人教版初一数学上学期 整式的加减

人教版初一数学上学期 整式的加减

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 整式的加减 ‎ 知识框架 基础知识点：‎ 知识点2-1.同类项的概念 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）‎ 例: ﹣7abc2：与2abc2 3abc与3abc ‎ 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 例1．（2020·绵阳市初一期中）下列各题中的两项是不是同类项？为什么？[来源:学科网]‎ ‎(1) 与；(2)与；(3)与；(4)与；(5)与.‎ ‎【答案】(1) 与是同类项，理由见解析； (2) 与不是同类项，理由见解析； (3) 与是同类项，理由见解析； (4) 与是同类项，理由见解析； (5) 与是同类项，理由见解析；‎ ‎【分析】根据同类项的定义逐个进行分析即可.‎ ‎【解析】 (1) 与是同类项，因为所含字母相同，都有、，而且、的次数都是1，即相同字母的指数分别相同.‎ ‎(2) 与不是同类项，因为虽然字母相同，但是相同字母的次数不相同.‎ ‎(3) 与是同类项，因为只有系数不同，完全符合同类项的两个标准.‎ ‎(4) 与是同类项，因为它们只有字母的排列顺序不同，所含字母及相同字母的次数都分别相同.‎ ‎(5) 与是同类项，因为两项都只含有字母，并且的次数都是1，与都是系数，10的次数不影响它们是同类项.‎ ‎【点睛】本题考查了同类项的定义，熟知定义是解题关键.‎ 例2．（2020·湖北省初一期末）下列各对单项式中，属于同类项的是( )‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】C ‎【分析】根据同类项的定义逐个判断即可．‎ ‎【解析】A．﹣ab与4abc所含字母不相同，不是同类项；‎ B．y与y2所含相同字母的指数不相同，不是同类项；‎ C．0与﹣3是同类项；D．3与a不是同类项．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了同类项，能熟记同类项的定义是解答本题的关键．‎ 例3．（2020·金昌市第五中学初一期中）下列单项式中，与是同类项的是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相等，这样的项是同类项，根据同类项的定义解答.‎ ‎【解析】与是同类项的是，故选：D.‎ ‎【点睛】此题考查同类项的定义：含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相等，这样的项是同类项，正确理解定义是解题的关键.‎ 例4．（2020·内蒙古林西初一期末）下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】D ‎【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”逐项判断即得答案．‎ ‎【解析】解：A、与不是同类项，故本选项不符合题意；‎ B、与不是同类项，故本选项不符合题意；‎ C、与不是同类项，故本选项不符合题意；‎ D、与是同类项，故本选项符合题意．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了同类项的定义，属于基础题型，熟记同类项的概念是解题关键．‎ 知识点2-2.合并同类项 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项[来源:学科网ZXXK]‎ 同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。‎ 例1．（2020·贵州省初一期末）下列计算正确的是（ ）‎ A． B． C．3x﹣2x=1 D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据合并同类项的法则：系数相加字母部分不变，可得答案．‎ ‎【解析】A．，错误；B．原式不能合并，错误；‎ C．3x﹣2x=x，错误；D．，正确．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则，并根据合并同类项的法则计算是解题关键．‎ 例2．（2020·成都市初一期中）下列同类项合并正确的是（　　）‎ A．x3+x2＝x5 B．2x﹣3x＝﹣1 C．﹣a2﹣2a2＝﹣a2 D．﹣y3x2+2x2y3＝x2y3‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．‎ ‎【解析】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，故A错误；‎ B、合并同类项错误，正确的是2x﹣3x＝﹣x，故B错误；‎ C、合并同类项错误，正确的是﹣a2﹣2a2＝﹣3a2，故C错误；‎ D、系数相加字母及指数不变，故D正确；故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则，并根据合并同类项的法则计算是解题关键．‎ 例3．（2020·河南太康初一期末）下列运算中，正确的是（　　）‎ A．2x2+3x2＝5x4 B．3x+2y＝5xy C．7x2﹣4x2＝3 D．5a2b﹣4a2b＝a2b ‎【答案】D ‎【分析】利用合并同类项法则,逐一判断，即可得出答案．‎ ‎【解析】A、2x2+3x2＝5x2，故此选项错误；B、3x+2y，无法计算，故此选项错误；‎ C、7x2﹣4x2＝3x2，故此选项错误；D、5a2b﹣4ab＝a2b，故此选项正确；故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查合并同类项法则，牢记法则，是解题的关键.‎ 例4．（2020·山东省初一期末）若单项式2x3y2m与﹣3xny2的差仍是单项式，则m+n的值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据合并同类项法则得出n=3，2m=2，求出即可．‎ ‎【解析】∵单项式2x3y2m与-3xny2的差仍是单项式，∴n=3，2m=2， 解得：m=1，∴m+n=1+3=4，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了合并同类项和单项式，能根据题意得出n=3、2m=2是解此题的关键．‎ 例5．（2020·全国初一课时练习）学习指导:同学们，我们即将在“整式的加减”一章中学习同类项和合并同类项法则.同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，例如，3和7是同类项.合并同类项法则:同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.例如:.请你解决下面问题，一定要化简哦．为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米.‎ ‎(1)用代数式表示小路和草坪的面积是多少平方米?(2)当x=3米时，求草坪的面积.‎ ‎【答案】（1）小路的面积＝30x+20x﹣x2，草坪的面积＝x2﹣50x+600；（2）当x＝3米时，求草坪的面积是459平方米 ‎【分析】（1）利用矩形的面积公式列出代数式；（2）将x=3代入（1）中所列的代数式进行计算．‎ ‎【解析】解：（1）小路的面积＝30x+20x﹣x2． ‎ 草坪的面积＝20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝x2﹣50x+600． ‎ ‎（2）把x＝3代入，得到：草坪的面积＝x2﹣50x+600＝32﹣50×3+600＝459（平方米）． ‎ 答：当x＝3米时，求草坪的面积是459平方米.‎ ‎【点睛】考查了列代数式，合并同类项以及代数式求值．需要学生熟练掌握长方形和正方形面积公式．‎ 知识点2-3.去（加）括号法则 1） 括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 2） 括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。‎ 3） 括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。‎ 加括号：同理 解题技巧：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。‎ 例1．（2020·浙江初一期末）下列各式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据去括号法则逐一进行分析判断即可.‎ ‎【解析】A. ，故A选项错误；‎ B. ，故B选项错误；‎ C. ，故C选项错误；‎ D. ，正确，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键.注意，在去括号时，要注意分配律的运用.‎ 例2．（2020·全国初一课时练习）下列去括号的过程：（1）；（2）；（3）；（4）．其中，运算结果正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据去括号的法则逐一判断即得答案．[来源:学§科§网]‎ ‎【解析】解：，故（1）正确；，故（2）正确；‎ ‎，故（3）错误；，故（4）正确．‎ 所以运算结果正确的个数为3．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了去括号的法则，属于基础题型，熟知去括号的法则是关键．‎ 例3．（2020·河北省初一期中）下列各式中与的值不相等的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据去括号法逐一计算即可．‎ ‎【解析】A. ，正确；B. ，错误；‎ C. ，正确；D. ，正确；故答案为：B．‎ ‎【点睛】本题考查了去括号法的应用，掌握去括号法逐一计算是解题的关键．‎ 例4．（2020·广东龙湖初二期末）下列添括号正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】添加括号，若括号前是负号，则括号内需要变号，根据这个规则判断下列各选项.‎ ‎【解析】A中，，错误；B中，，错误；‎ C中，，正确；D中，，错误故选：C ‎【点睛】本题考查添括号，注意去括号和添括号关注点一样，当括号前为负号时，去括号需要变号.‎ 例5．（2020·上海普陀初一期中）下列各式中，去括号或添括号正确的是（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据去括号法则（括号前是“+”号，去括号时，把括号和它前面的“+”去掉，括号内的各项都不变， 括号前是“-”号，去括号时，把括号和它前面的“-”去掉，括号内的各项都变号）去括号，即可得出答案．‎ ‎【解析】解：A. a2−(2a−b+c)=a2−2a+b−c，故错误；B. a−3x+2y−1=a+(−3x+2y−1)，故正确； C. 3x−[5x−(2x−1)]=3x−5x+2x−1，故错误；D. −2x−y−a+1=−(2x+y)+(−a+1)，故错误； 只有B符合运算方法，正确．故选B.‎ ‎【点睛】本题考查去添括号，解题的关键是注意符号，运用好法则.‎ 知识点2-4.整式的加减（合并同类项）‎ 整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：‎ ①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。‎ 解题技巧：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。‎ ‎（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。‎ 例1．（2020·广东省初一期中）________.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据整式的加减即可求解.‎ ‎【解析】原式 ‎.‎ 答案：‎ ‎【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则.‎ 例2．（2019·河南省初一期中）若A与B都是二次多项式，则A﹣B：（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；（3）可能是一次式；（4）可能是非零常数；（5）不可能是零．上述结论中，不正确的有（　　）个．‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】C ‎【分析】多项式相减，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，所以结果的次数一定不高于2次，由此可以判定正确个数．‎ ‎【解析】∵多项式相减，也就是合并同类项，‎ 而合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，‎ ‎∴结果的次数一定不高于2次，‎ 当二次项的系数相同时，合并后结果为0，‎ 所以(1)和(2)(5)是错误的.故答案选C.‎ ‎【点睛】本题考查了多项式的定义，解题的关键是熟练的掌握多项式的定义.‎ 例3．（2019·全国初一课时练习）一个多项式A与多项式的差是多项式,则A等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的加减和列代数式，能根据题意列出算式是解此题的关键．‎ 例4．（2020·河北省初一期中）某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目： ，空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（ ）‎ A．+2ab B．+3ab C．+4ab D．-ab ‎【答案】A ‎【分析】将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可．‎ ‎【解析】依题意，空格中的一项是：（2a 2+3ab-b 2）-（-3a 2+ab+5b 2）-（5a 2-6b 2） =2a 2+3ab-b 2+3a 2-ab-5b 2-5a 2+6b 2=2ab． 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的加减运算,熟练掌握移项的知识，同时熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则解题的关键.‎ 例5．（2019·全国初一课时练习）如果,则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】按题意列出式子，然后去括号，合并同类项即可.‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的加减，弄清整式加减的实质就是去括号与合并同类项是解题的关键.‎ 例6．（2020·全国初一单元测试）先化简,再求值： ‎ ‎（1） ， 其中，．‎ ‎（2） ，其中，‎ ‎（3），其中x＝2，y＝‎ ‎【答案】(1)-18;(2);(3) .‎ ‎【分析】（1）去括号合并同类项再代入值；‎ ‎（2）先把原式去括号，再合并同类项，然后把x、y的值代入即可；‎ ‎（3）原式去括号，再合并同类项，然后把x、y的值代入即可 ‎【解析】（1）5（3a2b-ab2）-4(-ab2+3a2b)=15 a2b-5 ab2+4ab2-12 a2b=3 a2b- ab2代入数值原式得-18；‎ ‎（2）3(x−y)−2(x+y)+2=3x−3y−2x−2y+2=x−5y+2，∵x=−1,y=.，∴x−5y+2=−1−5×.+2=−.‎ ‎（3）=3x-y2 代入数值得5.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是整式的加减，解题的关键是熟练的掌握整式的加减.‎ 重难点题型：‎ 题型1. 利用同类项的概念求值 解题技巧：（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.‎ 例1．（2020·河北省初三三模）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m＋n的值是( )‎ A．2 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．‎ ‎【解析】由题意，得m=2，n=3. m+n=2+3=5，故选：B.‎ ‎【点睛】此题考查同类项，解题关键在于掌握其定义.‎ 例2．（2020·河北省初一期末）若单项式2x2ym与可以合并成一项，则nm＝_____．‎ ‎【答案】16‎ ‎【分析】由题意可知2x2ym与－xny4是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值代入nm进行计算即可得.‎ ‎【解析】由题意2x2ym与－xny4是同类项，则有m=4，n=2，‎ 所以nm＝24=16，故答案为16.‎ ‎【点睛】本题考查了同类项、乘方等知识，熟练掌握同类项的概念是解题的关键.‎ 例3．（2020·四川省初一期中）若2个单项式与的和仍是单项式，则的值为 A．8 B．3 C．-3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据同类项的定义列方程组求出a,b的值，再代入式子计算即可.‎ ‎【解析】解：依题意得：解得：∴=3=3.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了合并同类项的知识，解答本题的关键是熟练掌握合并同类项的法则及同类项的定义．‎ 例4．（2019·定襄县第三中学校初一期中）已知mx2yn﹣1+4x2y9＝0，（其中x≠0，y≠0）则m+n＝（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．5 D．14‎ ‎【答案】B ‎【分析】直接利用合并同类项法则得出m，n的值进而得出答案．‎ ‎【解析】∵mx2yn﹣1+4x2y9=0，∴m=−4，n−1=9，‎ 解得：m=−4，n=10，则m+n=6.故选B.‎ ‎【点睛】考查合并同类项法则，掌握合并同类项的法则是解题的关键.‎ 例5．（2019·全国初一课时练习）已知与是同类项,求多项式的值.‎ ‎【答案】15‎ ‎【分析】根据同类项的特点即可列式求解.‎ ‎【解析】由同类项定义得,‎ ‎.‎ 当时,原式 ‎【点睛】此题主要考查同类项的性质，解题的关键是熟知同类项的特点 例6．（2020·山东省初三月考）若 3a2+mb3 和（n﹣2）a4b3 是同类项，且它们的和为 0，则 mn 的值是（ ）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【分析】因为它们是同类项，因此可以得到m+2=4，又因为它们和为0，所以它们的系数互为相反数.‎ ‎【解析】因为这两个单项式是同类项，所以m+2=4，所以m=2；‎ 又因为它们和为0，所以它们的系数互为相反数，故n-2=-3，故n=-1；‎ 则 mn 的值是-2.所以选择A.‎ ‎【点睛】本题考查的是同类项的有关知识，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，学生应熟练掌握.‎ 题型2. 整式“缺项”及与字母取值无关的问题 解题技巧：（1）若题干告知整式不含某次项，则说明该次项前面的系数为0.‎ ‎（2）因为与字母取值无关，说明包含该字母前面的系数为0。即先化简整式，另包含该字母的的式子前面的系数为0即可。[来源:学科网ZXXK]‎ 例1．（2019·浙江省初一月考）关于的代数式中不含有二次项,则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】原式去括号合并后，根据结果不含二次项，确定出k的值即可．‎ ‎【解析】原式=-3kxy+3y+9xy-8x+1=（9-3k）xy+3y-8x+1，‎ 由结果不含二次项，得到9-3k=0，解得：k=3，故选A．‎ ‎【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例2．（2019·河北省初一期中）已知多项式x2－kxy－3(x2－12xy+y)不含xy项，则k的值为 （ ）‎ A．－36 B．36 C．0 D．12‎ ‎【答案】B ‎【分析】原式去括号合并后，根据结果不含x与y的乘积项，求出k的值即可．‎ ‎【解析】x2－kxy－3(x2－12xy+y)= x2-kxy-3x2+36xy-3y=-2x2+(-k+36)xy-3y.‎ 由结果不含x，y的乘积项，得到-k+36=0，解得：k=36．故选B．‎ ‎【点睛】此题考查了多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例3．（2019·上海市西南模范中学初一期中）若关于x、y的多项式2x2+mx+5y﹣2nx2﹣y+5x+7的值与x的取值无关，则m+n=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．6‎ ‎【答案】A 分析：首先利用关于x、y的多项式2x2+mx+5y-2nx2-y+5x+7的值与x的取值无关，得出x的二次项、一次项的系数和为0，进而得出答案．‎ ‎【解析】2x2+mx+5y-2nx2-y+5x+7=（2-2n）x2+（m+5）x+4y+7，‎ ‎∵关于x、y的多项式2x2+mx+5y-2nx2-y+5x+7的值与x的取值无关，‎ ‎∴2-2n=0，解得n=1，m+5=0，解得m=-5，则m+n=-5+1=-4．故选：A．‎ 点睛：此题主要考查了多项式，正确得出m，n的值是解题关键．‎ 例4．（2019·宜城市孔湾镇上大堰中学初一期中）若代数式mx2+y2﹣5x2+5的值与字母x的取值无关，则m 的值为_____．‎ ‎【答案】5．‎ ‎【分析】把代数式合并同类项得（m－5）x2 +y2+5,因为与取值无关，故m－5=0，求解.‎ ‎【解析】由题意得mx2+y2﹣5x2+5=（m－5）x2 +y2+5，,因为与取值无关，故m－5=0，所以m=5.‎ ‎【点睛】本题主要考查合并同类项得法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．与字母x的取值无关，即含字母x的系数为0.‎ 例5．（2020·河北丛台育华中学初三一模）已知 若，求的值;若的值与的值无关，求的值 ‎【答案】（1）-9；（2）x=-1‎ ‎【分析】（1）根据去括号，合并同类项，可得答案； （2）根据多项式的值与y无关，可得y的系数等于零，根据解方程，可得答案．‎ ‎【解析】（1）A-2B=（2x2+xy+3y）-2（x2-xy）=2x2+xy+3y-2x2+2xy=3xy+3y．‎ ‎∵（x+2）2+|y-3|=0，∴x=-2，y=3． A-2B=3×（-2）×3+3×3=-18+9=-9． （2）∵A-2B的值与y的值无关，即（3x+3）y与y的值无关， ∴3x+3=0．解得x=-1．‎ ‎【点睛】此题考查整式的加减，解题关键在于掌握去括号，括号前是正数去括号不变号，括号前是负数去括号都变号．‎ 例6．（2020·全国初一课时练习）数学课上，老师出示了这样一道题目:“当时，求多项式的值”．解完这道题后，张恒同学指出:“是多余的条件”师生讨论后，一致认为这种说法是正确的，老师及时给予表扬，同学们对张恒同学敢于提出自己的见解投去了赞赏的目光．（1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，老师又出示了一道题目,“无论取任何值，多项式的值都不变，求系数、的值”．请你解决这个问题．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），.‎ ‎【分析】（1）将原式进行合并同类项，然后进一步证明即可；‎ ‎（2）将原式进行合并同类项，根据“无论取任何值，多项式值不变”进一步求解即可.‎ ‎【解析】（1）‎ ‎==，‎ ‎∴该多项式的值与、的取值无关，∴是多余的条件.‎ ‎（2）==‎ ‎∵无论取任何值，多项式值不变，∴，，∴，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了多项式运算中的无关类问题，熟练掌握相关方法是解题关键.‎ 题型3. 求代数式的值与整体思想(二)‎ 解题技巧：求代数式的值分为三种：‎ ‎（1）直接代入求值：往往先化简再求值.‎ ‎（2）间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值；‎ ‎（3）整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。‎ 例1．（2020·河北省初一期中），那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式=3a+7+5b﹣6a﹣2b=3b﹣3a+7=﹣3（a﹣b）+7=﹣8．故选D．‎ 点睛：将整式的加减与代数式变形相结合解题是中考中经常考查的知识点．先把此代数式变形为a﹣b的形式，代入数值即可．‎ 例2．当时，代数式的值是7，则当时，代数式的值是(　 　)‎ A．7 B．3 C．1 D．﹣7‎ ‎【答案】C ‎【分析】把x=1代入代数式求出的值，将x=-1代入计算即可得到结果．‎ ‎【解析】把x=1代入得：即 ‎ 则当x=−1时，原式 故选：C.‎ ‎【点睛】考查代数式的求值，掌握整体代入法是解题的关键.‎ 例3.（2019·湖北浠水初二期中）已知，求的值．‎ ‎【答案】-2008.‎ ‎【分析】将拆分成含有的形式，即可完成解答.‎ ‎【解析】解：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了多项式的拆分求值，解答的关键是拆分成含有的形式.‎ 例4．(2020.河北省初一期末)已知代数式，当时，该代数式的值为-1.‎ ‎（1）求的值．（2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值．‎ ‎（3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值．‎ ‎（4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）-4；（3） 8；（4）‎ ‎【分析】（1）将x=0代入代数式求出c的值即可；（2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值；‎ ‎（3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值；（4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可．‎ ‎【解析】（1）当x=0时，=-1，则有c=﹣1；‎ ‎（2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=﹣1，∴a+b+c=﹣4；‎ ‎（3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=﹣10，即35a+33b=﹣10+1﹣9=﹣18，‎ 当x=﹣3时，原式=﹣35a﹣33b﹣9﹣1=﹣（35a+33b）﹣9﹣1=18﹣9﹣1=8；‎ ‎（4）由（3）题得35a+33b=﹣18，即27a+3b=﹣2，‎ 又∵3a=5b，∴27a+3×a=﹣2，∴a=﹣，则b=a=﹣，‎ ‎∴a+b=﹣﹣=﹣＞﹣1，∴a+b＞c．‎ ‎【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例5．若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　．‎ ‎【答案】528‎ 分析：可以令x=±1，再把得到的两个式子相减，即可求值．‎ ‎【解析】∵（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，‎ 令x=﹣1，有﹣32=﹣a+b﹣c+d﹣e+f①‎ 令x=1，有1024=a+b+c+d+e+f②‎ 由②﹣①有：1056=2a+2c+2e，即：528=a+c+e．‎ 考点：多项式乘多项式；代数式求值．‎ 点评：本题考查了代数式求值的知识，注意对于复杂的多项式可以给其特殊值，比如±1．‎ 例6．已知，求的值．‎ ‎【答案】365.‎ ‎【分析】很难将一的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在x的允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑用赋值法解．‎ ‎【解析】令，由已知等式得， ‎ 令，得， ‎ 得．‎ 故．‎ ‎【点睛】考查了数字的变化类问题及代数式求值的知识，在解数学题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，再进行运算、推理解题的方法叫赋值法，用赋值法解题有两种类型：常规数学问题中，恰当地对字母取值，简化解题过程；非常规数学问题通过赋值，把问题“数学化”．‎ 题型4. 整式在生活中的应用 解题技巧：寻找等式，利用字母列出等式 例1．（2020·辽宁省初一期末）若A和B都是五次多项式，则（　　）‎ A．A+B一定是多项式 B．A﹣B一定是单项式 C．A﹣B是次数不高于5的整式 D．A+B是次数不低于5的整式 ‎【答案】C ‎【解析】选项A,可能和是0，A错. 选项B,如果A,B字母不同，就是多项式，B错.[来源:Z,xx,k.Com]‎ 选项C,正确. 选项D, A+B是次数不高于的整式.D错. 所以选C.‎ ‎【点睛】本题考查了多项式的定义，解题的关键是熟练的掌握多项式的定义.‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）若S,R均为四次多项式,则S+R的和是(　　)‎ A．二次三项式 B．一次二项式 C．四次二项式 D．不高于四次的整式 ‎【答案】D ‎【分析】根据整式的加减运算特点即可求解.‎ ‎【解析】选D.多项式的结果的项数不确定,但是结果的次数不高于四次.选项D正确.‎ ‎【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知多项式的项数与次数的性质.‎ 例3．（2020·全国初一课时练习）某同学做了一道数学题：“已知两个多项式为 A、B，B=3x﹣2y，求 A﹣B 的 值．”他误将“A﹣B”看成了“A+B”，结果求出的答案是 x ﹣y，那么原来的 A﹣B的值应该是 ．‎ ‎【答案】﹣5x+3y．‎ ‎【分析】先根据题意求出多项式A，然后再求A-B．‎ ‎【解析】解：由题意可知：A+B=x-y，∴A=（x-y）-（3x-2y）=-2x+y，‎ ‎∴A-B=（-2x+y）-（3x-2y）=-5x+3y．故答案为-5x+3y．‎ ‎【点睛】本题考查多项式的加减运算，注意加减法是互为逆运算．‎ 例4．（2020·全国初一单元测试）如图所示,长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=2a，BC=3b，且E为AB边的中点，CF=BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积．‎ ‎【答案】2ab．‎ 分析：仔细分析题意及图形特征根据长方形、三角形的面积公式求解即可.‎ ‎【解析】由题意得.‎ 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握长方形、三角形的面积公式，即可完成.‎ 例5．（2020·孝感市临空经济区闵集中学初一期中）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）‎ A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b ‎【答案】B ‎【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．‎ ‎【解析】如图，设左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为CG=a，‎ ‎∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，‎ ‎∴阴影部分面积之差．‎ ‎∵S始终保持不变，∴3b﹣a=0，即a=3b．故选B．‎ ‎【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 例6．（2020·山东省青岛实验初级中学初一月考）某农户承包果树若干亩，今年投资元，收获水果总产量为千克．此水果在市场上每千克售元，在果园直接销售每千克售元．该农户将水果拉到市场出售平均每天出售千克，需人帮忙，每人每天付工资元，农用车运费及其他各项税费平均每天元．分别用含，的代数式表示两种方式出售水果的收入．若元，元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到元，而且该农户采用了中较好的出售方式出售，那么纯收入增长率是多少（纯收入总收入-总支出）？‎ ‎【答案】(1) 市场上出售收入为：元，果园直接出售收入为元；（2）应选择在市场出售，理由见解析；（3）长率为 ‎【分析】市场出售收入=水果总收入-额外支出，而水果直接在果园的出售收入为；‎ ‎ 根据中得到的代数式，将，代入代数式计算即可.‎ ‎ 根据的数据,首先确定今年的最高收入,然后计算增长率即可.‎ ‎【解析】解：将这批水果拉到市场上出售收入为：‎ ‎（元）‎ 在果园直接出售收入为元；‎ 当时，市场收入为（元）．‎ 当时，果园收入为（元）．‎ 因为，所以应选择在市场出售；‎ 因为今年的纯收入为，，‎ 所以增长率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据实际问题列代数式，把问题中与数量有关的词语用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，读懂题意时解题的关键.‎ 题型5. 图形类规律 解题技巧：通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。‎ ‎1．（2020·全国初一单元测试）观察下列图形，第个图形中有个三角形，第二个图形中有个三角形，…，则第个图形中三角形的个数是（ ）‎ A．4000 B．92 C．76 D．84‎ ‎【答案】C ‎【分析】由已知的三个图可得到一般的规律,即第n个图形中三角形的个数是8n-4,根据一般规律解题即可.‎ ‎【解析】第一个图形中有4个三角形,第二个图形中有12个三角形,第三个图形中有20个三角形,…第n个图形中三角形的个数为8n-4,当n=10时,8n-4=76,故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数字变化规律,解决此类探究性问题关键在观察、分析已知数据．‎ ‎2．（2019·河北高邑初二期中）图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层（n为正整数）‎ 圆点的个数，则下列函数关系中正确的是（　　）‎ A．y=4n﹣4 B．y=4n C．y=4n+4 D．y=n2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题图可知：n=1时，圆点有4个，即y=4×1=4；n=2时，圆点有8个，即y=4×2=8；‎ n=3时，圆点有12个，即y=4×3=12；……∴y=4n. 故选B.‎ ‎3．（2020·山东新泰初一期中）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）‎ A．20 B．27 C．35 D．40‎ ‎【答案】B ‎【解析】第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，‎ 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，‎ 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，‎ 按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=个，‎ 则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．故选B．‎ 考点：规律型：图形变化类.‎ ‎4．（2019·广东揭阳初一期末）观察图形并判断照此规律从左到右第四个图形是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D符合.‎ 故选：D.‎ ‎5．（2020·广东东莞初一期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个．‎ ‎【答案】3n+2‎ ‎【解析】解：第一个图案为3+2=5个窗花；第二个图案为2×3+2=8个窗花；‎ 第三个图案为3×3+2=11个窗花；…从而可以探究：‎ 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个．‎ ‎6．（2020·陕西凤翔初二期末）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有__个．‎ ‎【答案】n2+（n﹣1）2‎ ‎【解析】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，所得到的完整圆的个数共有： ． ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．‎ ‎7．（2019·全国初一单元测试）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为______________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（图n+1）的一条腰长为_____________.‎ ‎【答案】 ‎ 分析：应得到每次折叠后得到的等腰直角三角形的边长与第一个等腰直角三角形的边长的关系，进而利用规律求解即可．‎ ‎【解析】每次折叠后，腰长为原来的；‎ 故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（）2=；‎ 小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（）n．‎ 故答案为；（）n．‎ 点睛：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 课后作业：‎ ‎1．（2019·全国初一单元测试）下列判断中错误的个数有（ ）‎ ‎（1）与不是同类项； （2）不是整式；‎ ‎（3）单项式的系数是-1； （4）是二次三项式.‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【分析】根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念分析判断．‎ ‎【解析】解：（1）与是同类项，故错误；（2）是整式，故错； （3）单项式-x3y2的系数是-1，正确；（4）3x2-y+5xy2是3次3项式，故错误．故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查整式的有关概念．能掌握同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的确定方法．‎ ‎2．（2019·全国初一课时练习）已知,当时,等于(　　)‎ A．8 B．9 C．-9 D．-7‎ ‎【答案】B ‎【分析】先化简整式，再把a代入求值即可．‎ ‎【解析】A-B=2a2-3a-（2a2-a-1）=2a2-3a-2a2+a+1=-2a+1， 把a=-4代入原式，得-2a+1=-2×（-4）+1=9，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了整式的化简求值，先化简再求值，注意去括号时，符号的变化．‎ ‎3．（2018·全国初一单元测试）王涵在家复习数学笔记时，发现如图所示的题的答案被墨水给弄脏了，则被弄脏的部分为（ ）‎ A．+2b B．4b C．﹣2b D．﹣4b ‎【答案】D ‎【分析】根据整式的加减运算法则计算即可.‎ ‎【解析】‎3a-b-‎a+b去括号,得‎3a-3b-a-b 合并同类项,得‎2a-4b 与图片对照可得被弄脏的内容是﹣4b.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是整式的加减运算法则.整式加减的一般步骤是:先去括号,再合并同类项.‎ ‎4．（2019·全国初一课时练习）计算2xy2＋3xy2的结果是【 】‎ A．5xy2 B．xy‎2 C．2x2y4 D．x2y4‎ ‎【答案】A。‎ ‎【解析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可：2xy2+3xy2=5xy2。故选A。‎ ‎5．（2020·山东省初一期末）若单项式2x3y2m与﹣3xny2的差仍是单项式，则m+n的值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据合并同类项法则得出n=3，2m=2，求出即可．‎ ‎【解析】∵单项式2x3y2m与-3xny2的差仍是单项式，∴n=3，2m=2，解得：m=1， ∴m+n=1+3=4，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了合并同类项和单项式，能根据题意得出n=3、2m=2是解此题的关键．‎ ‎6．（2020·广东省初一期末）对于有理数a，b定义a△b＝3a＋2b，化简式子[(x＋y)△(x－y)]△3x ‎【答案】21x＋3y 分析：根据定义a△b＝3a＋2b，先小括号，后中括号依次化简[(x＋y)△(x－y)]△3x.‎ ‎【解析】原式=[3(x+y)+2(x-y)]△3x=(3x+3y+2x-2y)△3x=(5x+y)△3x=3(5x+y)+6x=15x+3y+6x=21x＋3y.‎ ‎7．（2020·全国初一单元测试）当a=3，b=﹣1时，求下列代数式的值．‎ ‎（1）（a+b）（a﹣b）；（2）a2+2ab+b2．‎ ‎【答案】（1）8；（2）4‎ 分析：（1）把a与b的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将a与b的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解析】（1）当a=3，b=﹣1时，原式=2×4=8；‎ ‎（2）当a=3，b=﹣1时，原式=（a+b）2=22=4．‎ 考点：代数式求值 ‎8．（2018·安徽省初一期末）先化简，再求值：8a2﹣10ab+2b2﹣（2a2﹣10ab+8b2），其中a=，b=﹣．‎ ‎【答案】6a2﹣6b2，.‎ ‎【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解析】原式=8a2﹣10ab+2b2﹣2a2+10ab﹣8b2=6a2﹣6b2，‎ 当a=，b=﹣时，原式=．‎ ‎【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎9．（2018·江西省初一期中）若代数式2x2+3y+7的值为8，求代数式6x2+9y+8的值.‎ ‎【答案】11.‎ 分析：由已知得到2x2+3y的值，整体代入所求代数式.‎ ‎【解析】解：∵2x2+3y+7=8, ∴2x2+3y=1, ∴6x2+9y+8=3(2x2+3y)+8=3×1+8=11.‎ ‎10．（2020·山东省初一期末）现定义一种新运算“⊕”：对于任意有理数 x，y，都有 x⊕y=3x+2y，例如5⊕1=3×5+2×1=17．（1）求（﹣4）⊕（﹣3）的值；（2）化简：a⊕（3﹣2a）．‎ ‎【答案】（1）-18；（2）﹣a+6．‎ ‎【分析】根据新运算定义计算即可得出结果.‎ ‎【解析】解：：（1）（﹣4）⊕（﹣3）=3×（﹣4）+2×（﹣3）=﹣12﹣6=﹣18；‎ ‎（2）原式=3×a+2×（3﹣2a）=3a+6﹣4a=﹣a+6．‎ ‎【点睛】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键,根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果.‎ ‎11．（2020·全国初一课时练习）（1）化简求值: 2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝-1，y＝.‎ ‎（2）解答:老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：＋(－3x2＋5x－7)＝－2x2＋3x－6.求所捂的多项式.‎ ‎【答案】（1）-5x2y+5xy；-5.（2）x2－2x＋1‎ ‎【分析】（1）先将原式去括号、合并同类项，再将x、y的值代入计算即可；‎ ‎（2）根据要求的多项式与－3x2＋5x－7的和为－2x2＋3x－6，利用减法可知要求的多项式为－2x2＋3x－6减去－3x2＋5x－7即可.‎ ‎【解析】（1）原式==-5x2y+5xy;‎ 当x=-1,y=时，原式==-5.‎ ‎（2）原式=(－2x2＋3x－6)－(－3x2＋5x－7)＝－2x2＋3x－6＋3x2－5x＋7＝x2－2x＋1，‎ 即所捂的多项式是x2－2x＋1.‎ ‎【点睛】本题考查了整式的加减，掌握运算法则是解题的关键.‎ ‎12．（2019·全国初一课时练习）用代数式表示阴影部分的面积，并求当，时的面积.‎ ‎【答案】，.‎ ‎【分析】根据图形可知，阴影部分的面积=正方形面积－白环面积，然后面积公式列出代数式，再进行化简，代入求值即可.‎ ‎【解析】解：，‎ 当，时，.‎ ‎【点睛】本题考查列代数式-求不规则图形面积，通过观察图形列出代数式是解题的关键.‎ ‎13．（2020·山东南区初一期末）如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为_____cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是_____．‎ ‎【答案】14 y＝6x+2． ‎ ‎【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度.‎ ‎【解析】解：由题意可得，把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm，把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2，故答案为：14，y=6x+2.‎ ‎【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.‎