高中数学选修2-2课时练习第一章 2_2

高中数学选修2-2课时练习第一章 2_2

‎2．2　分析法 ‎[学习目标]‎ ‎1．理解分析法的意义，掌握分析法的特点．‎ ‎2．会用分析法解决问题．‎ ‎3．会综合运用分析法、综合法解决数学问题．‎ ‎[知识链接]‎ 用分析法证明不等式时，是否要找使结论成立的充要条件？分析法证题过程如何写？‎ 答　(1)证明不等式时往往误用分析法，把“逆求”作“逆推”，分析法过程没有必要“步步可逆”，仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件．‎ ‎(2)分析法的过程要正确使用一些联结关联词，如“要证明”“只需证明”“即证”等．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．分析法的定义 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．‎ ‎2．分析法证明的思维过程 用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：‎ ―→―→―→…―→ ‎3．综合法和分析法的综合应用 在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　用分析法证明不等式 例1　已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.‎ 证明　要证＋≥＋.‎ 只需证a＋b≥(＋)．‎ 即证(a＋b－)(＋)≥(＋)．‎ 即证a＋b－≥.‎ 也就是要证a＋b≥2.‎ 因为a，b为正实数，所以a＋b≥2成立．‎ 所以＋≥＋.‎ 规律方法　(1)对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(等式)的命题不便于用综合法证明时，常常考虑用分析法证明．‎ ‎(2)分析法证明命题成立必须保证步步有理有据，转化合理，得到的结果必须是显然的，如已知条件、定理、定义、公理等．‎ ‎(3)本题中立方和公式a＋b＝(a＋b－)(＋)的应用比较关键，解题时应注意合理的应用．‎ 跟踪演练1　已知a、b是正实数，求证：≥.‎ 证明　要证≥，‎ 由于a，b是正实数，＋＞0，‎ 只需证：(a＋b)≥4，‎ 即证：1＋＋1＋≥4，‎ 也就是证＋≥2，‎ 因为a，b为正实数，所以＋≥2成立．‎ 所以≥.‎ 要点二　用分析法证立体几何问题 例2　如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AF⊥SC.‎ 证明　要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，‎ 只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)．‎ 只需证AE⊥平面SBC，‎ 只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，‎ 只需证BC⊥平面SAB，‎ 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)，‎ 由SA⊥平面ABC可知，上式成立．∴AF⊥SC.‎ 规律方法　立体几何问题证明中，由于垂直、平行关系较多，不容易确定如何在证明过程中使用条件，因此利用综合法证明比较困难．这时，可用分析法．‎ 跟踪演练2　如图，AB为圆O的直径，圆O在平面α内，SA⊥平面α，∠SBA＝30°，动点P在圆O上移动(与A、B两点不重合)，以点N，M表示点A在SP，SB上的射影．用分析法证明AN⊥平面SPB.‎ 证明　要证明AN⊥平面SPB，‎ 只需证明AN垂直于平面SBP内的两条相交直线．‎ 由已知条件AN⊥SP，所以只需证明AN⊥BP或AN⊥SB.因为SA⊥平面α，所以SA⊥BP.又因为AB为圆O的直径，P为圆O上异于A，B的点，所以AP⊥BP.‎ 又因为SA∩AP＝A，所以BP⊥平面SAP.‎ 因为AN在平面SAP内，‎ 所以AN⊥BP.‎ 于是问题得证．‎ 要点三　综合法和分析法的综合应用 例3　已知a、b、c是不全相等的正数，且0abc.‎ 由公式≥>0，≥>0，‎ ≥>0.‎ 又∵a，b，c是不全相等的正数，‎ ‎∴··>＝abc.‎ 即··>abc成立．‎ ‎∴logx＋logx＋logxb>0时，才有a2>b2，‎ ‎∴只需证：＋<＋，‎ 只需证：(＋)2<(＋)2.‎ ‎1．分析法的特点 ‎(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件．‎ ‎(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．‎ ‎2．分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为：‎ ‎“要证……，‎ 只需证……，‎ 只需证……，‎ ‎…‎ 由于…显然成立(已知，已证…)，‎ 所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．‎ ‎3．综合法与分析法的比较 ‎(1)综合法是由因导果，步骤严谨、逐层递进、步步为营，书写表达过程条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹．缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所要证明的结论．‎ ‎(2)分析法是执果索因，方向明确、利于思考、思路自然，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、易表述出错．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．在△ABC中，tan A·tan B＞1，则△ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　A 解析　tan A·tan B＞1，∴tan A＞0，tan B＞0，‎ ‎∴A、B为锐角，又tan (A＋B)＝＜0，‎ ‎∴A＋B＞，∴C＜，∴△ABC是锐角三角形，故选A.‎ ‎2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若关于x的不等式f(x－1)≥0的解集为[0,1]，则关于x的不等式f(x＋1)≤0的解集为(　　)‎ A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)‎ C．[－2，－1] D．(－∞，－2]∪[－1，＋∞)‎ 答案　D 解析　将函数y＝f(x－1)的图像向左平移2个单位得到函数y＝f(x＋1)的图像，不等式f(x－1)≥0的解集为[0,1]，所以y＝f(x－1)的图像是开口向下的拋物线，与x轴的交点为(0,0)，(1,0)．不等式f(x＋1)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，＋∞)，故选D.‎ ‎3．已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－a2＋‎4a－2(a＞2)，则(　　)‎ A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q 答案　A 解析　p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，q＝2－(a－2)2＋2，‎ ‎∵a＞2，∴－(a－2)2＋2＜2，∴q＜22＝4，∴p＞q.‎ ‎4．设0＜x＜1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　　)‎ A．a B．b C．c D．不能确定 答案　C 解析　易得1＋x＞2＞.‎ ‎∵(1＋x)(1－x)＝1－x2＜1，又0＜x＜1，即1－x＞0，‎ ‎∴1＋x＜.‎ ‎5．等式“＝”的证明过程“等式两边同时乘以得，左边＝·＝＝＝1，右边＝1，左边＝右边，故原等式成立”应用了________的证明方法．(填“综合法”或“分析法”)‎ 答案　综合法 ‎6．在同一平面内，已知＋＋＝0，且||＝|＝||，则△P1P2P3的形状是________．‎ 答案　等边三角形 解析　因为||＝||＝||，三个向量在同一平面内，且＋＋＝0，所以三个向量间两两所成角相等，如图所示，顺次连结P1，P2，P3，得P1P2＝P1P3＝P2P3，所以三角形P1P2P3为等边三角形．‎ ‎7．设a≥b>0，求证：‎3a3＋2b3≥‎3a2b＋2ab2.‎ 证明　法一　‎3a3＋2b3－(‎3a2b＋2ab2)＝‎3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(‎3a2－2b2)(a－b)．‎ 因为a≥b>0，所以a－b≥0,‎3a2－2b2>0，从而(‎3a2－2b2)(a－b)≥0，‎ 所以‎3a3＋2b3≥‎3a2b＋2ab2.‎ 法二　要证‎3a3＋2b3≥‎3a2b＋2ab2，只需证‎3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，‎ 只需证(‎3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,‎3a2－2b2>‎2a2－2b2≥0，‎ ‎∴上式成立．‎ 二、能力提升 ‎8．如果正数a、b、c、d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)‎ A．ab≤c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a、b、c、d的取值不唯一 答案　A 解析　ab≤2＝4,4＝cd≤2，∴2≤，‎ ‎∴c＋d≥4‎ 故ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时等号成立．‎ ‎9．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．‎ 答案　3‎ 解析　由x－2y＋3z＝0得y＝，则＝≥＝3，当且仅当x＝3z时等号成立．‎ ‎10．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．‎ 答案　m≤－5‎ 解析　因为x∈(1,2)，所以x2＋mx＋4＜0⇔m＜－x－.因为y＝－在(1,2)上单调递增，所以－∈(－5，－4)，所以m≤－5.‎ ‎11．若a，b∈(0，＋∞)，且‎2c＞a＋b，求证：c－＜a＜c＋.‎ 证明　要证c－＜a＜c＋ ‎⇐－＜a－c＜ ‎⇐|a－c|＜ ‎⇐(a－c)2＜c2－ab ‎⇐a2－‎2ac＋ab＜0‎ ‎⇐a(a＋b－‎2c)＜0.‎ 而a＞0，即需证a＋b－‎2c＜0‎ ‎⇐a＋b＜‎2c，已知．‎ ‎∴c－＜a＜c＋.‎ ‎12．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．‎ 证明　要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，‎ 只需证＝3，只需证＝3，‎ 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－，‎ ‎∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，‎ 即2tan α＝－1.∴tan α＝－显然成立，‎ ‎∴结论得证．‎ 三、探究与创新 ‎13．函数f(x)＝ax2＋2(b＋1)x，g(x)＝2x－c，其中a＞b＞c，且a＋b＋c＝0.‎ ‎(1)求证：＜＜；‎ ‎(2)求证：f(x)，g(x)的图像总有两个不同的交点；‎ ‎(3)设f(x)，g(x)的图像有两个交点A、B，求证：＜|AB|＜2.‎ 证明　(1)因a－c＞0，欲证＜＜，只需证a－c＜‎3a＜‎2a－‎2c.‎ 由a＞b＞c，a＋b＋c＝0，得 进而可推出a－c＜‎3a＜‎2a－‎2c成立．‎ 所以原不等式得证．‎ ‎(2)由消去y，得 ax2＋2bx＋c＝0①‎ 由a＋b＋c＝0得Δ＝4b2－‎4ac＝4(a＋c)2－‎4ac＝42＋‎3c2＞0.‎ 故f(x)，g(x)的图像总有两个不同的交点．‎ ‎(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)对于①式，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 又y1＝2x1－c，y2＝2x2－c，a＋b＋c＝0.‎ ‎∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2‎ ‎ ＝(x1－x2)2＋[(2x1－c)－(2x2－c)]2‎ ‎ ＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]‎ ‎ ＝(1＋22)× ‎ ＝20.‎ ‎∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴1＞＞.‎ ‎∴＝－1－＜－1－，即＜－，‎ 又＝－1－＞－1－1＝－2，‎ ‎∴－2＜＜－.‎ ‎∴15＜|AB|2＜60.‎ 故＜|AB|＜2.‎