高中数学 3_1_3课时同步练习 新人教A版选修2-1

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高中数学 3_1_3课时同步练习 新人教A版选修2-1

第3章 ‎‎3.1.3‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中的真命题是(  )‎ A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0‎ C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a·b=a·c,则b=c 解析: 对于A,可举反例:当a⊥b时,a·b=0;对于C,a2=b2只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b;对于D,a·b=a·c可以移项整理推得a⊥(b-c).故选B.‎ 答案: B ‎2.正方体ABCD-A′B′C′D′中,向量与的夹角是(  )‎ A.30°           B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析: BC′∥AD′,△AD′B′为正三角形,‎ ‎∴∠D′AB′=60°,∴〈,〉=60°.‎ 答案: C ‎3.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足A·A=0,A·A=0,A·A=0,则△BCD是(  )‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 解析: 如右图所示,‎ 设A=a,A=b,A=c,‎ ‎∵C·C=(a-b)·(c-b)‎ ‎=a·c-b·c-a·b+b2‎ ‎=b2>0.‎ 同理B·B>0,D·D>0.故选B.‎ 答案: B ‎4.如图,平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为(  )‎ A. B. C. D. 解析: ∵=A+A+,‎ ‎∴||= ‎= ‎∵AB=1,AD=2,AA1=3,‎ ‎∠BAD=90°,‎ ‎∠BAA1=∠DAA1=60°,‎ ‎∴〈A,A〉=90°,〈A,〉=〈A,〉=60°.‎ ‎∴|A|= ‎=.故选D.‎ 答案: D 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.在空间四边形ABCD中,A·C+B·A+C·B=________.‎ 解析: 设A=b,A=c,A=d,‎ 则C=d-c,B=d-b,=c-b.‎ 原式=0.‎ 答案: 0‎ ‎6.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为135°,m=a+b,n=a+λb,则m⊥n,则λ=________.‎ 解析: m·n=(a+b)·(a+λb)‎ ‎=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2‎ ‎=18+λ×3×4×cos 135°+3×4×cos 135°+λ×16‎ ‎=6-12λ+16λ=6+4λ,‎ ‎∵m⊥n,∴6+4λ=0,‎ ‎∴λ=-.‎ 答案: - 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.如图所示,已知正三棱锥A-BCD的侧棱长和底面边长都是a,点E,F,G是AB,AD,‎ DC上的点,且AE∶EB=AF∶FD=CG∶GD=1∶2,‎ 求下列向量的数量积:‎ ‎(1)A·D;(2)A·B;(3)G·A;‎ ‎(4)E·B.‎ 解析: (1)|A|=a,||=a,〈A,D〉=120°,‎ 所以A·D=|||D|cos 120°=-a2.‎ ‎(2)因为B=A-A,‎ 所以A·B=A·(A-A)=A·A-A·A,‎ 又因为|A|=a,||=a,〈A,A〉=〈A,A〉=60°,‎ 所以A·B=a2-a2=0.‎ ‎(3)因为点F,G是AD,DC上的点,‎ 所以G==-A,‎ 所以G·A=-,‎ 因为=a2,‎ 所以G·A=-a2.‎ ‎(4)因为点E,F分别是AB,AD上的点,所以E=B,‎ 所以E·B=B·B,‎ 结合图形可知〈B,B〉=60°,‎ 所以E·B=B·B=×a×a×cos 60°=a2.‎ ‎8.在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且|MB|=2|AM|,|CN ‎|=|ND|,求|MN|.‎ 解析: ∵M=M+B+C ‎=A+(A-A)+(A-A)‎ ‎=-A+A+A.‎ ‎∴M·M ‎=(-A+A+)·(-A+A+A)‎ ‎=-A·A-A·A+A·A+2+ ‎=a2-a2-a2+a2+a2+a2=a2.‎ 故|M|==a.‎ 即|MN|=a.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)已知正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a.‎ ‎(1)用向量法求A1B和B‎1C的夹角;‎ ‎(2)用向量法证明A1B⊥AC1;‎ ‎(3)用向量法求AC1的长度.‎ 解析: (1)因为正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a,‎ 所以||=||=a.‎ 因为=A-,‎ ==A-,‎ 所以·=(A-)·(A-)=a2,‎ 所以cos〈,〉==,‎ 即A1B和B‎1C的夹角为60°;‎ ‎(2)证明:因为=A++A,‎ =A-,‎ 所以·=0,A1B⊥AC1;‎ ‎(3)由(2)知,=A++A,‎ 所以2=(A++A)2=‎3a2,‎ 所以||=AC1=a.‎
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