解答】解:正项数列{an}的前n项和为Sn,且(n∈N*)①,‎ 则:②,‎ ‎②﹣①得:+an+1﹣an,‎ 整理得:an+1﹣an=1,‎ 当n=1时,,‎ 解得:a1=1,‎ 所以:数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.‎ 则an=1+n﹣1=n,‎ 所以:.‎ 则:=,‎ 数列{cn}的前2016项的和为:,‎ ‎=﹣1+,‎ ‎=﹣.‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知F是椭圆C:+=1的右焦点,P是C上一点,A(﹣2,1),当△APF周长最小时,其面积为 4 .‎ ‎【解答】解:椭圆C:+=1的a=2,b=2,c=4,‎ 设左焦点为F'(﹣4,0),右焦点为F(4,0).‎ ‎△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a﹣|PF'|)‎ ‎=|AF|+|AP|﹣|PF'|+2a≥|AF|﹣|AF'|+2a,‎ 当且仅当A,P,F'三点共线,即P位于x轴上方时,三角形周长最小.‎ 此时直线AF'的方程为y=(x+4),代入x2+5y2=20中,可求得P(0,2),‎ 故S△APF=S△PF'F﹣S△AF'F=×2×8﹣×1×8=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)△ABC中,已知点D在BC边上,且,AB=3.‎ ‎(Ⅰ)求AD的长;‎ ‎(Ⅱ)求cosC.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由得到:AD⊥AC,‎ 所以,‎ 所以.(2分)‎ 在△ABD中,由余弦定理可知,BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD 即AD2﹣8AD+15=0,(4分)‎ 解之得AD=5或AD=3,‎ 由于AB>AD,‎ 所以AD=3.(6分)‎ ‎(Ⅱ)在△ABD中,由正弦定理可知,,‎ 又由,‎ 可知(8分)‎ 所以(10分)‎ 因为,‎ 即(12分)‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,△ADE,△BCF均为等边三角形,EF∥AB,EF=AD=AB.‎ ‎(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF∥平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;‎ ‎(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.‎ ‎【解答】解:(1)当N为CF的中点时,AF∥平面BDN.‎ 证明:连结AC交BD于M,连结MN.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴M是AC的中点,‎ ‎∵N是CF的中点,‎ ‎∴MN∥AF,又AF⊄平面BDN,MN⊂平面BDN,‎ ‎∴AF∥平面BDN.‎ ‎(2)过F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,过O作x轴⊥AB,作y轴⊥BC于P,则P为BC的中点.‎ 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设AD=1,则BF=1,FP=,∵EF==1,∴OP=(AB﹣EF)=,∴OF=.‎ ‎∴A(,﹣,0),B(,,0),C(﹣,,0),F(0,0,‎ ‎),N(﹣,,).‎ ‎∴=(0,2,0),=(﹣,,),=(﹣,﹣,).‎ 设平面ABF的法向量为=(x,y,z),则,‎ ‎∴,令z=得=(2,0,),‎ ‎∴=﹣1,||=,||=.‎ ‎∴cos<,>==﹣.‎ ‎∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos<,>|=.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165.17万人受灾,5.6万人紧急转移安置,288间房屋倒塌,46.5千公顷农田受灾,直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五组,并作出如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款.现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助,设抽出损失超过8000元的居民为ξ户,求ξ的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如表,根据表格中所给数据,分别求b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d的值,并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 a=30‎ b 捐款不超 过500元 c d=6‎ 合计 P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 附:临界值表参考公式:,.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)记每户居民的平均损失为元,则:=(1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360…(2分)‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图,得:‎ 损失超过4000元的居民有:‎ ‎(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户,‎ ‎∴ξ的可能取值为0,1,2,‎ P(ξ=0)==,‎ P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ=0×+1×+2×=.‎ ‎(Ⅲ)如图:‎ 经济损失不超过 ‎4000元 经济损失超过 ‎4000元 合计 捐款超过 ‎500元 ‎30‎ ‎9‎ ‎39‎ 捐款不超 过500元 ‎5‎ ‎6‎ ‎11‎ 合计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ K2=≈4.046>3.841,‎ 所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关.…(12分)‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离 ‎,解得c=1,‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设,,‎ 由(1)得抛物线C的方程为,,所以切线PA,PB的斜率分别为,,‎ 所以PA:①PB:②‎ 联立①②可得点P的坐标为,即,,‎ 又因为切线PA的斜率为,整理得,‎ 直线AB的斜率,‎ 所以直线AB的方程为,‎ 整理得,即,‎ 因为点P(x0,y0)为直线l:x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2,‎ 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0.‎ ‎(3)根据抛物线的定义,有,,‎ 所以=,‎ 由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,‎ 所以=.‎ 所以当时,|AF|•|BF|的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=+be﹣x,点M(0,1)在曲线y=f(x)上,且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)如果当x≠0时,都有f(x)>+ke﹣x,求k的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=+be﹣x的导数为 f′(x)=,‎ 由切线与直线2x﹣y=0垂直,可得 f(0)=1,f′(0)=﹣,‎ 即有b=1,a﹣b=﹣,‎ 解得a=b=1;‎ ‎(2)当x≠0时,都有f(x)>+ke﹣x,‎ 即为+e﹣x>+ke﹣x,‎ 即有(1﹣k)e﹣x>,即1﹣k>,‎ 可令g(x)=,g(﹣x)==g(x),‎ 即有g(x)为偶函数,只要考虑x>0的情况.‎ 由g(x)﹣1=,‎ x>0时,ex>e﹣x,‎ 由h(x)=2x﹣ex+e﹣x,h′(x)=2﹣(ex+e﹣x)≤2﹣2=0,‎ 则h(x)在x>0递减,即有h(x)<h(0)=0,‎ 即有g(x)<1.‎ 故1﹣k≥1,解得k≤0.‎ 则k的取值范围为(﹣∞,0].‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)选修4﹣4;坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).‎ ‎(1)求点A,B,C,D的直角坐标;‎ ‎(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)点A,B,C,D的极坐标为 点A,B,C,D的直角坐标为 ‎(2)设P(x0,y0),则为参数)‎ t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ‎∵sin2φ∈[0,1]‎ ‎∴t∈[32,52]‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设f(x)=|x|﹣|2x﹣1|,记f(x)>﹣1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M;‎ ‎(2)已知a∈M,比较a2﹣a+1与的大小.‎ ‎【解答】解:(1)‎ 由f(x)>﹣1,得或或 解得0<x<2,‎ 故M={x|0<x<2}.‎ ‎(2)由(1)知0<a<2,‎ 因为,‎ 当0<a<1时,,所以;‎ 当a=1时,,所以;‎ 当1<a<2时,,所以.‎ 综上所述:当0<a<1时,;‎ 当a=1时,;‎ 当1<a<2时,.‎ ‎ ‎
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