南京市中考数学试题及答案解析

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南京市中考数学试题及答案解析

南京市2011年初中毕业生学业考试数学 数学注意事项:‎ 1. 本试卷共6页,全卷满分120分,考试时间为120分钟,考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效.‎ 2. 请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.‎ 3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需要改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置,在其他位置答题一律无效.‎ 4. 作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.的值等于 A.3 B.-3 C.±3 D. ‎ ‎2.下列运算正确的是 A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a6 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a8 ‎ ‎3.在第六次全国人口普查中,南京市常住人口约为800万人,其中65岁及以上人口占9.2%.则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为 A.0.736×106人 B.7.36×104人 C.7.36×105人 D.7.36×106 人 ‎4.为了解某初中学校学生的视力情况,需要抽取部分学生进行调查,下列抽取学生的方法最合适的是 A.随机抽取该校一个班级的学生 ‎ B.随机抽取该校一个年级的学生 ‎ C.随机抽取该校一部分男生 ‎ D.分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生 ‎ ‎5.如图是一个三棱柱,下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是 ‎(第6题)‎ A B B P x y y=x ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为,则a的值是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分,不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)‎ ‎7.-2的相反数是________.‎ ‎8.如图,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD,则∠1=____________.‎ ‎(第12题)‎ B A D C E ‎(第11题)‎ B A M O ‎(第8题)‎ B A C D E l ‎1‎ ‎9.计算=_______________.‎ ‎10.等腰梯形的腰长为5㎝,它的周长是22㎝,则它的中位线长为___________㎝.‎ ‎11.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于___________. ‎ ‎12.如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为_________㎝2.‎ ‎(第14题)‎ A B C D F E A B O P ‎(第12题)‎ ‎13.如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.‎ ‎14.如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF,将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF,旋转角为a(0°<a<180°),则∠a=______.‎ ‎15.设函数与的图象的交战坐标为(a,b),则的值为__________.‎ ‎16.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数,规定:‎ ‎①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲报5、乙报6……按此规律,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,当报到的数是50时,报数结束;‎ ‎②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,在此过程中,甲同学需要拍手的次数为____________.‎ 三、解答题(本大题共12小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(6分)解不等式组,并写出不等式组的整数解.‎ ‎18.(6分)计算 ‎19.(6分)解方程x2-4x+1=0‎ ‎20.(7分)某校部分男生分3组进行引体向上训练,对训练前后的成绩进行统计分析,相应数据的统计图如下.‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎0‎ 第一组 第二组 第三组 组别 ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ 训练前 训练后 ‎①‎ 训练前后各组平均成绩统计图 训练后第二组男生引体 向上增加个数分布统计图 ‎10%‎ ‎50%‎ ‎20%‎ ‎20%‎ 增加8个 增加6个 增加5个 个数没有变化 ‎②‎ ‎(第20题)‎ 平均成绩(个)‎ ‎⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数;‎ ‎⑵小明在分析了图表后,声称他发现了一个错误:“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%,所以第二组的平均数不可能提高3个这么多.”你同意小明的观点吗?请说明理由;‎ ‎⑶你认为哪一组的训练效果最好?请提出一个解释来支持你的观点.‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎21.(7分)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.‎ ‎⑴求证:△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC 是矩形.‎ ‎22.(7分)小颖和小亮上山游玩,小颖乘会缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车,缆车的平均速度为180 m/min.设小亮出发x min后行走的路程为y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.‎ ‎⑴小亮行走的总路程是____________㎝,他途中休息了________min.‎ ‎⑵①当50≤x≤80时,求y与x的函数关系式;‎ ‎②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少?‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎1950‎ ‎3000‎ ‎80‎ x/min y/m O ‎(第22题)‎ ‎23.(7分)从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者.求下列事件的概率:‎ ‎⑴抽取1名,恰好是女生;‎ ‎⑵抽取2名,恰好是1名男生和1名女生.‎ ‎24.(7分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).‎ ‎⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;‎ ‎⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.‎ ‎25.(7分)如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度,他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点C处塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.‎ ‎(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)‎ A B E C D h ‎37°‎ ‎45°‎ ‎(第25题)‎ ‎26.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6㎝,BC=8㎝,P为BC的中点.动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.‎ ‎⑴当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;‎ ‎⑵已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.‎ A B C P Q O ‎(第26题)‎ ‎27.(9分)如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.‎ ‎⑴如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.‎ ‎⑵在△ABC中,∠A<∠B<∠C.‎ ‎①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.‎ B B B C C C A A A D P E ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎(第27题)‎ ‎28.(11分)‎ 问题情境 已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?‎ 数学模型 设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为.‎ 探索研究 ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎(第28题)‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数的图象性质.‎ ① 填写下表,画出函数的图象:‎ ② x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎……‎ ‎②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;‎ ‎③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数(x>0)的最小值.‎ 解决问题 ‎⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.‎ 答案:‎ 一.选择题:ACCDBB 二.填空:‎ ‎7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4 ‎ ‎17.解:‎ ‎ ‎ 解不等式①得:‎ 解不等式②得:‎ 所以,不等式组的解集是.‎ 不等式组的整数解是,0,1. ‎ ‎18.‎ ‎19. 解法一:移项,得.‎ 配方,得,‎ ‎ ‎ 由此可得 ‎,‎ 解法二:‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎20.解:⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是≈67%.‎ ‎⑵不同意小明的观点,因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3(个).‎ ‎(3)本题答案不唯一,我认为第一组训练效果最好,因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大.‎ ‎21.证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC.‎ 在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF.‎ ‎(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB. ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形.‎ 解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.‎ 又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.‎ 又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.∴口ABEC是矩形. ‎ ‎22. 解⑴3600,20. ‎ ‎⑵①当时,设y与x的函数关系式为.‎ 根据题意,当时,;当,.‎ ‎ ‎ ‎ 所以,与的函数关系式为.‎ ‎②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(),‎ 缆车到达终点所需时间为1800÷180=10().‎ 小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60(). ‎ 把代入,得y=55×60—800=2500.‎ 所以,当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100().‎ ‎23. 解⑴抽取1名,恰好是女生的概率是.‎ ‎⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学,从中任意抽取2名,所有可能出现的结果有:(男1,男2),(男1,男3),(男1,女1),(男1,女2),(男2,男3),(男2,女1),(男2,女2),(男3,女1),(男3,女2),(女1,女2),共10种,它们出现的可能性相同,所有结果中,满足抽取2名,恰好是1名男生和1名女生(记为事件A)的结果共6种,所以P(A)=.‎ ‎24.解:⑴当x=0时,.‎ 所以不论为何值,函数的图象经过轴上的一个定点(0,1).‎ ‎⑵①当时,函数的图象与轴只有一个交点;‎ ‎②当时,若函数的图象与轴只有一个交点,则方程有两个相等的实数根,所以,. ‎ 综上,若函数的图象与轴只有一个交点,则的值为0或9.‎ ‎25.在中,=.‎ ‎∴EC=≈().‎ 在中,∠BCA=45°,∴‎ 在中,=.∴.∴(). ‎ 答:电视塔高度约为120. ‎ ‎26.解⑴直线与⊙P相切.‎ 如图,过点P作PD⊥AB, 垂足为D.‎ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∵AC=6cm,BC=8cm,‎ ‎∴.∵P为BC的中点,∴PB=4cm.‎ ‎∵∠PDB=∠ACB=90°,∠PBD=∠ABC.∴△PBD∽△ABC.‎ ‎∴,即,∴PD =2.4(cm) .‎ 当时,(cm) ‎ ‎∴,即圆心到直线的距离等于⊙P的半径. ‎ ‎∴直线与⊙P相切.‎ ‎⑵ ∠ACB=90°,∴AB为△ABC的外切圆的直径.∴ OP.∵P为BC的中点,∴. ‎ ‎∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切. ‎ ‎∴或,∴=1或4. ‎ ‎∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4. ‎ ‎27. 解⑴在Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,∴,∴CD=BD.‎ ‎∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC.‎ ‎∴E是△ABC的自相似点. ‎ ‎⑵①作图略. ‎ 作法如下:(i)在∠ABC内,作∠CBD=∠A;‎ ‎(ii)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC;BD交CE于点P.‎ 则P为△ABC的自相似点.‎ ‎②连接PB、PC.∵P为△ABC的内心,∴,.‎ ‎∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC.‎ ‎∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=2∠PBC =2∠A,‎ ‎∠ACB=2∠BCP=4∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°.‎ ‎∴∠A+2∠A+4∠A=180°.‎ ‎∴.∴该三角形三个内角的度数分别为、、.‎ ‎28. 解⑴①,,,2,,,.‎ 函数的图象如图.‎ ‎②本题答案不唯一,下列解法供参考.‎ 当时,随增大而减小;当时,随增大而增大;当时函数的最小值为2.‎ ‎③‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 当=0,即时,函数的最小值为2. ‎ ‎⑵当该矩形的长为时,它的周长最小,最小值为. ‎
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