2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-6　曲线与方程（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-6　曲线与方程（讲解部分）

9.6 　曲线与方程 高考理数 考点    曲线与方程 考点清单 考向基础 1.“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的 点与一个二元方程 f ( x , y )=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做 曲线 的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 . 事实上,曲线可以看作一个点集 C ,以二元方程的解作为坐标的点也组成一 个点集 F .上述定义中,   ⇔ C = F . 2.求动点的轨迹方程的步骤 (1) 建系 ——建立适当的坐标系; (2) 设点 ——设轨迹上的任一点 P ( x , y ); (3) 列式 ——列出动点 P 的坐标所满足的关系式; (4) 化简 ——注意化简前后的等价性; (5) 证明 ——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程. 【知识拓展】 (1)求轨迹方程时,要注意检验曲线上的点与方程的解是不是一一对应的关 系,若不是,则应对方程加上一定的限制条件,检验可以从以下两个方面进 行:一是方程的化简是不是同解变形;二是是否符合题目的实际意义. (2)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然 后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. (3)在求轨迹问题时常用的数学思想 (i)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程是将几何条件(性质)表示为动 点坐标 x 、 y 的方程及函数关系; (ii)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机 结合; (iii)等价转化思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时 又需要相互转化. 考向突破 考向    曲线与方程 例     (2019柳铁一中2月月考,15)如图所示,动点 M 与两定点 A (-1,0)、 B (2,0) 构成△ MBA ,且∠ MBA =2∠ MAB ,设动点 M 的轨迹为 C ,则轨迹 C 的方程为      　　　　　　     .   解析 　(直译法求轨迹方程)设 M 的坐标为( x , y ),显然有 x >0,且 y ≠ 0. 当∠ MBA =90 ° 时,点 M 的坐标为(2, ± 3). 当∠ MBA ≠ 90 ° 时, x ≠ 2,由∠ MBA =2∠ MAB ,得tan∠ MBA =   ,即 -   =   ,化简可得3 x 2 - y 2 -3=0,即 x 2 -   =1. 经检验,点(2, ± 3)在曲线 x 2 -   =1上. 综上可知,轨迹 C 的方程为 x 2 -   =1( x >1). 答案      x 2 -   =1( x >1) 方法      求轨迹方程的方法 1. 直接法 :如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这 些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含 x 、 y 的等式,就得到轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也 不需要特殊的技巧,所以称为直接法. 2. 待定系数法 :若曲线的形状和方程的形式确定,则只需解方程(组)即可,称 为待定系数法. 3. 定义法 :根据解析几何中一些常用定义(例如:圆、椭圆、双曲线、抛物 线的定义),从定义出发直接写出轨迹方程,或从定义出发建立关系式,从而 求出轨迹方程. 方法技巧 定义法求轨迹方程的一般步骤: (1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求方程中的基本量; (3)求轨迹方程. 4. 代入法(相关点法) :有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点 是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.如果相关点的坐标所满 足的条件是明显的或是可分析的,那么我们可以用动点坐标表示相关点坐 标,根据相关点的坐标所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹 方程的方法叫做代入法,又叫相关点法或坐标代换法. 相关点法求轨迹方程的一般步骤: (1)分析题目:与动点 M ( x , y )相关的点 P ( x 0 , y 0 )在已知曲线上运动; (2)寻求关系式 x 0 = f ( x , y ), y 0 = g ( x , y ); (3)将 x 0 , y 0 代入已知曲线方程; (4)整理关于 x , y 的关系式得 M 的轨迹方程. 5. 参数法 :有时动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较 易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜 率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标( x , y )中的 x 、 y 分别随另一变 量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方 法叫参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可.在选择参 数时,选用的参变量可以具有某种物理或几何性质,如时间、速度、距离、 角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横、纵坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响. 6. 交轨法: 求两条动曲线(含直线)的交点的轨迹方程时,可引入参数 t ,用 t 分 别表示两条动曲线的方程,联立它们消去 t 便得交点的轨迹方程,此方法称 为交轨法. 例     (2017课标Ⅱ,20,12分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C :   + y 2 =1上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N ,点 P 满足   =     . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x =-3上,且   ·   =1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的 左焦点 F . 解题导引   解析 　(1)设 P ( x , y ), M ( x 0 , y 0 ), 则 N ( x 0 ,0),   =( x - x 0 , y ),   =(0, y 0 ). 由   =     得 x 0 = x , y 0 =   y . 因为 M ( x 0 , y 0 )在 C 上,所以   +   =1. 因此点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2 =2. (2)证明:由题意知 F (-1,0).设 Q (-3, t ), P ( m , n ),则   =(-3, t ),   =(-1- m ,- n ),   ·   =3+3 m - tn ,   =( m , n ),   =(-3- m , t - n ). 由   ·   =1得-3 m - m 2 + tn - n 2 =1, 又由(1)知 m 2 + n 2 =2,故3+3 m - tn =0. 所以   ·   =0,即   ⊥   . 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左 焦点 F .