专题54 曲线与方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题54 曲线与方程-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题54曲线与方程 最新考纲 ‎1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．‎ ‎2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质．‎ ‎3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．求动点的轨迹方程的基本步骤 ‎【知识拓展】‎ ‎1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．‎ ‎2．曲线的交点与方程组的关系 ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；‎ ‎(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】定义法求轨迹方程 ‎【典型例题】‎ 已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）‎ A．（x≠0） B．（x≠0） ‎ C．（x≠0） D．（x≠0）‎ ‎【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），‎ ‎∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，‎ ‎∵12＞8‎ ‎∴点A到两个定点的距离之和等于定值，‎ ‎∴点A的轨迹是椭圆，‎ ‎∵a＝6，c＝4‎ ‎∴b2＝20，‎ ‎∴椭圆的方程是 故选：B． ‎ ‎【再练一题】‎ 动圆M与定圆C：x2+y2+4x＝0相外切，且与直线l：x﹣2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（　　）‎ A．y2﹣12x+12＝0 B．y2+12x﹣12＝0 ‎ C．y2+8x＝0 D．y2﹣8x＝0‎ ‎【解答】解：圆C的标准方程为（x+2）2+y2＝4，圆心为C（﹣2，0），半径为2．‎ 如下图所示，‎ 设圆M的半径为r，则|MC|＝r+2，点M到直线l的距离为r，由题意可知，点M到点C的距离等于点M到直线x＝4的距离，‎ 设动点M的坐标为（x，y），则，化简得y2+12x﹣12＝0．‎ 因此，动点M的轨迹方程为y2+12x﹣12＝0．‎ 故选：B． ‎ 思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．‎ ‎【题型二】直接法求轨迹方程 ‎【典型例题】‎ 已知△ABC一边的两个端点是A（7，0），B（﹣7，0），另两边斜率的积是，那么顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A．x2+y2＝49（y≠0） B．1（y≠0） ‎ C．1（y≠0） D．1（y≠0）‎ ‎【解答】解：设顶点A的坐标为（x，y），‎ 则；kBC，‎ 由题意得 ，即1（y≠0），‎ 故选：D． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，‎ 整理可得：．‎ ‎∴曲线E的方程是．‎ ‎（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．‎ 当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，‎ 联立消去y得．‎ ‎，，‎ 所以，，‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立，此时．‎ 经检验可知，直线和直线符合题意． ‎ 思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．‎ ‎【题型三】相关点法求轨迹方程 ‎【典型例题】‎ 已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3，记动点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），‎ ‎∵，‎ ‎∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（‎3m﹣3x，﹣3y），‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵|AB|＝4，‎ ‎∴m2+n2＝16，‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线C的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由，消去y得，‎ ‎37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，‎ 由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，‎ 可得，‎ 又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），‎ 且直线HM与HN的斜率存在，‎ ‎∴t≠±1，‎ 又，，‎ ‎∴kHM+kHN ‎ ‎ ‎＝41，‎ 解得t＝3，‎ 故t的值为3． ‎ ‎【再练一题】‎ 在圆x2+y2＝1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且PMPD，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（　　）‎ A．y2＝1（y≠0） B．y2＝1（y≠0） ‎ C．x21（y≠0） D．x21（y≠0）‎ ‎【解答】解：设M（x，y），则P（x，），‎ 把P代入圆的方程可得x21．‎ 故选：D． ‎ 思维升华 “相关点法”的基本步骤 ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．‎ 基础知识训练 ‎1．【广西2018届高三下学期第二次模拟】设为椭圆上任意一点，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为椭圆上任意一点,且A,B为椭圆的焦点， ，又，所以点的轨迹方程为.选B.‎ ‎2．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】已知正方体中，，‎ 为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设的中点为，连接、，则在中，，，∴.‎ ‎∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.‎ 以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则 ‎,.‎ ‎.‎ 设点的坐标为，则 .‎ 故选：B ‎3．【北京市第四中学2019届高三第三次调研考试】已知直线与圆相交于、两点,是线段的中点,则点到直线 的距离的最大值为 A．5 B．‎4 ‎C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：直线经过定点（-4,0），‎ 设，则点，‎ 因为点B在圆上，‎ 故有，‎ 化简整理得：，‎ 所以点M的轨迹是圆心为（-3,0），半径为1的圆，‎ 圆心（-3,0）到直线的距离为，‎ 所以点M到直线的最大距离为4。‎ 故选B。‎ ‎4．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD的距离相等的点P（　　）‎ A．不存在 B．恰有1个 C．恰有2个 D．有无数个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），‎ 设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，‎ ‎∴P到直线CD的距离为，‎ ‎∴x=，即x2-y2=1（x≥1），‎ ‎∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，‎ 故选：D．‎ ‎5．【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试】在直角坐标平面内，已知以及动点的三个顶点，且，则动点的轨迹曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，‎ ‎∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴，‎ 设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），‎ 所以有，‎ 整理得，∴离心率是 故选A．‎ ‎6．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则（ ）‎ A．当时，点的轨迹是抛物线 B．当时，点的轨迹是一条直线 C．当时，点的轨迹是椭圆 D．当时，点的轨迹是双曲线抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在中，∵，由正弦定理可得：，‎ 当时，，过的中点作线段的垂面，‎ 则点在与的交线上，即点的轨迹是一条直线，‎ 当时，，‎ 设在平面内的射影为，连接，，设，，则，‎ 在平面内，以所在直线为轴，以的中点为轴建立平面直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ ‎∴，化简可得.‎ ‎∴的轨迹是圆．‎ 故选：B．‎ ‎7．【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末考试】在平面直角坐标系中，，点满足 ‎，则的最小值为（　　）‎ A．4 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵点（）满足，‎ ‎∴=，即+=+]，‎ 化简得a2+b2=4，‎ 则+)=4+1++=5+4=9，（当且仅当=等号成立）‎ ‎∴的最小值为,‎ 故选D.‎ ‎8．【辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则，‎ 依题意有，，‎ 化简整理得，，‎ 即，‎ 则圆的面积为．‎ 故选：D．‎ ‎9．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】如图，直二面角，，，，且，，，，，，则点在平面内的轨迹是（ ）‎ A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．一条直线 D．两条直线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，，，，，则，，，，，，， ，即，整理得：，故点的轨迹是圆的一部分，故选.‎ ‎10．【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试】在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：‎ 符合的点的轨迹围成的图形面积为8；‎ 设点是直线：上任意一点，则；‎ 设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；‎ 设点是椭圆上任意一点，则．‎ 其中正确的结论序号为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，根据新定义得：，由方程表示的图形关于轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：‎ 四边形为边长是的正方形，面积等于8，故正确；‎ 为直线上任一点，可得，‎ 可得，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；‎ ‎，当时，，满足题意；‎ 而，当时，，满足题意，即都能 “使最小的点有无数个”，不正确；‎ 是椭圆上任意一点，因为求最大值，所以可设正确．‎ 则正确的结论有：，故选D．‎ ‎11．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试】已知点，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）当与点不重合时，‎ ‎，得，即，‎ 当与点重合时，.‎ 综上，动点的轨迹方程为.‎ ‎（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.‎ 当矩形各边均不与坐标轴平行时，‎ 根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为 另一边所在的直线为，则对边方程为，‎ 联立：，得，‎ 则，即.‎ 矩形的一边长为，‎ 同理：，矩形的另一边长为，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 综上：.‎ ‎12．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】设抛物线的方程为，点在抛物线上，过M作抛物线的切线，切点分别为A，B，圆N是以线段为直径的圆.‎ ‎（1）若点M的坐标为，求此时圆N的半径长；‎ ‎（2）当M在上运动时，求圆心N的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设，‎ ‎∴切线的方程分别为，‎ 得的交点的坐标为，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵N为线段的中点，∴，‎ 点在上，即，‎ 由（1）得，则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴圆心N的轨迹方程为.‎ ‎13．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一)】已知圆，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ＝，M是PQ的中点。‎ ‎（1）求点M的轨迹曲线C的方程；‎ ‎（2）设对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点F，使是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由 ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设点，由，得，‎ 化简得，‎ 即.‎ ‎（2）点，，直线方程为，‎ 假设存在点，满足条件，设，则有，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当是常数，是常数，‎ ‎∴，∴或（舍），∴，‎ ‎∴存在满足条件.‎ ‎14．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】已知点到抛物线的焦点的距离和它到直线的距离之比是．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过圆：上任意一点作圆的切线与轨迹交于，两点，求证：．‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ 解：（1）抛物线的焦点，‎ 设，由题意可得，‎ 两边平方可得，‎ 化为，‎ 点的轨迹的方程为椭圆；‎ ‎（2）证明：当切线的斜率不存在时切线方程为或，‎ 当切线方程为时，切线与椭圆的两个交点为和，‎ 此时，‎ 即；‎ 当时，同理可证得.‎ 当切线斜率存在时，可设的方程为，‎ 与椭圆方程联立，可得，‎ 则，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵与圆相切，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，即．‎ 综上可得，．‎ ‎15．【广东省梅州市2019届高三总复习质检】已知过定点的动圆是与圆相内切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 解:(1)圆的圆心为,半径为, ‎ 设圆的半径为,由题意知点在圆内.‎ 可得 所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,‎ 得 所以动圆圆心的轨迹方程为 ‎(2)显然不与轴垂直,设所在直线方程为可得 可得……①设,‎ 则是方程①的两不相等的实根,得 ‎ ‎ 得 又点到直线的距离 所以的面积 由题意知, ‎ 得 又 代入上式得 得 ‎(也可直接用垂直平分线过点得到关系) ‎ 当时, ‎ 当时,有最大值 当时, ‎ 当时,有最大值 所以面积的最大值为 能力提升训练 ‎1．过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为___.‎ ‎【答案】x2+4y2=4‎ ‎【解析】‎ 设点为M(x，y)，则点P(x，2y)．‎ ‎∵点P(x，2y)在圆x2+y2=4上，‎ ‎∴x2+4y2=4．‎ ‎∴线段PH的中点M的轨迹方程为x2+4y2=4．‎ ‎2．【江苏省南通市2019届高三适应性考试】在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，‎ 则有，，‎ 因为，所以，‎ 整理得，‎ 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，‎ 所以线段长度的最大值为.‎ 故答案为6‎ ‎3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，‎ 所以点D的轨迹方程为，‎ 因为，所以 设 所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，‎ 由于点在圆上运动，‎ 所以，‎ 所以正数m的取值范围为.‎ 故答案为：‎ ‎4．【福建省三明市2019届高三上学期期末质量检测】在平面直角坐标系中，点，‎ 动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距离，故动点M的轨迹为，‎ 由可得，‎ 解得D，即直线过定点D，‎ 又过作直线的垂线，垂足为，‎ 所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，‎ 化为标准方程为：，圆心E,半径r=‎ 过M做M垂直准线，垂足为 则 故答案为：‎ ‎5．【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷】在棱长为的透明密闭的正方形容器 中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，在棱长为的正方体中，‎ 点在上，点在上，满足，‎ 则原问题等价于求解四边形的最大值.‎ 作于点，当最大时，四边形有最大值.‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，设，‎ 由于，由可得：‎ ‎，则：，故,‎ 故：，‎ 由可得：.‎ 故： ，‎ 结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.‎ ‎6．【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ 解法一：（1）设，依题意，.‎ 因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为 ‎ 依题意得，即， ‎ 化简得的方程为.‎ ‎（2）设，，，则.‎ 依题意可设直线的方程，‎ 由得.‎ 因为，‎ 所以，‎ 则有，故，‎ 由抛物线的定义知.‎ 设，依题意得，所以.‎ 又因为，所以，‎ 解得，所以.，‎ 因为在抛物线上，所以，即，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故 解法二：（1）设，依题意.‎ 因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为. ‎ 依题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，‎ 所以在以为焦点，为准线的抛物线上. ‎ 所以的方程为..‎ ‎（2）设，，‎ 因为直线过，依题意可设其方程 由得，‎ 因为，所以，‎ 则有.‎ 因为是的中点，所以. ‎ 由抛物线的定义得.，‎ 设圆与相切于，‎ 因为与抛物线相交于，所以，且，‎ 所以，即，解得，‎ 设，则，且，所以，‎ 因为，所以为的中点，所以，‎ 又因为为的中点，，所以.‎ 解法三：（1）同解法一.‎ ‎（2）设，，连结，.‎ 因为直线过，依题意可设其方程 由得.，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 因为，，又因为，‎ 所以，解得，所以，‎ 所以，故.‎ 又因为，所以，从而.‎ 所以，‎ 又，所以.‎ ‎7．【陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测】圆的方程为：，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，点在上，且.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线交于、两点，点的坐标为，的面积为，求的最大值，及直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2），直线的方程为或.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设，则，设，，，因为，所以，把代入圆的方程得，所以的轨迹的方程为.‎ ‎（2）由题意易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，‎ 联立，，，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以面积有最大值为.‎ 所以的面积为最大时，直线的方程为或.‎ ‎8．【陕西省延安市2019届高考模拟试题（一)】已知两直线方程与，点在上运动，点在上运动，且线段的长为定值.‎ ‎（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求原点的直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）∵点在上运动，点在上运动，‎ ‎∴设，，线段的中点，则有，‎ ‎∴，‎ ‎∵线段的长为定值，∴+=8，‎ 即+=8，化简得.‎ ‎∴线段的中点的轨迹方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，，联立得 ，‎ ‎ ，化简得①.‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 若，则，即，‎ 所以 ，‎ 即 ，化简得②，‎ 由①②得，，‎ 因为到直线的距离，所以 ‎ 又因为，所以，‎ 所以到直线的距离的取值范围是.‎ ‎9．【广东省广州市2019届高三第二次模拟考试】从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足 ‎(1)求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设直线与轨迹c交于两点，T为C上异于的任意一点，直线，分别与直线交于两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）设，，则点的坐标为．‎ 因为，‎ 所以， ‎ 即 ， ‎ 因为点在抛物线上，‎ 所以，即． ‎ 所以点的轨迹的方程为． ‎ ‎（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为 ，，‎ 由得．‎ 由韦达定理得 =， =． ‎ 设点，则． ‎ 所以直线的方程为．‎ 令，得点的坐标为． ‎ 同理可得点的坐标为． ‎ 如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足． ‎ 因为 ．‎ 所以． ‎ 即，解得或．‎ 故以为直径的圆过轴上的定点和． ‎ 解法2：直线与曲线的交点坐标为，，‎ 若取，则，与直线的交点坐标为，，‎ 所以以为直径的圆的方程为．‎ 该圆与轴的交点坐标为和．‎ 所以符合题意的定点只能是或． ‎ 设直线与曲线的交点坐标为 ，，‎ 由得．‎ 由韦达定理得 ‎ 设点，则． ‎ 所以直线的方程为．‎ 令，得点的坐标为． ‎ 同理可得点的坐标为． ‎ 若点满足要求，则满足．‎ 因为 ‎ ． ‎ 所以点满足题意．‎ 同理可证点也满足题意．‎ 故以为直径的圆过轴上的定点和．‎ ‎10．【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知椭圆：的短轴端点为，‎ ‎，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）法一：设，， ‎ 直线 ‎ 直线 ‎ 得 又，‎ ‎，‎ 整理得点的轨迹方程为 法二：设，， ‎ 直线 ‎ 直线 ‎ 由,解得：，又，‎ 故，代入得.‎ 点的轨迹方程为 法三：设直线，则直线 ‎ 直线与椭圆的交点的坐标为.‎ 则直线的斜率为.‎ 直线 ‎ 由 解得:点的轨迹方程为：‎ ‎（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：‎ 四边形的面积，‎ ‎，当时，的最大值为.‎ 法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积 ‎ ‎ 当且仅当时，取得最大值.‎