高中数学人教a版必修三 第三章 概率 学业分层测评17 word版含答案

高中数学人教a版必修三 第三章 概率 学业分层测评17 word版含答案

学业分层测评(十七) 概率的基本性质 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若 A、B 是互斥事件，则( ) A．P(A∪B)＜1 B．P(A∪B)＝1 C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1 【解析】 ∵A，B 互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当 A、B 对 立时，P(A∪B)＝1) 【答案】 D 2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两 次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}， D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 【解析】 “恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或 第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是 恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，∴A∪B≠B∪D. 【答案】 D 3．从 1，2，3，…，9 中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰 有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数 和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 【解析】 从 1～9 中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇 数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选 C. 【答案】 C 4．某城市 2015 年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 T 30 60 100 110 130 140 概率 P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T≤50 时，空气质量为优；50＜T≤100 时，空气质 量为良；100＜T≤150 时，空气质量为轻微污染．该城市 2015 年空气 质量达到良或优的概率为( ) A.3 5 B． 1 180 C. 1 19 D．5 9 【解析】 所求概率为 1 10 ＋1 6 ＋1 3 ＝3 5.故选 A. 【答案】 A 5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图 312 为检 测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为 一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15) 和[30，35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取 一件，则其为二等品的概率为( ) 图 312 A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 【解析】 由题图可知抽得一等品的概率为 0.3，抽得三等品的概 率为 0.25，则抽得二等品的概率为 1－0.3－0.25＝0.45. 【答案】 D 二、填空题 6．在掷骰子的游戏中，向上的数字为 5 或 6 的概率为________． 【解析】 记事件 A 为“向上的数字为 5”，事件 B 为“向上的 数字为 6”，则 A 与 B 互斥． 所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 6 ×2＝1 3. 【答案】 1 3 7．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥 事件是________． 【解析】 连续射击两次有以下四种情况：第一次中第二次不中， 第一次不中第二次中，两次都中和两次都不中．故“至少一次中靶” 的互斥事件为“两次都不中靶”． 【答案】 “两次都不中靶” 8．同时抛掷两枚骰子，既不出现 5 点也不出现 6 点的概率为4 9 ， 则 5 点或 6 点至少出现一个的概率是________． 【解析】 记既没有 5 点也没有 6 点的事件为 A， 则 P(A)＝4 9 ，5 点或 6 点至少出现一个的事件为 B. 因为 A∩B＝∅，A∪B 为必然事件，所以 A 与 B 是对立事件，则 P(B)＝1－P(A)＝1－4 9 ＝5 9. 故 5 点或 6 点至少出现一个的概率为5 9. 【答案】 5 9 三、解答题 9．掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点，6 点的概率均为1 6 ，记事件 A 为“出现奇数”，事件 B 为“向 上的数不超过 3”，求 P(A∪B)． 【解】 记事件“出现 1 点”，“出现 2 点”，“出现 3 点”，“出 现 5 点”分别为 A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故 P(A∪B)＝ P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝1 6 ＋1 6 ＋1 6 ＋1 6 ＝2 3. 10．在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80 分～89 分的概率是 0.51，在 70 分～79 分的概率是 0.15，在 60 分～69 分的概率是 0.09，在 60 分以下的概率是 0.07，计算： (1)小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率； (2)小明考试及格的概率. 【导学号：28750055】 【解】 记小明的成绩“在 90 分以上”、“在 80 分～89 分”、 “在 70 分～79 分”、“在 60 分～69 分”为事件 A，B，C，D，这四 个事件彼此互斥． (1)小明成绩在 80 分以上的概率是： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)小明及格的概率是： P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. ∴小明及格的概率为 0.93. [能力提升] 1．从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球，那么，互斥 而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球 【解析】 A 项中，若取出的 3 个球是 3 个红球，则这两个事件 同时发生，故它们不是互斥事件，所以 A 项不符合题意；B 项中，这 两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对 立事件，所以 B 项不符合题意；C 项中，若取出的 3 个球是 1 个红球 2 个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以 C 项不符合题 意；D 项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的 3 个 球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以 D 项符 合题意． 【答案】 D 2．(2016·北京西城质检)如图 313 所示茎叶图表示的是甲、乙两 人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩 超过乙的平均成绩的概率为( ) 图 313 A.2 5 B． 7 10 C.4 5 D． 9 10 【解析】 记其中被污损的数字为 x，依题意得甲的五次综合测评 的平均成绩是1 5(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测 评的平均成绩是1 5(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝1 5(442＋x)，令 90 ＞1 5(442＋x)，解得 x＜8，所以 x 的可能取值是 0～7，因此甲的平均成 绩超过乙的平均成绩的概率为 8 10 ＝4 5. 【答案】 C 3．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个 球，摸出红球或白球的概率为 0.58，摸出红球或黑球的概率为 0.62， 那么摸出红球的概率为________． 【解析】 由题意知 A＝“摸出红球或白球”与 B＝“摸出黑球” 是对立事件，又 P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又 C＝“摸出红 球或黑球”与 D＝“摸出白球”也是对立事件，∵P(C)＝0.62，∴P(D) ＝0.38.设事件 E＝“摸出红球”，则 P(E)＝1－P(B∪D) ＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 【答案】 0.2 4．袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任 取一球，得到红球的概率是1 3 ，得到黑球或黄球的概率是 5 12 ，得到黄球 或绿球的概率是 5 12 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 【解】 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸 到黄球”“摸到绿球”分别为 A、B、C、D，则有： P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝ 5 12 ； P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝ 5 12 ； P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－1 3 ＝2 3 ， 解得 P(B)＝1 4 ， P(C)＝1 6 ，P(D)＝1 4. 所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是1 4 ，1 6 ，1 4.