【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第九章平面解析几何9-8曲线与方程的定义学案
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
【知识拓展】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √ )
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( × )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( × )
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．( × )
1．(教材改编)已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是________．
答案 抛物线
解析 由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
2．(2016·苏州模拟)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是________________．
答案 一条直线和一条射线
解析 原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．
3．(2016·南通模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________________．
答案 (x－2)2＋y2＝4(y≠0)
解析 由角的平分线性质定理得PA＝2PB，
设P(x，y)，则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________．
答案 ＋＝1
解析 设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x,2y)在椭圆上，∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0)．
5．(2016·镇江模拟)若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，且满足·＝t，则实数t的取值范围是____________．
答案 [－7,1]
解析 设P(x，y)，F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－8.
∵P在椭圆＋y2＝1上，∴y2＝1－，
∴t＝·＝x2＋y2－8
＝x2－7，∵0≤x2≤9，
∴－7≤t≤1，故实数t的取值范围为[－7,1].
题型一 定义法求轨迹方程
例1 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得PF2＝F1F2，即＝2c，
整理得22＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c，
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，
则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
题型三 相关点法求轨迹方程
例3 (2016·盐城模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解 (1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，
所以点A的坐标为(－1，)，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
所以y0＝－×(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2.
由N为线段AB的中点，知
x＝，③
y＝.④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
思维升华 “相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解 设△ABC的重心为G(x，y)，
点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，
即(y－)2＝(x－4a)．
又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．
分类讨论思想在曲线方程中的应用
典例 (16分)已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论．
(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程．
(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题．
规范解答
解 (1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，
所以(－2)2＝4p，解得p＝2.[2分]
所以抛物线的方程为y2＝4x，
其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，
可得b2＝4－1＝3，[4分]
故椭圆的方程为＋＝1.[5分]
(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，
设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，
所以＋＝1，
解得y＝3－x2.[7分]
由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2，
得(λ2－)x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]．[10分]
当λ2＝，即λ＝时，得y2＝12，
点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]，
此轨迹是两条平行于x轴的线段；[12分]
当λ2<，即0<λ<时，
得到＋＝1，
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；[14分]
当λ2>，即λ>时，得到＋＝1.
此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分．[16分]
1．(2016·无锡质检)设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件PM1＋PM2＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是__________．
答案 椭圆或线段
解析 ∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.
当PM1＋PM2＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆．
2．(2016·南京模拟)已知点M与双曲线－＝1的左，右焦点F1，F2的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为________________．
答案 x2＋y2＋26x＋25＝0
解析 F1(－5,0)，F2(5,0)，设M(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋26x＋25＝0.
3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是____________．
答案 2x－y＋5＝0
解析 由题意知，M为PQ中点，
设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
4．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________．
答案 3
解析 ∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，
∴e＝2或e＝.
mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，
当它表示焦点在x轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝3；
当它表示焦点在y轴上的椭圆时，
有＝，∴m＝；
当它表示焦点在x轴上的双曲线时，
可化为－＝1，
有＝2，∴m＝－12.
∴满足条件的圆锥曲线有3个．
5．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为____________．
答案 y＝2x
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是________．
答案 直线
解析 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
7．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
答案 ②③
解析 因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以PF1·PF2＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为＝PF1·PF2·sin∠F1PF2≤PF1·PF2＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．
8．(2017·南通月考)已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为______ __________．
答案 ＋＝1(x≠±5)
解析 由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则AC＋BC＝10>8＝AB，∴满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，
则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为
＋＝1(x≠±5)．
9.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
答案 ＋＝1
解析 由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
10．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________．
答案 ＋＝1(y≠0)
解析 设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则AA1＋BB1＝2OO1＝4，
由抛物线定义得AA1＋BB1＝FA＋FB，
∴FA＋FB＝4>2＝AB，故F点的轨迹是以A，B为焦点，
长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
∴轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
11．过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y＝x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程．
解 由e＝＝，得＝，
从而a2＝2b2，c＝b.
设椭圆C的方程为x2＋2y2＝2b2，
A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∵A、B在椭圆C上，∴x＋2y＝2b2，x＋2y＝2b2，
两式相减得(x－x)＋2(y－y)＝0，
即＝－.
设AB中点坐标为(x0，y0)，则kAB＝－，
又(x0，y0)在直线y＝x上，故y0＝x0，
于是－＝－1，即kAB＝－1，
故直线l的方程为y＝－x＋1.
右焦点(b,0)关于直线l的对称点设为(x′，y′)，
则 解得
由点(1,1－b)在椭圆上，得1＋2(1－b)2＝2b2，
∴b＝，∴b2＝，a2＝.
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
12．(2016·连云港模拟)定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且AC＝BC，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．
解 (1)∵F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，
∴圆N内切于圆M.∵NM＋NF＝4>FM，
∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，∴b＝1，
∴轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)①当AB为长轴(或短轴)时，S△ABC＝OC·AB＝2.
②当直线AB的斜率存在且不为0时，
设直线AB的方程为y＝kx，A(xA，yA)，
联立方程得x＝，y＝，
∴OA2＝x＋y＝.
将上式中的k替换为－，可得OC2＝.
∴S△ABC＝2S△AOC＝OA·OC
＝ ·＝.
∵≤
＝，
∴S△ABC≥，
当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是.
∵2>，∴△ABC面积的最小值是，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
*13. (2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.
(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(2)设直线l与(1)中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2(其中k>0)，△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2，若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．
解 (1)连结QF，根据题意，
QP＝QF，
则QE＋QF＝QE＋QP
＝4>EF＝2，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．
设其方程为＋＝1(a>b>0)，
可知a＝2，c＝，∴b＝1，
∴点Q的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程整理得，
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝16(1＋4k2－m2)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵k1，k，k2构成等比数列，
∴k2＝k1k2＝，
整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，
∴＋m2＝0，解得k2＝.
∵k>0，∴k＝.
此时Δ＝16(2－m2)>0，
解得m∈(－，)．
又由A，O，B三点不共线得m≠0，
从而m∈(－，0)∪(0，)．
故S＝·AB·d＝|x1－x2|·
＝·|m|
＝|m|.
又＋y＝＋y＝1，
则S1＋S2＝(x＋y＋x＋y)
＝(x＋x＋2)
＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝为定值．
∴＝×≥，
当且仅当m＝±1时等号成立．
综上，∈[，＋∞)．
