2018春中考数学圆的基本性质强化练习

2018春中考数学圆的基本性质强化练习

第六单元 圆 圆的基本性质 命题点1垂径定理求长度 ‎1.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8,OC=5,则CD的长是( )‎ A.　3 B.　‎2.5 C.　2 D.　1‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 第3题图 ‎2. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,若CD＝6，BE=1,则⊙O的直径为_______.‎ ‎3. 如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于点E，AB=BC=12,则OC＝__________.‎ 命题点2圆周角定理相关证明与计算 类型1求角度 ‎4. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是( )‎ A. ∠A=∠D B. CB=BD C. ∠ACB=90° D. ∠COB=3∠D ‎ ‎ 第4题图 第5题图 ‎5. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=( )‎ A. 100° B. 72° C. 64° D. 36°‎ ‎6. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为( )‎ A. 30° B. 50° C. 60° D. 70°‎ ‎ ‎ 第6题图 第7题图 ‎7. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=_________.‎ ‎8.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝___________度.‎ 类型2求长度 第9题图 ‎9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°，⊙O的半径为‎5 cm,则圆心O到弦CD的距离为( )‎ A. cm B. ‎‎3 cm C. 3 cm D. ‎‎6 cm ‎10. 如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝‎6 cm，则AB的长为（ ）‎ A. ‎4 cm B. ‎3‎ cm C. ‎2‎cm D. ‎2‎ cm ‎ ‎ 第10题图 第11题图 ‎11. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）‎ A.2 B.‎-1 C. D.4‎ ‎12.如图，边长为2的正方形ABCD中，点P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第12题图 第13题图 ‎13. AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点.若∠CMA=45°，则弦CD的长为____________.‎ 类型3求锐角三角函数值 ‎14. 如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰在半圆上，过点C作CD⊥AB交AB于点D，已知cos∠ACD=，BC＝4，则AC的长为( )‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ 第14题图 第15题图 ‎ ‎15. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠‎ ADC=_________.‎ ‎16. 如图，已知⊙O的半径为‎6 cm,弦AB的长为 ‎8 cm,P是AB延长线上一点，BP=‎2 cm,则tan∠OPA的值是.‎ ‎ ‎ 第16题图 第17题图 ‎17. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,6)和点O(0,0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为_________.‎ 类型4证明与计算 ‎18. 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，且∠ABC＝60°，AB=BC,△ACD的外接圆⊙O交BC于点E，连接DE并延长，交AC于点P，交AB延长线于点F.‎ ‎（1）求证：CF=DB；‎ ‎（2）当AD=时，试求E点到CF的距离.‎ 第18题图 ‎19. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE.‎ ‎（1）求证：D是BC的中点；‎ ‎（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O的半径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求弦AE的长.‎ 第19题图 ‎20. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.‎ ‎(1)求证：△ADF∽△AED；‎ ‎(2)求FG的长；‎ ‎(3)求证：tan∠E=.‎ 第20题图 命题点3圆内接四边形与正多边形 ‎21. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为.‎ ‎ ‎ 第21题图 第22题图 ‎22. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于. ‎ ‎23. 如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O中,则阴影部分的面积为____________.‎ 第23题图 ‎ ‎ 答案 ‎1.C.在Rt△OBD中，OB=5，BD=4，根据勾股定理可得OD=3，则CD=OC-OD=5-3=2.‎ ‎2. 10【解析】如解图，连接OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-1，∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=3，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，∴（r-1）2+32=r2，解得r=5，∴直径为10.‎ ‎ ‎ 第2题解图 ‎3. 4【解析】∵BC⊥AD，AD是⊙O的直径，∴BE=CE=6，，在Rt△ABE中，AB=BC=2BE，∴∠BAE=30°，∴∠DOC=2∠BAE=60°，∴在Rt△EOC中，OC= =6sin60°=4.‎ ‎4. D【解析】根据垂径定理和圆周角定理可得出选项A、B、C正确，而D,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,∴∠COB=2∠D≠3∠‎ D,故D不成立.‎ ‎5. C【解析】如解图，设OB与AC的交点为E，∵∠A=36°，∴∠O=2∠A=72°，∵∠C=28°，∴∠AEB=∠OEC=180°－72°－28°=80°，∴∠B=180°－80°－36°=64°.‎ ‎6. C【解析】如解图，连接BD，∵AB是在⊙O的第6题解图直径，∴∠ADB=90°，由同弧所对圆周角相等可知∠ABD=∠ACD=30°，∴∠BAD=90°-∠ABD=60°.‎ 第5题解图 ‎ 7. 72°【解析】∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=18°,∴∠BOC=180°-18°-18°=144°,∴∠A=∠BOC=72°.‎ ‎8. 40【解析】∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD,∴∠BAC=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC=180°-90°-50°＝40°.‎ ‎9. A【解析】∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，又∵CD⊥AB,∴∠OEC＝90°，∴∠OCE=30°，∴OE=12OC=12×5= cm.‎ ‎10. B【解析】连接OA，如解图，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE=OE，∵CD=‎6 cm，∴OC=OA=‎3 cm，∴AE= cm，∴AB=2AE=3‎ cm．‎ 第10题解图 ‎11. A【解析】由垂径定理可知CD=2CE，由圆周角定理知∠COE＝2∠A=30°，∵⊙O的半径为2，∴OC=2，∴CE=1，∴CD=2.‎ ‎12. D【解析】∵PF为⊙O的直径，∴∠PCF=∠BEF=90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴PC∥AB，又∵P是CD的中点，∴△ADP≌△FCP，∴AP＝PF，AD＝CF＝BC.∴CF=2,BF=4，CP=1,在Rt△BPC中，BP= =4+1=5,在Rt△BPC和Rt△BFE中，∵∠PBC=∠FBE,∠BCP=∠BEF=90°,∴‎ ‎△BPC∽△BFE, ∴EF：CP=BF：BP，∴EF=.‎ ‎13. 【解析】如解图，作ON⊥CD于N,连接OD,M为OA中点,则OM=OA=1，∵∠CMA=45°,∴∠OMN=45°,在Rt△OMN中，ON=OM·sin∠OMN=，DN= =，∴CD=2DN=.‎ ‎14. D【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°,∴∠B=∠ACD,∵cos∠ACD=,∴cosB=,∴tanB=,∵BC＝4，∴tanB=AC：BC=AC：4=4：3,∴AC＝.‎ 第13题解图 ‎15. 【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC= ＝12，由同弧所对的圆周角相等，得∠ADC=∠B,∴tan∠ADC=tanB＝AC：BC=.‎ ‎16. 【解析】如解图，连接OB，过点O作OM⊥AB于点M，∵OA=OB=‎6 cm，OM⊥AB, ∴在等腰△OAB中， BM= =×8=‎4 cm，∴在Rt△BOM中，OM=cm，　又∵PM=BM+BP=‎6 cm,　　　∴在Rt△OPM中，tan∠OPA= =.‎ 第16题解图 ‎17. 【解析】如解图，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径，即CD=10，∵点C(0，6)，∴OC=6，∴OD= =8,∴cos∠ODC= =,由同弧所对的圆周角相等得∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=．‎ 第17题解图 ‎18. （1）证明：如解图，连接AE，‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEC=90°,‎ 第18题解图 ‎∵∠ABC=60°，AB=BC，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AE为△ABC中BC边上的高，‎ ‎∴CE=BE，‎ ‎∵AB∥CD, ‎ ‎∴∠FDC=∠BFD,∠DCB=∠CBF，(2分)‎ ‎∵在△DCE和△FBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCE≌△FBE（AAS），(4分)‎ ‎∴DE=EF，‎ 又∵CE=BE，‎ ‎∴四边形BDCF为平行四边形，(5分)‎ ‎∴CF=DB；(6分)‎ ‎(2)解：如解图，过点E作EH⊥CF于点H，(7分)‎ ‎∵AB∥CD, ‎ ‎∴∠DCA=∠CAB=60°，(8分)‎ 在Rt△ACD中,∵AD=3,∠DCA=60°，‎ ‎∴CD＝ADtan60°=1，AC=AB=2，‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：‎ BD= =7，(9分)‎ ‎∵四边形BDCF为平行四边形，‎ ‎∴BF=CD=1，CF=BD=7,‎ ‎∴S△CEF=S四边形BDCF，‎ 即CF·EH=AD·BF，‎ ‎∴EH=.(12分)‎ ‎19. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴点D是BC的中点;(3分)‎ ‎(2)解：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ 又∵∠ABC=∠AED，‎ ‎∴∠AED=∠C，‎ ‎∴CD=DE=3，‎ ‎∴BD=DC=3；(4分)‎ ‎∵BD-AD=2，‎ ‎∴AD=1，‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理得 AB2=BD2+AD2=32+12=，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴⊙O的半径为;(7分)‎ ‎(3)解：如解图，连接BE，‎ 第19题解图 ‎∵AB=10，∴AC=10，‎ ‎∵∠ADC=∠BEA,∠C=∠C，‎ ‎∴△CDA∽△CEB，(9分)‎ ‎∴AC：BC=CD：CE，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴AE=CE-AC=-=.(12分)‎ ‎20. 解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，‎ ‎∴，DG=CG,（1分）‎ ‎∴∠ADF=∠AED,（2分）‎ ‎∵∠FAD=∠DAE,‎ ‎∴△ADF∽△AED;（4分）‎ ‎（2）∵ =,CF=2,‎ ‎∴FD=6,（5分）‎ ‎∴CD=DF+CF=8,‎ ‎∴GC=GD=4,‎ ‎∴FG=CG-CF=2;（6分）‎ ‎（3）证明：∵AF=3.FG=2,‎ ‎∴在Rt△AGF中，AG= =,（7分）‎ ‎∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= =.（9分）‎ ‎∵∠ADF=∠AED,‎ ‎∴tan∠E=.（10分）‎ ‎21. 3【解析】连接OB、OC，由正六边形的性质可得∠BOC=60°，△OBC为等边三角形，∴∠OBC=60°，在Rt△OBM中，sin∠OBM=OMOB＝OM6=，解得OM=3.‎ ‎22. 2π【解析】如解图，连接BD,∵正方形的面积为4,∴BC=CD=2，在正方形ABCD中,∠C=90° ,∴BD是⊙O的直径.根据勾股定理得 BD= ,∴⊙O的半径r为2 ,其面积为πr2=π×()2=2π.‎ ‎23. 12【解析】如解图，连接OA、OE、OC，则OA=OC=OE，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴OA=AB=BC=OC，∴△AOC≌△ABC，同理可得△AFE≌△AOE，△EDC≌△EOC，‎ ‎∴S阴影=S正六边形ABCDEF,连接OB，则△AOB是等边三角形，且AB=4，∴S△ABO=AB=×16=4，‎ ‎∴S正六边形ABCDEF=6S△ABO=24，‎ ‎∴S阴影=12.‎