高中数学人教a版选修1-2学业分层测评1回归分析的基本思想及其初步应用word版含解析

高中数学人教a版选修1-2学业分层测评1回归分析的基本思想及其初步应用word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A．预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上 B．解释变量在 x 轴上，预报变量在 y 轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 【解析】 结合线性回归模型 y＝bx＋a＋e 可知，解释变量在 x 轴上，预报 变量在 y 轴上，故选 B. 【答案】 B 2．(2016·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数 R2 的值越大，说明残差平 方和( ) A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均错 【解析】 ∵R2＝1－错误!，∴当 R2 越大时， 错误!(yi－y^i)2 越小，即残差平方和越小，故选 B. 【答案】 B 3．(2016·西安高二检测)已知 x 和 y 之间的一组数据 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程y^＝b ^ x＋a^必过点( ) A．(2,2) B. 3 2 ，0 C．(1,2) D. 3 2 ，4 【解析】 ∵ x ＝1 4(0＋1＋2＋3)＝3 2 ， y ＝1 4(1＋3＋5＋7)＝4， ∴回归方程y^＝b ^ x＋a^必过点 3 2 ，4 . 【答案】 D 4．已知人的年龄 x 与人体脂肪含量的百分数 y 的回归方程为y^＝0.577x－ 0.448，如果某人 36 岁，那么这个人的脂肪含量( ) 【导学号：19220003】 A．一定是 20.3% B．在 20.3%附近的可能性比较大 C．无任何参考数据 D．以上解释都无道理 【解析】 将 x＝36 代入回归方程得y^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析 的意义知，这个人的脂肪含量在 20.3%附近的可能性较大，故选 B. 【答案】 B 5．某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x(万元) 4 2 3 5 销售额 y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y^＝b ^ x＋a^中的b ^为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万 元时销售额为( ) A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 【解析】 样本点的中心是(3.5,42)，则a^＝ y －b ^ x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y^＝9.4x＋9.1，把 x＝6 代入得y^＝65.5. 【答案】 B 二、填空题 6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线 y＝1 2x＋1 上，则这组样本数据的样本相关系数为________． 【解析】 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相 关系数为 1. 【答案】 1 7．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直 线方程是________． 【解析】 由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)， 可得y^－5＝1.23(x－4)，即y^＝1.23x＋0.08. 【答案】 y^＝1.23x＋0.08 7．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到 5 组数据如下表： x 10 20 30 40 50 y 62 ■ 75 81 89 由最小二乘法求得回归方程为y^＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊 不清，请推断该点数据的值为________． 【解析】 由题意可得 x ＝1 5(10＋20＋30＋40＋50)＝30， 设要求的数据为 t，则有 y ＝1 5(62＋t＋75＋81＋89)＝307＋t 5 ，因为回归直线 y^＝0.67x＋54.9 过样本点的中心( x ， y )，所以307＋t 5 ＝0.67×30＋54.9， 解得 t＝68. 【答案】 68 8．调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万 元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增 加 1 万元，年饮食支出平均增加________万元． 【解析】 以 x＋1 代 x，得y^＝0.254(x＋1)＋0.321，与y^＝0.254x＋0.321 相 减可得，年饮食支出平均增加 0.254 万元． 【答案】 0.254 三、解答题 9．(2016·包头高二检测)关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万 元)，有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 如由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程：错误! (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 【解】 (1) x ＝2＋3＋4＋5＋6 5 ＝4， y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0 5 ＝5， 错误!2i ＝90，错误!iyi＝112.3， b ^＝错误!＝112.3－5×4×5 90－5×42 ＝1.23. 于是a^＝ y －b ^ x＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08. (2)当 x＝10 时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元． 10．关于 x 与 y 有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 为了对 x，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型y^＝6.5x ＋17.5，乙模型y^＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好． 【解】 R2甲＝1－错误!＝1－ 155 1 000 ＝0.845， R2乙＝1－错误!＝1－ 180 1 000 ＝0.82， 因为 84.5%>82%，所以甲模型拟合效果更好． [能力提升] 1．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表： 考试次数 x 1 2 3 4 所减分数 y 4.5 4 3 2.5 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回 归方程为( ) A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25 C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25 【解析】 由题意可知，所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间为负相关，所以 排除 A.考试次数的平均数为 x ＝1 4 ×(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为 y ＝1 4 ×(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5.即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线 y＝－ 0.7x＋5.25 成立，选 D. 【答案】 D 2．已知 x 与 y 之间的几组数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y^＝b ^ x＋a^.若某同学根据上表中 的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是 ( ) A.b ^ >b′，a^>a′ B.b ^ >b′，a^a′ D.b ^ a′. 【答案】 C 3．(2016·江西吉安高二检测)已知 x，y 的取值如下表所示，由散点图分析可 知 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据 m 的 值为________. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m 【解析】 x ＝0＋1＋3＋4 4 ＝2， y ＝2.2＋4.3＋4.8＋m 4 ＝11.3＋m 4 ，把( x－， y－)代入回归方程得11.3＋m 4 ＝0.95×2＋2.6，解得 m＝6.7. 【答案】 6.7 4．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关 系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验 室每天每 100 棵种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x(℃) 10 11 13 12 8 发芽 y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方 程，剩下的 2 组数据用于回归方程检验． (1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程y^＝b ^ x＋a^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否 可靠？ (3)请预测温差为 14 ℃的发芽数． 【解】 (1)由数据求得， x ＝12， y ＝27， 错误!2i ＝434，错误!iyi＝977. 由公式求得，b ^＝5 2 ，a^＝ y －b ^ x ＝－3. 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y^＝5 2x－3. (2)当 x＝10 时，y^＝5 2 ×10－3＝22，|22－23|<2； 当 x＝8 时，y^＝5 2 ×8－3＝17，|17－16|<2. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． (3)当 x＝14 时，有y^＝5 2 ×14－3＝35－3＝32， 所以当温差为 14 ℃时的发芽数约为 32 颗.