北京中考数学一模试卷图形与证明题汇编

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北京中考数学一模试卷图形与证明题汇编

O D C BA (昌平区一模) 7.如图,已知,AB 是⊙ 的直径,点 C,D 在⊙ 上, ∠ABC=50°,则∠D 为 A.50° B.45° C.40° D. 30° 答案:C 8.已知:如图 ,在等边三角形 ABC 中,M、N 分别是 AB、AC 的 中点,D 是 MN 上任意一点,CD、BD 的延长线分别与 AB、AC 交 于 F、E,若 ,则等边三角形 ABC 的边长为 A. B. C. D.1 答案: C 11.如图,已知菱形 ABCD 的边长为 5,对角线 AC,BD 相交于点 O,BD=6,则菱形 ABCD 的面积为 . 答案: 24 16.如图,已知线段 与 相交于点 ,联结 , 为 的中点, 为 的中点,联结 .若∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:AB=DC. 答案:证明:∵ ∴OB=2OE,OC=2OF. ∵ ∴OE=OF. ∴O B=OC. ∵ ∴△AOB≌△DOC. ∴AB=DC. 19.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,BD⊥AD,BC=CD,∠A=60°,BC=2cm. (1)求∠CBD 的度数; (2)求下底 AB 的长. 答案:解:∵ , ∴ . ∵ , ∴ ∵ ∥CD, ∴ ∵BC=CD, ∴ ∴ . ∴ . O O 1 1 6CE BF + = 8 1 1 4 2 1 AC BD O AB DC、 E OB F OC EF E F OB OC、 分别是 、 的中点, ,OEF OFE∠ = ∠ , ,AOB DOC A D∠ = ∠ ∠ = ∠ O D C A B E F ADBD ⊥ °=∠ 90ADB °=∠ 60A °=∠ 30ABD AB °=∠=∠ 30CBDABD °=∠=∠ 30CBDCDB °=∠ 60ABC ABCA ∠=∠ NM CB A E D F O F A B C D E D C BA ∴梯形 ABCD 是等腰梯形. ∴AD=BC=2. 在中, , , ∴AB=2AD=4. 20.如图所示,AB 是⊙O 的直径,OD⊥弦 BC 于点 F,且交⊙O 于点 E,若∠AEC=∠ODB. (1)判断直线 BD 和⊙O 的位 置关系,并给出证明; (2)当 AB=10,BC=8 时,求 BD 的长. 答案:1)答 :BD 和⊙O 相切. 证明:∵OD⊥BC, ∴∠OFB=∠BFD =90°, ∴∠D+∠3=90°. ∵∠4=∠D=∠2,     ∴∠2+∠3=90°, ∴∠OBD=90°, 即 OB⊥BD. ∵点 B 在⊙O 上, ∴BD 和⊙O 相切. (2) ∵OD⊥BC,BC=8, ∴BF=FC=4. ∵ AB=10, ∴OB=OA=5. 在 Rt△OFB 中, ∠OFB = 90°, ∵OB=5,BF=4, ∴OF=3. ∴tan∠1= . 在 Rt△OBD 中, ∠OBD =90°, ∵tan∠1= , OB=5, ∴ 24 . 已知, 点 P 是∠MON 的平分线上的一动点, 射线 PA 交射线 OM 于点 A,将射线 PA 绕点 P 逆时针旋 转交射线 ON 于点 B,且使∠APB+ ∠MON=180°. (1)利用图 1,求证:PA=PB; (2)如图 2,若点 是 与 的交点,当 时,求 PB 与 PC 的比值; (3)若∠MON=60°,OB=2,射线 AP 交 ON 于点 ,且满足且 , 请借助图 3 补全图形,并求 的长. °=∠ 90ADB °=∠ 30ABD 3 4= OF BF 3 4= OB BD 3 20=BD C AB OP 3POB PCBS S∆ ∆= D PBD ABO∠ = ∠ OP 3 21 4 F O D B C E A C A O P B M N T 图 1 图 2 T N M B P O A 答案:解:(1)在 OB 上截取 OD =OA,连接 PD, ∵OP 平分∠MON, ∴∠MOP=∠NOP. 又∵OA=OD,OP=OP, ∴△AOP≌△DOP.   ∴PA=PD,∠1=∠2. ∵∠APB+∠MON=180°, ∴∠1+∠3=180°. ∵∠2+∠4=180°, ∴∠3=∠4. ∴PD=PB. ∴PA=PB.   (2)∵PA=PB, ∴∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠APB=180°,且∠3+∠4+∠APB=180°, ∴∠1+∠2=∠3+∠4. ∴∠2=∠4. ∵∠5=∠5, ∴△PBC∽△POB.   ∴ . (3)作 BE⊥OP 交 OP 于 E, ∵∠AOB=600,且 OP 平分∠MON, ∴∠1=∠2=30°. ∵∠AOB+∠APB=180°, ∴∠APB=120°. ∵PA=PB, ∴∠5=∠6=30°. ∵∠3+∠4=∠7, ∴∠3+∠4=∠7=(180° 30°)÷2=75°. ∵在 Rt△OBE 中,∠3=600,OB=2 ∴∠4=150,OE= ,BE=1 ∴∠4+∠5=450, ∴在 Rt△BPE 中,EP=BE=1 ∴OP= 3 3PS =∆ ∆= POBS BC PB PC − 3 13 + D 1 2 34 A O P B M N T 5 1 2 4 3 T N M B P O A C 7 6 1 2 4 3 5 E C A O P B M N T 图 3 T N M B P O A C 40° O A B C D (第 11 题图) (朝阳区一模) 11.如图,△ABC 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,∠ACB=40°, 点 D 是弧 BAC 上一点,则∠D 的度数是______. 答案:50° 18.如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=4,将矩形 ABCD 翻折,使得点 B 落在 CD 边上的点 E 处,折痕 AF 交 BC 于点 F,求 FC 的长. 答案: 解:由题意,得 AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. 在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得 DE=3. 在矩形 ABCD 中,DC=AB= 5. ∴CE=DC-DE=2. 设 FC=x,则 EF=4-x. 在 Rt△CEF 中, .解得 . 即 FC= . 21.已知:如图,⊙O 的半径 OC 垂直弦 AB 于点 H,连接 BC,过点 A 作弦 AE∥BC,过点 C 作 CD∥BA 交 EA 延长线于点 D,延长 CO 交 AE 于点 F. (1)求证:CD 为⊙O 的切线; (2)若 BC=5,AB=8,求 OF 的长. 答案:(1)证明:∵OC⊥AB,CD∥BA, ∴∠DCF=∠AHF=90°. ∴CD 为⊙O 的切线. (2)解:∵OC⊥AB,AB=8, ∴AH=BH= =4. 在 Rt△BCH 中,∵BH=4,BC=5, ∴CH=3. ∵AE∥BC,∴∠B=∠HAF. ∴△HAF≌△HBC. ∴FH=CH=3,CF=6. 连接 BO,设 BO=x,则 OC=x,OH=x-3. F E DA B C ( )222 42 xx −=+ 2 3=x 2 3 2 AB E O B H C AD F E O B H C AD F 在 Rt△BHO 中,由 ,解得 ∴ . 23.如图,在直角梯形 ABC D 中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8, ,CA=CD,E、F 分别是线段 AD、AC 上的动点(点 E 与点 A、D 不重合),且∠FEC=∠ACB,设 DE=x, CF=y. (1)求 AC 和 AD 的长; (2)求 y 与 x 的函数关系式; (3)当△EFC 为等腰三角形时,求 x 的值. 答案:解:(1)∵ AD∥BC,∠B=90°, ∴∠ACB=∠CAD. ∴tan∠ACB =tan∠CAD= . ∴ . ∵AB=8, ∴BC=6. 则 AC=10 过点 C 作 CH⊥AD 于点 H, ∴CH=AB=8,则 AH=6. ∵CA=CD, ∴AD=2AH=12. (2)∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D. ∵∠FEC=∠ACB,∠ACB=∠CAD, ∴∠FEC=∠D. ∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D, ∴∠1=∠2. ∴△AEF∽△DCE. ∴ ,即 . ∴ . (3)若△EFC 为等腰三角形. ①当 EC=EF 时,此时△AEF≌△DCE,∴AE=CD. 由 12-x=10,得 x=2. ( ) 222 34 xx =−+ 6 25=x 6 11=−= OCCFOF 3 4tan =∠CAD 3 4 3 4= BC AB AE CD AF DE = x-12 10 y-10 x = 105 6 10 1y 2 +−= xx F CB DA E ②当 FC=FE 时,有∠FCE=∠FEC=∠CAE, ∴CE=AE=12-x. 在 Rt△CHE 中,由 ,解得 ③当 CE=CF 时,有∠CFE=∠CEF=∠CAE, 此时点 F 与点 A 重合,故点 E 与点 D 也重合,不合题意,舍去 综上,当△EFC 为等腰三角形时,x=2 或 . 7.一元钱硬币的直径约为 24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A.12 mm   B.12 mm   C.6mm   D.6 mm 答案:A 答案:(1)证明:∵AD∥BC, ∴∠1 =∠F. ∵点E 是 AB 的中点, ∴BE=AE. 在△BCE 和△AFE 中, ∠1=∠F, ∠3=∠2, BE=AE, ∴△BCE≌△AFE. (2)相等, 平行. (大兴区一模) 3.如图,△ABC 中,D、E 分别为 AC、BC 边上的点,AB∥DE, 若 AD=5,CD =3,DE =4,则 AB 的长为 ( ) ( ) 222 8612 +−=− xx 3 11=x 3 11=x 3 3 3 2 1 F E B C A D A. B. C. D. 答案:A 7.如图 3,四边形 OABC 为菱形,点 A、B 在以点 O 为圆心的弧 DE 上, 若 OA=3,∠1=∠2,则扇形 ODE 的面积为 A.    B. 2    C.    D. 3 答案:D 11.如图,AB 是⊙O 的直径,C、D、E 都是⊙O 上的点, 则∠ACE+∠BDE= . 答案: 90º . 15.已知,在△ABC 中,DE∥AB,FG∥AC,BE=GC. 求证:DE=FB. 答案:证明:∵DE∥AB ∴∠B=∠DEC 又∵FG∥AC ∴∠FGB=∠C ∵BE=GC ∴BE+EG=GC+EG 即 BG=EC 在△FBG 和△DEC 中 ∴△FBG≌△DEC ∴DE=FB 19.已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°,上底 AD = 8,AB=12,CD 边的垂直平分线交 BC 边于点 G,且交 AB 的延长线于点 E,求 AE 的长. 答案: 解:联结 DG ∵EF 是 CD 的垂直平分线 ∴DG=CG ∴∠GDC=∠C, 且∠C =45° ∴∠DGC=90° ∵AD∥BC,∠A=90° ∴∠ABC=90° ∴四边形 ABGD 是矩形 ∴BG=AD=8 ∴∠FGC =∠BGE =∠E= 45° ∴BE=BG=8 ∴AE=AB+BE=12+8=20 20.如图,在边长为 1 的正方形网格内,点 A、B、C、D、E 均在格点 处.请你判断∠x+∠y 的度数,并加以证明. 答案:∠x+∠y=45°. 证明:如图,以 AG 所在直线为对称轴,作 AC 的轴对称图 形 AF,连结 BF, 3 32 3 16 3 10 3 8 3 π2 π 5 π2 π    ∠=∠ = ∠=∠ CFGB ECBG DECB y x G F E D CB A 2 1 E D C B A O E G F E D CB A ∵网格中的小正方形边长为 1,且 A 、B、F 均在格点处, ∴AB=BF= ,AF= . ∴ ∴△ABF 为等腰直角三角形,且∠ ABF=90° ∴∠BAF=∠BFA=45° ∵AF 与 AC 关于直线 AG 轴对称, ∴∠FAG=∠CAG. 又∵AG∥EC, ∴∠x=∠CAG. ∴∠x=∠FAG. ∵DB∥AG, ∴∠y=∠BAG. ∴∠x+∠y=∠FAG+∠BAG =45°. 23.在平面直角坐标系 中,矩形 ABCO 的面 积为 15,边 OA 比 OC 大 2,E 为 BC 的中点, 以 OE 为直径的⊙O′交 x 轴于 D 点,过点 D 作 DF⊥AE 于 F. (1) 求OA,OC的长; (2) 求证:DF 为⊙O′的切线; (3)由已知可得,△AOE 是等腰三角形.那么在直线 BC 上是 否存在除点 E 以外的点 P,使△AOP 也是等腰三角形?如果存 在,请你证明点 P 与⊙O′的位置关系,如果不存在,请说明 理由. 答案: (1)解:在矩形 ABCO 中,设 OC=x,则 OA=x+2, 依题意得,x(x+2)=15. 解得 (不合题意,舍去) ∴ OC=3 ,OA=5 . (2)证明:连结 O′D,在矩形 OABC 中, ∵ OC=AB,∠OCB=∠ABC,E 为 BC 的中点, ∴△OCE≌△ABE . ∴ EO=EA . ∴∠EOA=∠EAO . 又∵O′O= O′D, ∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO. ∴ O′D∥EA . ∵ DF⊥AE, ∴ DF⊥O′D . 又∵点 D 在⊙O′上,O′D 为⊙O′的半径, ∴ DF 为⊙O′的切线. (3)答:存在 . 13 26 222 BFABAF += xOy .5,3 21 −== xx ① 当 OA=AP 时,以点 A 为圆心,以 AO 为半径画弧,交 BC 于点 和 两点, 则△AO 、△AO 均为等腰三角形. 证明:过 点作 H⊥OA 于点 H,则 H=OC=3, ∵ A =OA=5, ∴ AH=4,OH=1. ∴ (1,3). ∵ (1,3)在⊙O′的弦 CE 上,且不与 C、E 重合, ∴ 点 在⊙O′内. 类似可求 (9,3). 显然,点 在点 E 的右侧, ∴点 在⊙O′外. ② 当 OA=OP 时,同①可求得, (4,3), (-4,3). 显然,点 在点 E 的右侧,点 在点 C 的左侧 因此,在直线 BC 上,除了 E 点外,还存在点 , , , ,它们分别使△AOP 为 等腰三角形,且点 在⊙O′内,点 、 、 在⊙O′外. 24.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC,∠A、∠B 均为锐角. (1) 当∠A=∠B 时,则 CD 与 A B 的位置关系是 CD AB,大小关系是 CD AB; (2) 当∠A>∠B 时,(1)中 C D 与 A B 的大小关系是否还成立, 证明你的结论. 答案:解:(1)答:如图 1, CD∥AB ,CD+ D C BA ∴ ∴ DC+ ., BFADABDF ==      256 81)4 3( 4 或 n)( 4 31− 图1 D' D CB A 图2 D CB A A . 30°  B. 40°  C. 60°  D . 70° 答案:A 4.如图,在△ABC 中,D、E 分别是 BC、AC 边的中点. 若 DE=2,则 AB 的长度是 A.6 B.5 C.4 D.3 答案:C 6.已知圆锥的母线长为 4,底面半径为 2,则圆锥的侧面积等于 A.11 B.10 C.9 D.8 答案:D 8. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=4,E、F 分别是 AB、AD 的中点.动点 从点 B 出发, 沿 B→C→D→F 方向运动至点 处停止 .设点 运动的路程为 , 的面积为 , 当 取到最大值时,点 应运动到 A. 的中点处 B. 点处 C. 的中点处 D. 点处 答案:B 16. 如图,在四边形 ABCD 中, AC 是∠DAE 的平分线,DA∥CE, ∠AEB=∠CEB. 求证:AB=CB. 答案:证明:∵AC 是∠DAE 的平分线, ∴∠1=∠2. 又∵AD∥EC, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴AE=CE. 在△ABE 和△CBE 中, AE=CE, ∠AEB=∠CEB, BE=BE, ∴△ABE≌△CBE. ∴AB=CB. Com] π π π π R F R x EFR△ y y R BC C CD D A B CD E 2 3 1 18.如图,在平行四边形 中,过点 A 分别作 AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点 F. (1)求证: ∠BAE=∠DAF; (2)若 AE=4,AF= , ,求 CF 的长. 答案:证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠B=∠D. 又 AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD. ∴∠BAE=∠DAF. (2)在 Rt△ABE 中,sin∠BAE= ,AE=4,可求 AB=5. 又∵∠BAE=∠DAF, ∴ sin∠DAF=sin∠BAE= . 在 Rt△ADF 中,AF= , sin∠DAF = ,可求 DF= ∵ CD=AB=5. ∴CF=5- = . 20. 已知:AB 是⊙O 的弦,OD⊥AB 于 M 交⊙O 于点 D,CB⊥AB 交 AD 的延长线于 C. (1)求证:AD=DC; (2)过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E,若 DE=2,CE=1, 求⊙O 的半径. 答案:(1)证明:在⊙O 中,OD⊥AB,CB⊥AB, ∴AM=MB,OD∥BC. ∴AD=DC. (2)∵DE 为⊙O 切线, ∴OD⊥DE ∴四边形 MBED 为矩形. ∴DE∥AB. ∴MB=DE=2,MD=BE=EC=1. 连接 OB. 在 R t△OBM 中,OB2=OM2+BM2. 解得 OB= . ABCD  24 5 3sin 5BAE∠ = 5 3 5 3 5 24 5 3 5 18 5 18 5 7 2 5 A B C D E F M O A B C D E 22. 如图 1,在△ABC 中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC 于 D,BD=2,DC=3,求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图 1.她分别以 AB、AC 为对称轴, 画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D 点的对称点为 E、F,延长 EB、FC 相交于 G 点,得到 四边形 AEGF 是正方形.设 AD=x,利用勾股定理,建立关于 x 的方程模型,求出 x 的值. (1)请你帮小萍求出 x 的值. (2) 参考小萍的思路,探究并解答新问题: 如图 2,在△ABC 中,∠BAC=30°,AD⊥BC 于 D,AD=4.请你按照小萍的方法画图,得 到四边形 AEGF,求△BGC 的周长.(画图所用字母与图 1 中的字母对应) 图 1 图 2 答案:解: (1)设 AD=x,由题意得,BG=x-2,CG=x-3. 在 Rt△BCG 中,由勾股定理可得 . 解得 . (2)参考小萍的做法得到四边形 AEGF,∠EAF=60°, ∠EGF=120°,∠AEG=∠AFG= 90°,AE=AF=AD=4. 连结 EF,可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4. ∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG. 在△EFG 中,可求, . ∴△EFG 的周长=BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG= 2 2 2( 2) ( 3) 5x x− + − = 6x = 4 33EG = 8 33 G F E D CB A F O E D C BA (20 题图) (房山区一模) 4.如图,AB 为圆 O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为点 E, 联结 OC,若 OC=5,AE=2,则 CD 等于 A.3 B.4 C.6 D.8 答案:D 11.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上, DE//BC,若 AD:AB=3:4, DE=6,则 BC= ________. 答案: 8; 15.(本小题满分 5 分)如图,A、B、C 三点 在同一条直线上,AB=2BC,分别以 AB,BC 为边做正方形 ABEF 和正方形 BCMN, 联结 FN,EC. 求证:FN=EC 答案:证明:在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中 AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90° ∵ AB=2BC ∴ EN=BC ∴△FNE≌△EBC ∴FN=EC 19.(本小题满分 5 分)在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AB=6,过点 C 作射线 CP∥AB, 在射线 CP 上截取 CD=2,联结 AD,求 AD 的长. 答案:解:过点 D 作 DE⊥AB 于 E,过点 C 作 CF⊥AB 于 F,则 DE∥CF ∵CP∥AB, ∴四边形 DEFC 是矩形 ∵在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AB=6,CD=2 ∴AF=CF= AB=3 ∴EF=CD=2,DE=CF=3 ∴AE=1 在△ADE 中,∠AED=90°,DE =3,AE=1 ∴AD= 20.(本小题满分 5 分)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC、AC 于点 D、E, 1 2 10 A B C D E (11 题图) OE D C BA (4 题图) FE P D C BA O F E D C BA 联结 EB 交 OD 于点 F. (1)求证:OD⊥BE; (2)若 DE= ,AB=5,求 AE 的长. 答案:解:(1)联结 AD ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=∠AEB =90° --- 1 分 ∵AB=AC,∴CD=BD ∵OA=OB,∴OD//AC ∴OD⊥BE (2)方法一:∵∠CEB=∠AEB=90°,CD=BD,AB=5, DE= ∴AC=AB=5, BC=2DE=2 , 在△ABE、△BCE 中,∠CEB=∠AEB=90°,则有 设 AE=x, 则 解得:x=3 ∴AE=3 方法二:∵OD⊥BE,∴BD=DE,BF=EF 设 AE=x,∴OF= ,在△OBF、△BDF 中,∠OFB=∠BFD=90° ∴ ∵DE= ,AB=5, ∴ 解得:x=3, ∴AE=3 方法三:∵BE⊥AC AD⊥BC, ∴S△ABC= BC·AD= AC·BE, ∴BC·AD=AC·BE ∵BC=2DE=2 ,AC=AB=5 ∴BE=4 , ∴AE=3 25.(本小题满分 7 分) 已知:等边三角形 ABC 5 5 5 2 2 2 2AB AE BC EC− = − ( ) ( )2 22 25 2 5 5x x− = − − 1 2 x 2 2 2 2BD DF OB OF− = − 5 2 2 2 25 1 5 1( 5) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x x− − = − 2 1 2 1 5 C A B P 图 1 E C P B A B’ C A B P D (1) 如图 1,P 为等边△ABC 外一点,且∠BPC=120°. 试猜想线段 BP、PC、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想; (2)如图 2,P 为等边△ABC 内一点,且∠APD=120°. 求证:PA+PD+PC>BD 答案:猜想:AP=BP+PC (1)证明:延长 BP 至 E,使 PE=PC,联结 CE ∵∠BPC=120° ∴∠CPE=60°,又 PE=PC ∴△CPE 为等边三角形 ∴CP=PE=CE,∠PCE=60° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC,∠BCA=60° ∴∠ACB=∠PCE, ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即:∠ACP=∠BCE ∴△ACP≌△BCE ∴AP=BE ∵BE=BP+PE ∴AP=BP+PC (2)方法一: 在 AD 外侧作等边△AB′D 则点 P 在三角形 ADB′外    ∵∠APD=120°∴由(1)得 PB′=AP+PD 在△PB′C 中,有 PB′+PC>CB′, ∴PA+PD+PC>CB′ ∵△AB′D、△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB,AB′=AD, ∠BAC=∠DA B′=60° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD 即:∠BAD=∠CAB′ ∴△AB′C≌△ADB ∴C B′=BD ∴PA+PD+PC>BD 方法二:延长 DP 到 M 使 PM=PA,联结 AM、BM ∵∠APD=120°, ∴△APM 是等边三角形, ∴AM=AP,∠PAM=60° ∴DM=PD+PA ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC,∠BAC=60° ∴△AMB≌△APC ∴BM=PC M P D CB A C B A P D 图 2 AB C D E F O D C BA O F E D C BA 3 2 1 AB C D E F 在△BDM 中,有 DM + BM>BD, ∴PA+PD+PC>BD (丰台区一模) 11.如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为 5,OC⊥AB 于 点 D, 交⊙O 于点 C,且 CD=l,则弦 AB 的长是 . 答案:6 19.已知:如图,在四边形 ABFC 中, =90°, 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 CF=AE. (1) 求证:四边形 BECF 是菱形; (2) 当 的大小为多少度时,四边形 BECF 是正方形? 答案:解:⑴∵ EF垂直平分BC, ∴CF=BF,BE=CE ,∠BDE=90° 又∵ ∠ACB=90° ∴EF∥AC ∴E为AB中点, 即BE=AE ∵CF=AE ∴CF=BE ∴CF=FB=BE=CE ∴四边形是BECF菱形. ⑵当∠A= 45°时,四边形是BECF是正方形. 20.在Rt 中,∠F=90°,点B、C分别在AD、FD上,以AB为直径的半圆O过点C,联结AC,将△ AFC 沿AC翻折得 ,且点E恰好落在直径AB上. (1)判断:直线FC与半圆O的位置关系是_______________;并证明你的结论. (2)若OB=BD=2,求CE的长. 答案:( 1)直线FC与⊙O的位置关系是_相切_; 证明:联结OC ∵OA=OC,∴∠1=∠2,由翻折得,∠1=∠3,∠F=∠AEC=90° ∴∠3=∠2 ∴OC∥AF,∴∠F=∠OCD=90°,∴FC与⊙O相切 (2)在Rt△OCD中,cos∠COD= ∴∠COD=60° 在R t△OCD中,CE=OC·sin∠COD= 22.认真阅读下列问题,并加以解决: 问题 1:如图 1,△ABC 是直角三角形,∠C =90º.现将△ABC 补成一个矩形.要求:使 △ABC 的两个顶点 成为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上.请将符合条 件的所有矩形在图 1 中画出来; ACB∠ BC A∠ △AFD △AEC OC 1 OD 2 = 3 A BC A B C E D C B A 图 1 图 2 问题 2:如图 2,△ABC 是锐角三角形,且满足 BC>AC>AB,按问题 1 中的要求把它补 成矩形.请问符合 要求的矩形最多可以画出 个,并猜想它们面积之间的数量关系是 (填写“相等”或“不相等”); 问题 3:如果△ABC 是钝角三角形,且三边仍然满足 BC>AC>AB,现将它补成矩形.要 求:△ABC 有两个 顶点成为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面 积之间的数量关系是 (填写“相等”或“不相等”). 答案:解:(1) (2)符合要求的矩形最多可以画出 3 个,它们面积之间的数量关系是 相 等 ;………4’ (3) 不相等 . 15. 已知:如图,∠B =∠D,∠DAB=∠EAC,AB=AD. 求证:BC=DE. 答案:证明:∵∠DAB=∠EAC ∴∠DAB+∠ BAE =∠EAC+∠BAE ∵即∠DAE=∠BAC 在△DAE 和△BAC 中 ∴BC=DE B D AB AD BAC DAE ∠ = ∠  = ∠ = ∠ (燕山区一模) 3.已知一个等腰三角形有两边的长分别为 2 和 5,则它的周长为 A.7 B.9 C.12 D.9 或 12 答案:C 10.已知⊙O1、⊙O2 的半径分别是 2cm、3cm,当它们相切时,圆心距 O1 O2= . 答案: 1cm 或 5cm 11.已知△ABC 中,D、E 分别是两边 AB 和 AC 的中点,若△ABC 的面积是 8cm2,则四边形 BCED 的面积是 cm2. 答案:6 15.已知:如图,点 D 在 AB 的延长线上,AB=DE, ∠A=∠CBE=∠E. 判断△ABC 和△BDE 是否全等? 并证明你的结论. 答案: 全等 证明:∵∠CBE =∠E, ∴ BC∥DE. 又∵点 D 在 AB 的延长线上, ∴∠CBA=∠D. 在△ABC 和△EDB 中, 又∵∠A=∠E, AB=DE, ∴△ABC≌△EDB. 21.如图,等腰△ABC 中,AE 是底边 BC 上的高, 点 O 在 AE 上,⊙O 与 AB 和 BC 分别相切. (1)⊙O 是否为△ABC 的内切圆?请说明理由. (2)若 AB=5, BC=4,求⊙O 的半径. 答案: ⑴ 是 理由是:∵⊙O 与 AB 相切,把切点记作 D. 联结 OD,则 OD⊥AB 于 D. 作 OF⊥AC 于 F, ∵AE 是底边 BC 上的高, ∴AE 也是顶角∠BAC 的平分线. ∴OF=OD=r 为⊙O 的半径. ∴⊙O 与 AC 相切于 F. 又∵ ⊙O 与 BC 相切, ∴⊙O 是△ABC 的内切圆. ⑵ ∵OE⊥BC 于 E, ∴点 E 是切点,即 OE=r. 由题意,AB=5,BE= AB=2, ∴ AE= = . ∵Rt△AOD∽Rt△ABE, ∴ , 2 1 22 2-5 21 BE OD AB OA = D F 即 . 解得,r= . ∴ ⊙O 的半径是 . 24.已知:如图,等边△ABC 中,AB=1,P 是 AB 边 上一动点,作 PE⊥BC,垂足为 E;作 EF⊥AC, 垂足为 F;作 FQ⊥AB,垂足为 Q. (1)设 BP=x,AQ=y,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当点 P 和点 Q 重合时,求线段 EF 的长; (3)当点 P 和点 Q 不重合,但线段 PE、FQ 相交时,求它们与线段 EF 围成的三角形 周长的取值范围. 24.答案:⑴∵△ABC 是等边三角形,AB=1. ∴∠A=∠B=∠C=60°, BC=CA=AB=1. 又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°, BP=x. ∴BE= x, CE=1- x, CF= - x, AF=1-( - x)= + x. ∴AQ= AF= ( + x), ∴ y= x+ . ⑵由方程组 得 x = . ∴当点 P 和点 Q 重合时,x = , ∴EF= CF= ( - x)= . ⑶设线段 PE、FQ 相交于点 M, 易证△MEF 是等边三角形, 且当点 P 和点 A 重合时,EF 最短为 . ∴ ≤ m < . 25.已知:如图,在梯形 ABCD 中,∠BCD=90°, tan∠ADC=2,点 E 在梯形内,点 F 在梯形外, 2 r 5 r-21 = 7 212 7 212 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 8 1 4 1    += =+ .4 1x8 1y 1,yx 3 2 3 2 3 3 2 1 4 1 3 3 4 3 4 33 3 3 题图 第 5 题图 A O P C B ,∠EDC=∠FBC,且 DE=BF. (1)判断△ECF 的形状特点,并证明你的结论; (2)若∠BEC=135°,求∠BFE 的正弦值. 答案: 答案:⑴ 是等腰直角三角形. …………………………………………1 分 证明:作 AH⊥CD 于 H, ∵梯形 ABCD 中,∠BCD=90°,tan∠ADC=2,即∠ADC≠90°. ∴ AB∥CD,AH=BC,AB=CH. 又∵ ,即 CH+DH=2AB=2CH ∴ DH=CH,CD=2DH. ∵ tan∠ADC= =2, ∴ AH=2DH=CD=BC. 在△EDC 和△FBC 中, 又∵∠EDC=∠FBC,DE=BF, ∴△EDC≌△FBC. ∴CE=CF, ∠ECD=∠FCB. ∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°, ∴∠FCB+∠ECB=90°,即∠ECF=90°. ∴△ECF 是等腰直角三角形. …………… ⑵ ∵ 在等腰 Rt△ECF 中,∠ECF=90°, ∴ ∠CEF=45°,CE= EF. 又∵∠BEC=135°, =0.5 , ∴ ∠BEF=90°, = . 不妨设 BE= ,EF= 4,则 BF= . ∴sin∠BFE= = = . (延庆县一模) 5.如图是一张矩形纸片 , ,若将纸片沿 折叠, 使 落在 上,点 的对应点为点 ,若 , 则 的长是 A. B. C. D. 答案:A 11.如图,⊙ 是等边三角形 的外接圆,点 在劣弧 上, ,则 的度数为_____________. 、 0.5CD AB CE BE == 0.5CD AB = DH AH 2 2 CE BE EF BE 4 2 2 18 BF BE 18 2 3 1 ABCD cm10AD = DE DC DA C F cmBE 6= DC cm4 cm6 cm8 cm10 O ABC P AB ABP∠ 22= BCP∠ H F E D B A C 第 19 题图 D C B A答案: 19. 已知如图:直角梯形 中, , , , , 求:梯形 的面积; 答案:解:过点 D 做 ,CD=26 在 中, ∴DE=24 ∴由勾股定理得:CE=10 ∴BE=CD-CE=16 ∵ , ∴ ∵ ∴四边形 ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=16 ∴ 20.如图, 是等腰三角形, ,以 为 直径的⊙ 与 交于点 , ,垂足为 , 的延长线与 的延长线交于点 . (1)求证: 是⊙ 的切线; (2)若⊙ 的半径为 , ,求 的值. 答案:证明: (1)连结 AD,OD ∵AC 是直径 ∴ ∵AB=AC ∴D 是 BC 的中点 ∵O 是 AC 的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 是⊙ 的切线 (2)由(1)可知, ∴ ∴ ∴ ∴FC=2 ∴AF=6 38 ABCD BCAD // 90=∠BAD 26CD ==BC 13 12sin =C ABCD EBCDE 于点⊥ DCERt∆ 26 DE CD DE 13 12sin ===C 90=∠BAD EBCDE 于点⊥ DE//BC BCAD // 5042 DEBCADSABCD =+= )( ABC∆ ACAB = AC O BC D ABDE ⊥ E ED AC F DE O O 2 1=BE Acos BCAD ⊥ AB//OD ABDE ⊥ DEOD ⊥ DE O AEOD // AE OD FA FO = BEAB OD ACFC OCFC −=+ + 14 2 4 2 −=+ + FC FC A B F C D E O 第 20 题图 ∴ 15.如图, , , , 交于点 . 求证: . 答案: 证明: ∵ ∴ 即: 在 ∴ ∴ (西城区一模) 7.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=60°,∠B=30°, 若 AD=CD=6,则 AB 的长等于(  ). A.9 B.12 C. D.18 答案:D 8.如图,点 A 在半 径为 3 的⊙O 内,OA= ,P 为⊙O 上一点, 当∠OPA 取最大值时,PA 的长等于( ). A. B. C. D. 答案:B 10.如图,甲、 乙两盏路灯相距 20 米. 一天晚上,当小明从 路灯甲走到距路灯乙底部 4 米处时,发现自己的身影顶部 正好接触到路灯乙的底部.已知小明的身高为 1.6 米,那么 路灯甲的高为 米. 答案: 16. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,BF 平分∠ABC,AF∥DC, 连接 AC,CF. 求证:(1)AF=CF;(2)CA 平分∠DCF. 答案: 证明:如图 2. (1)∵ 平分 , ∴ . 在△ABF 与△CBF 中, 6 3 3+ 2 1cos == AF AEA AEAB = ACAD = EACBAD ∠=∠ DEBC, O AEDABC ∠=∠ EACBAD ∠=∠ DACEACDACBAD ∠+∠=∠+∠ EADBAC ∠=∠ EADBAC ∆∆ 和 AEAB = EADBAC ∠=∠ ACAD = EADBAC ∆≅∆ AEDABC ∠=∠ 3 3 2 6 3 2 2 3 8 BF ABC∠ ABF CBF∠ = ∠ , , , AB CB ABF CBF BF BF = ∠ = ∠  = 图 2 ∴ △ABF≌△CBF. ∴ . (2)∵ , ∴ . ∵ ∥ , ∴ . ∴ ,即 平分 . 20.如图,四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片, 为 CD 边上的 点, =3.将纸片沿某条直线折叠,使点 B 落 在点 处,点 A 的对应点为 ,折痕分别与 A D,BC 边交于点 M,N. (1)求 BN 的长;(2)求四边形 ABNM 的面积. 答案:解:如图 3. (1)由题意,点 A 与点 ,点 与点 分别 关于直线 对称, ∴ , . 设 ,则 . ∵ 正方形 , ∴ . ∴ . ∵ =3, ∴ . 解得 . ∴ . (2)∵ 正方形 , ∴ AD∥BC, . ∵ 点 M,N 分别在 AD,BC 边上, ∴ 四边形 ABNM 是直角梯形. ∵ , , ∴ . ∴ , . ∵ , , ∴ . ∴ . 在 Rt△ 中,∵ , , , ∴ . ∵ , AF CF= AF CF= FCA FAC∠ = ∠ AF DC FAC DCA∠ = ∠ FCA DCA∠ = ∠ CA DCF∠ B′ CB′ B′ A′ A′ B B′ MN AM A M′= BN B N′= BN B N x′= = 9CN x= − ABCD o90C∠ = 2 2 2CN B C B N′ ′+ = CB′ 2 2 2(9 ) 3x x− + = 5x = 5BN = ABCD o90A∠ = ' 5BN B N= = 9BC = 4NC = 4sin 1 5 ∠ = 4tan 1 3 ∠ = 1 2 90∠ +∠ = ° 2 3 90∠ +∠ = ° 3 1∠ = ∠ 4sin 3 sin 1 5 ∠ = ∠ = DB P′ 90 D∠ = ° 6DB DC B C′ ′= − = 4sin 3 5 DB PB ′∠ = =′ 15 2PB′ = 9A B AB′ ′ = = 图 3 ∴ . ∵ , ∴ . 在 Rt△ 中,∵ , , , ∴ .…………………………………………………………………4 分 ∴ .…………………5 分 21.如图,D 是⊙O 的直径 CA 延长线上一点,点 B 在⊙O 上, 且 AB=AD=AO. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)若 E 是劣弧 BC 上一点,AE 与 BC 相交于点 F, △BEF 的面积为 8,且 cos∠BFA= , 求△ACF 的面积. 答案:(1)证明:连接 BO.(如图 4) ∵ AB=AD, ∴ ∠D=∠ABD. ∵ AB=AO, ∴ ∠ABO=∠AOB. 又∵ 在△OBD 中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°, ∴ ∠OBD=90°. ∴ BD⊥BO. ∵ 点 B 在⊙O 上, ∴ BD 是⊙O 的切线 . (2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF , ∴ △ACF∽△BEF . ∵ AC 是⊙O 的直径,点 B 在⊙O 上, ∴ ∠ABC=90°. ∵ 在 Rt△BFA 中,∠ABF=90°,cos∠BFA= , ∴ . 又∵ =8 , 3 2A P A B PB′ ′ ′ ′= − = 4 3∠ = ∠ 4tan 4 tan 3 3 ∠ = ∠ = A MP′ 90 A A′∠ = ∠ = ° 3 2A P′ = 4tan 4 3 A M A P ′∠ = =′ 2A M′ = 1 1 63( ) (2 5) 92 2 2ABNMS AM BN AB= + × = × + × =梯形 3 2 3 2= AF BF 2 4( ) 9 BEF ACF S BF S AF ∆ ∆ = = BEFS∆ 图 4 ∴ =18 . 25.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 CB,CA 延长线上的点,BE 与 AD 的交点为 P. (1)若 BD=AC,AE=CD,在图 1 中画出符合题意的图形,并直接写出∠APE 的度数; (2)若 , ,求∠APE 的度数. 答案:解:(1)如图 9,∠APE= 45 °. 2)解法一:如图 10,将 AE 平移到 DF, 连接 BF,EF. 则四边形 AEFD 是平行四边形. ∴ AD∥EF,AD=EF. ∵ , , ∴ , . ∴ . ∵ ∠C=90°, ∴ . ∴ ∠C=∠BDF. ∴ △ACD∽△BDF. ∴ ,∠1=∠2. ∴ . ∵ ∠1+∠3=90°, ∴ ∠2+∠3=90°. ∴ BF⊥AD . ∴ BF⊥EF. ∴ 在 Rt△BEF 中, . ∴ ∠APE=∠BEF =30°. 解法二:如图 11,将 CA 平移到 DF,连接 AF,BF,EF. 则四边形 ACDF 是平行四边形. ∵ ∠C=90°, ∴ 四边形 ACDF 是矩形,∠AFD=∠CAF= 90°,∠1+∠2=90°. ∵ 在 Rt△AEF 中, , 在 Rt△BDF 中, , ACFS∆ 3AC BD= 3CD AE= 3AC BD= 3CD AE= 3= BD AC 3== DF CD AE CD AC CD BD DF = 180 90BDF C∠ = ° − ∠ = ° 3AD AC BF BD = = 3EF AD BF BF = = 3tan 3 BFBEF EF ∠ = = 3tan 3 3 AE AE AF CD ∠ = = = 3tan 1 3 BD BD DF AC ∠ = = = 图 10 图 11 图 9 ∴ . ∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°,即∠EFB =90°. ∴ ∠AFD=∠EFB. 又∵ , ∴ △ADF∽△EBF. ∴ ∠4=∠5. ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5, ∴ ∠APE=∠3=30°. (通州区一模) 6.如图,⊙O 的半径为 2,直线 PA、PB 为⊙O 的切线, A、B 为切点,若 PA⊥PB,则 OP 的长为( ) A. B.4 C. D.2 答案:C 16.已知:如图, , , 是经过点 的一条直线,过点 、B 分 别作 、 ,垂足为 E、F,求证: . 答案:证明: , 在 和 中 . ≌ ( ). (3)按要求应该由哪位同学担任学生会干部职务,请你计算出他的最 后得分. 20.已知,如图,矩形 绕着它的对称中心 O 按照顺时针方向旋 转 60°后得到矩形 DFBE,连接 AF,CE. 请你判断四边形 AFED 是 我们学习过的哪种特殊四边形,并加以证明. 3 1 30∠ = ∠ = ° 3 2 DF AF BF EF = = 4 2 2 2 90ACB∠ = ° AC BC= CD C A AE CD⊥ BF CD⊥ CE BF=  CDAE ⊥ CDBF ⊥ ∴ °=∠=∠ 90BFCAEC∴ °=∠+∠ 90BBCF  ,90°=∠ACB∴ °=∠+∠ 90ACFBCF∴ BACF ∠=∠ BCF∆ CAE∆    = ∠=∠ ∠=∠ BCAC BACE BFCAEC ∴ BCF∆ CAE∆ AAS∴ BFCE = ABCD OF D E CB A F E D C B A 答案:解:判断:等腰梯形 证明:连结 、 依题意可知: , AO=OD=OE=OF 是矩形的对角线 点 在一条直线上, 都是等边三角形, 且 ≌ ≌ = = ,且 四边形 是等腰梯形 21.如图在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,0),以点 A 为圆心,2 为半径的圆与 x 轴交于 O,B 两点,C 为⊙A 上 一点,P 是 x 轴上的一点,连结 CP,将⊙A 向上平移 1 个单 位 长度,⊙A 与 x 轴交于 M、N,与 y 轴相切于点 G,且 CP 与⊙A 相切于点 C, . 请你求出平移后 MN 和 PO 的长. 答案:解: (1)过点 A 作 轴,垂足为 H,连结 AM AM=2,AH=1,根据勾股定理得:MH= , MN= (2) CP 是⊙A 切线,且 满足要求的 C 有两个:C1、C2 如图, 或 当 时, CP 是⊙A 切线, = , 在 中,AH=1, 同理可求 的长是 或 AO DO °=∠=∠ 60DOEAOD  EF∴ FOE 、、∴ °=∠ 60AOF∴ DOEAODAOF ∆∆∆ 、、 AOF∆ AOD∆ DOE∆ ( )SAS∴ DEAF = ADO∠ DOE∠ °60∴ EFAD // EFAD ≠ ∴ AFED 60CAP∠ = ° xAH ⊥  3∴ 32  °=∠ 60CAP ∴ °=∠ 6011 APC °=∠ 6022 APC °=∠ 6011 APC ∴ 11PAC∠ °90 21 =AC∴ 41 =AP HAPRt 1∆ 41 =AP ∴ 151 =HP ∴ 2151 −=OP 152 =HP ∴ 2152 +=OP ∴ OP 215 − 215 + HP1 P2 C1 G y xO NM C2 B A BAO y x E A B C D O OF E D CB A (顺义区一模) 7.如图, 内接于圆 , , , 是圆 的直径, 交 于点 ,连结 ,则 等于 A. B. C. D. 答案:C 16 已知:如图, 中, , 于 , 于 , 与 相交于点 .求证: ; 答案: 证明: ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ ∴ 19.已知:如图,梯形 ABCD 中, ∥ , , , ,点 E 在 BC 边上,将△CDE 沿 DE 折叠,点 C 恰好落在 AB 边上的点 处. (1)求 的度数; (2)求△ 的面积. 答案:解:(1) 过点 D 作 于 F . ∵ , , , ∴ 四边形 是正方形. ∴ , 在 Rt 中, ∴ ∵ , , ∴ ∴ , ABC△ O 50A = ∠ 60ABC = ∠ BD O BD AC E DC BEC∠ 50° 60° 70° 110° ABC△ 45ABC∠ = ° CD AB⊥ D BE AC⊥ E BE CD F BF AC= CD AB⊥ 90BDC CDA∠ = ∠ = ° 45ABC∠ = ° 45DCB ABC∠ = ∠ = ° DB DC= BE AC⊥ 90AEB∠ = ° 90A ABE∠ + ∠ = ° 90CDA∠ = ° 90A ACD∠ + ∠ = ° ABE ACD∠ = ∠ BDF∆ CDA∆ BDC CDA DB DC ABE ACD ∠ = ∠  = ∠ = ∠ BDF∆ CDA∆ BF AC= AD BC 90B∠ = ° 4AD AB= = 7BC = 'C 'C DE∠ 'C DE DF BC⊥ AD BC 90B∠ = ° AD AB= ABFD 4DF BF AB= = = 3FC = DFC∆ 2 2 2 24 3 5CD DF FC= + = + = ' 5C D = AD FD= 90A DFC∠ = ∠ = ° 'C D CD= 'AC D FCD∆ ≅ ∆ 'ADC FDC∠ = ∠ ' 3AC FC= = C' E D CB A ∴ ∵ ∴ (2) 设 , 则 , ∵ ∴ 在 Rt 中 解方程,得 ∴ 20. 已知:如图, 是 的直径, 切 于 , 交 于 , 为 边的 中点,连结 . (1) 是 的切线; (2) 若 , 的半径为 5, 求 的长.                            答案:(1) 证明:连结 和 ∵ 是 的直径, 切 于 , ∴ , , ∴ 在 Rt 中, 为 边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 是 的切线 (2) 连结 在 Rt 中 ∵ , 的半径为 5 ∴ ∵ , ∴ ' ' ' ' 90ADF ADC C DF FDC C DF C DC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° 'C DE CDE∠ = ∠ ' 45C DE∠ = ° EC x= 7BE x= − 'C E x= ' 3AC = ' 1BC = 'BEC∆ 2 2(7 ) 1x x− + = 25 7x = ' 1 1 25 50 14 72 2 7 7 7C DE CDES S EC DF∆ ∆= = ⋅ = × × = = AB O BC O B AC O P D BC DP DP O 3cos 5A = O DP OP BP AB O BC O B 90APB∠ = ° AB BC⊥ 90ABC ABP PBC∠ = ∠ + ∠ = ° BPC∆ D BC BD PD= BPD PBD∠ = ∠ OB OP= OPB OBP∠ = ∠ 90OPD OPB BPD OBP PBD ABC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° PD OP⊥ DP O OD ABC∆ 3cos 5A = O 50 cos 3 ABAC A = = OA OB= DC DB= 1 25 2 3OD AC= = O P CDB A O P CDB A A B D C PO 在 Rt 中 24. 已知:如图,等边△ABC 中,点 D 为 BC 边的中点,点 F 是 AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上,∠BAE=∠BDF,点 M 在线段 DF 上,∠ABE=∠DBM. (1)猜想:线段 AE、MD 之间有怎样的数量关系,并加以证明; (2)在(1)的条件下延长 BM 到 P,使 MP=BM,连接 CP,若 AB=7 ,AE= , 求 tan∠BCP 的值. 答案:(1)猜想: 证明:∵ △ABC 是等边三角形,点 D 为 BC 边的中 点, ∴ ∵ ∠BAE=∠BDF , ∠ABE=∠DBM ∴ ∽ ∴ 即 (2)解:如图, 连接 EP 由(1) ∽ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在 Rt△AEB 中,AB=7,AE= ∴ = ∴ ∵ , ,∠ABE=∠DBM ∴ OPD∆ 22 2 225 20 2( ) 5 63 3 3PD OD OP= − = − = = 72 2AE MD= 2AB BC BD= = ABE∆ DBM∆ 2AE AB DM DB = = 2AE MD= ABE∆ DBM∆ 2BE AB BM DB = = 2BE BM= MP BM= 2BP BM= BE BP= 60EBP ABE ABP PBC ABP ABC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° EBP∆ EM BP⊥ 90BMD∠ = ° 90AEB∠ = ° 72 BE 21=22 AE-AB 3tan 2BAE∠ = AB CB= BE BP= ABE CBP∆ ≅ ∆ ∴ ∴ = (石景山区一模) 3.已知:如图, ,等边 的顶点 在直线 上,边 与直线 所夹锐角为 ,则 的度数为 A. B. C. D. 答案:C 6.已知:⊙O 的半径为 2cm,圆心到直线 l 的距离为 1cm,将直线 l 沿垂直于 l 的方向平移, 使 l 与⊙O 相切,则平移的距离是 A.1 cm B.2 cm C.3cm D.1 cm 或 3cm 答案:D 8.已知:如图,无盖无底的正方体纸盒 , , 分别为棱 , 上 的点,且 ,若将这个正方体纸盒沿折 线 裁剪并展开,得到的平面图形是 A.一个六边形 B.一个平行四边形 C.两个直角三角形 D. 一个直角三角形和一个直角梯形 答案:B 11 . 已 知 : 如 图 , , 为 ⊙O 的 弦 , 点 在 上 , 若 , , ,则 的长为 . 答案: 6 Q P H G FE D C BA BCP BAE∠ = ∠ tan BCP∠ 3tan 2BAE∠ = ml ∥ ABC△ B m BC m °20 α∠ °60 °45 °40 °30 ABCD EFGH− P Q FB GC 12 , 2FP PB GQ QC= = AP PQ QH− − AB BC D AB 4=OD 10=BC °=∠=∠ 60BODB DB 第 11 题图 DA O B C 第 3 题图 l 20° mB A α C 15.如图,在△ 中, , 于 ,点 在线段 上, , 点 在线段 上,请你从以下两个条件中选择一个作为条件,证明△ ≌△ . (1) ∥ ; (2) . 答案:情况一、添加条件: // 证明: ∵ ∥ ∴ ∵ , ∴ ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ 情况二、添加条件: 证明:过点 作 于 ∵ , ∴ 在 和 中 ∵ ∴ ≌ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ 19 . 已 知 : 如 图 , 直 角 梯 形 中 , , ,求 的长. 答案:解:如图,过 A 作 AH⊥FC 于 H 则四边形 为矩形 ∵ ∴AH= ,HD= 2 ∴CF=CH+HD+DF=4+2+2=8, ∴BF= 20.已知:如图,在矩形 中,点 在对角线 上,以 的长为半径的⊙ 与 ABC BCAB ⊥ ACBE ⊥ E F BE 21 ∠=∠ D EC AFD AFB DF BC DFBF = DF BC DF BC CFDE ∠=∠ BCAB ⊥ ACBE ⊥ °=∠+∠=∠+∠ 90EBCCEBCABF CABF ∠=∠ ADFABF ∠=∠ ABF∆ ADF∆    = ∠=∠ ∠=∠ AFAF ADFABF 21 AFD∆ AFB∆ DFBF = F ABFG ⊥ G ACBE ⊥ 21 ∠=∠ EFFG = BGFRt∆ DEFRt∆ °=∠=∠ 90DEFBGF    = = DFBF EFFG BGFRt∆ ( )HLDEFRt∆ EDFGBF ∠=∠ ABF∆ ADF∆    = ∠=∠ ∠=∠ AFAF ADFABF 21 AFD∆ AFB∆ ABCD ADABCDABCD =°=∠°=∠ ,, 6090 4, 2AB DF= = BF ABCH ABCHAHBC == , 60 , 4CDA AD AB= = =∠ =°60sinAD 2 3 =°60cosAD 2 2 2 19BC CF+ = ABCD O BD OD O 2 1 F A B C D E G 2 1 F A B C D E , 分别交于点 E、点 F,且∠ =∠ . (1)判断直线 与⊙ 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 , ,求⊙ 的半径. 答案:解:(1)直线 与⊙O 相切 证明:联结 在矩形 中, ∥ ∴∠ =∠ ∵ ∴∠ =∠ 又∵∠ =∠ ∴∠ =∠ ∵矩形 ,∠ ∴ ∴ ∴ ∴直线 与⊙O 相切 (2) 联结 方法 1: ∵四边形 是矩形, ∴ , ∵∠ =∠ ∴ ∴ 在 中,可求 ∴勾股定理求得 在 中, 设⊙O 的半径为 则 ∴ = 方法 2:∵ 是⊙O 的直径 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ , ∵∠ =∠ ∴ 设 ,则 ∵ ∴ ∵ AD BD ABE DBC BE O 3 3sin =∠ABE 2=CD O BE OE ABCD AD BC ADB DBC OEOD = OED ODE ABE DBC ABE OED ABDC °= 90A °=∠+∠ 90AEBABE °=∠+∠ 90AEBOED °=∠ 90BEO BE EF ABCD 2=CD °=∠=∠ 90CA 2== CDAB ABE DBC =∠CBDsin 3 3sin =∠ABE 32sin =∠= CBD DCBD AEBRt∆ 2=AE 6=BE BEORt∆ °=∠ 90BEO 222 OBEBEO =+ r ( ) ( )222 326 rr −=+ r 2 3 DF °=∠ 90DEF ABCD °=∠=∠ 90CA 2== CDAB ABE DBC =∠CBDsin 3 3sin =∠ABE xBDxDC 3, == xBC 2= 2=CD 22=BC ABECBD ∠=∠ tantan O F E D CB A O F E D CB A ∴ ∴ ∴ ∴ 为 中点. ∵ 为直径,∠ ∴ ∴ ∴⊙O 的半径为 22.在边长为 1 的正方形网格中,正方形 与正方形 的位置如图所示. (1)请你按下列要求画图: ① 联结 交 于点 ; ② 在 上取一点 ,联结 , ,使△ 与△ 相似; (2)若 是线段 上一点,连结 并延长交四边形 的一边于点 ,且满足 ,则 的值为______ _______. 答案:(1)如图所示 (2)1、 或 2 (平谷区一模) 3.如图,已知 AB∥CD,∠C =35°,BC 平分∠ABE,则∠ABE 的度数是 A.17.5° B.35° C.70° D.105° 答案:C 8.如图, 是 的直径,弦 , 是弦 的中点, .若动点 以 的速度从 点出发沿着 方向运动,设运动时间为 ,连结 , 当 是直角三角形时, (s)的值为 A. B.1 C. 或 1 D. 或 1 或 答案 D: 11.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,OD⊥AB 于点 D、交⊙O 于点 E, ∠ C=60°, 如果⊙O 的半径为 2,那么 OD= . Q R AB AE BC DC = 222 2 AE= 2=AE E AD DF °= 90FED ABEF // 32 1 == BDDF 2 3 ABFE EFCD BD EF M AE P BP MP PEM PMB BD FQ ABCD BDFR 2 1= QR FQ 3 2 AB O⊙ 2cmBC = F BC 60ABC∠ = ° E 2cm/s A A B A→ → ( )(0 3)t s t <≤ EF BEF△ t 4 7 4 7 4 7 4 9 P M F E D CB A A B O D C E 答案:1 15.已知:如图, 在 上, . 求证:△ABC≌DEF. 答案:证明: , . 又 , ,即 . 在△ABC 与△DEF 中, . 19.已知,如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°, BE⊥DC 于 E,BC=5,AD:BC=2:5. 求 ED 的长. 答案:解:作 DF⊥BC 于 F,EG⊥BC 于 G. ∵∠A=90°,AD∥BC ∴ 四边形 ABFD 是矩形. ∵ BC=5,AD:BC=2:5. ∴ AD=BF=2. ∴ FC=3. 在 Rt△DFC 中, ∵ ∠C=45°, ∴ DC= . 在 Rt△BEC 中, ∴ EC= ∴ DE= 20.如图,在 中, , 是角平分线, 平分 交 于点 ,经过 两点的 交 于 点 ,交 于点 , 恰为 的直径. (1)求证: 与 相切; (2)当 时,求 的半径. 答案:解:(1)证明:连结 ,则 . ∴ . ∵ 平分 . C F、 BE A D AC DF BF EC∠ = ∠ =, ∥ , AC DF ∥ ACE DFB∴∠ = ∠ ∴ ACB DFE∠ = ∠ BF EC= BF CF EC CF∴ − = − BC EF=    = ∠=∠ ∠=∠ , , , EFBC DFEACB DA ABC DEF∴△ ≌△ 23 2 25 2 2 2 2523 =− ABC△ AB AC= AE BM ABC∠ AE M B M, O⊙ BC G AB F FB O⊙ AE O⊙ 14 cos 3BC C= =, O⊙ OM OM OB= 1 2∠ = ∠ BM ABC∠ O B G E C M A F E B C DA A B C F E D A B C F E D O B G E C M A F 1 2 3 ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . 在 中, ∵ , 是角平分线, ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . ∴ 与 相切. (2)解:在 中, , 是角平分线, ∴ . ∵ , ∴ , 在 中, , ∴ . 设 的半径为 ,则 . ∵ , ∴ . ∴ . ∴ . 解得 .∴ 的半径为 . 24.已知点 A,B 分别是两条平行线 , 上任意两点,C 是直线 上一点,且 ∠ABC=90°,点 E 在 AC 的延长线 上,BC= AB (k≠0). (1)当 =1 时,在图(1)中,作 ∠BEF=∠ABC,EF 交直线 于 点 F.,写出线段 EF 与 EB 的数 量关系,并加以证明; (2)若 ≠1,如图(2),∠BEF=∠ ABC,其它条件不变,探究线段 EF 与 EB 的数量关系,并说明理由. 答案:解:(1)正确画出图形 . 证明:如图(1),在直线 上截取 ,连结 . , , . , . 1 3∠ = ∠ 2 3∠ = ∠ OM BC∥ AMO AEB∠ = ∠ ABC△ AB AC= AE AE BC⊥ 90AEB∠ = ° 90AMO∠ = ° OM AE⊥ AE O⊙ ABC△ AB AC= AE 1 2BE BC ABC C= ∠ = ∠, 14 cos 3BC C= =, 2=BE .3 1cos =∠ABC ABE△ 90AEB∠ = ° 6cos BEAB ABC = =∠ O⊙ r 6AO r= − OM BC∥ AOM ABE△ ∽△ OM AO BE AB = 6 2 6 r r−= 3 2r = O⊙ 3 2 m n n k k m k EF EB= m AM AB= ME BC kAB= 1k = BC AB∴ = 90ABC∠ =  45CAB ACB∴∠ = ∠ =  F M nm C BA E 图(1) , , . , . , . , . .又 , . . . (2) . 说明:如图(2),过点 作 , ,垂足为 . . , , . 四边形 为矩形. , . , . . . . 在 和 中, , . 18.在平面直角坐标系中, 点坐标为 , 点坐标为 . (1)如图①,若直线 , 上有一动点 ,当 点的坐标为    时, 有 ; (2)如图②,若直线 与 不平行, 在过点 的直线 上是否存在点 ,使 ,若有这样的点 , 求出它的坐标.若没有,请简要说明理由. 答案:解:(1) (2)设 , 连接 ,过 作 于 , 于 , 因为 ,    ,    ,新课标第一网 所以 .    ,    , . 所以 坐标 或 . m n ∥ 45MAE ACB CAB∴∠ = ∠ = ∠ =  90FAB∠ =  AE AE= MAE BAE∴△ ≌△ EM EB∴ = AME ABE∠ = ∠ 90BEF ABC∠ = ∠ =  180FAB BEF∴∠ + ∠ =  180ABE EFA∴∠ + ∠ =  180AME EMF∠ + ∠ =  EMF EFA∴∠ = ∠ EM EF∴ = EF EB∴ = 1EF EBk = E EM m⊥ EN AB⊥ M N, m n ∥ 90ABC∠ =  90MAB∴∠ =  ∴ MENA ME NA∴ = 90MEN∠ =  90BEF ABC∠ = ∠ =  MEF NEB∴∠ = ∠ MEF NEB∴△ ∽△ ME EF EN EB ∴ = AN EF EN EB ∴ = Rt ANE△ Rt ABC△ tan EN BCBAC kAN AB ∠ = = = 1EF EBk ∴ = A (0 4), C (10 0), AB OC∥ AB P P PO PC= AB OC A 4y x= − + P 90OPC∠ = ° P (5 4), ( 4)P x x− +, OP PC, P PE OC⊥ E PN OA⊥ N 2 2 2( 4)OP x x= + − + 2 2 2( 4) (10 )PC x x= − + + − 2 2 2OP PC OC+ = 2 2 2 2 2( 4) ( 4) (10 ) 10x x x x+ − + + − + + − = 2 9 8 0x x− + = 1 1x = 2 8x = P (13), (8 4)−, 图(2) A B C M E N m n F N M O F E C BA N M O F E C BA (密云县一模) 6.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若∠ABC=70°, 则∠AOC 的度数等于 A.140° B.130° C.120° D.110° 答案:A 10.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上, 如果∠1=35°,那么∠2 是_______°. 答案:55 16. 已知:如图,平行四边形 ABCD 中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E、F, 求证:∠BAE=∠DCF. 答案:证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB∥CD 且 AB=CD ∴∠ABE=∠CDF 又∵AE⊥BD,CF⊥BD ∴∠AEB=∠CFD=900 ∴Rt△ABE≌Rt△CDF ∴∠BAE=∠DCF 20. 如图,AB 是 的直径, ,M 是 OA 上一点,过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且 (1)证明 CF 是 的切线 (2) 设⊙O 的半径为 1.且 AC=CE,求 MO 的长. 答案:(1)证明:连结 0C, ∵AB 是 直径, ∴∠ACB=90 0 O 30BAC∠ = ° .ECF E∠ = ∠ O O 2 1 ∵∠BAC=30 ,∴∠ABC=60 又∵OB=OC, ∴∠0CB=∠OBC=60 在 Rt EMB 中,∵∠ABC=60 ∴∠E=30 ∴∠OCF=90 ∴CF 是⊙O 的切线. (2)在 Rt△ACB 中,∠A=30 ,∠ACB=90 ∴AC= ,BC=1 ∴BE= +1 在 Rt△BEM 中,∠E=30 ,∠BME=90 ∴MB= ∴MO= 24.如图,边长为 5 的正方形 的顶点 在坐标原点处,点 分别在 轴、 轴 的正半轴上,点 是 边上的点(不与点 重合), ,且与正方形外角平分 线 交于点 . (1)当点 坐标为 时,试证明 ; (2)如果将上述条件“点 坐标为(3,0)”改为“点 坐标为( ,0)( )”,结论 是否仍然成立,请 说明理由; (3)在 轴上是否存在点 ,使得四边形 是平行四边形?若存在,请证明;若不 存在,请说明理由. 答案:解:(1)过点 作 轴,垂足为 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由题意知: ∴ 得 ∴ 在 和 中 ∴ 故 (2) 仍成立. 同理 ∴ 由题意知: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  3 3 1 3 2 + 3 1 2 − OABC O A C、 x y E OA A EF CE⊥ AC P E (3 0), CE EP= E E t 0t > CE EP= y M BMEP P PH x⊥ H 2 1 90∠ = ∠ = ° EF CE⊥ 3 4∠ = ∠ COE EHP△ ∽△ CO EH OE HP = 5CO = 3OE = 2EH EA AH HP= + = + 5 2 3 HP HP += 3HP = 5EH = Rt COE△ Rt EHP△ 2 2 34CE CO OE= + = 2 2 34EP EH PH= + = CE EP= CE EP= .COE EHP△ ∽△ CO EH OE HP = 5CO = OE t= 5EH t HP= − + AE HO M C y B G P F x B P G O F AE C y G F E D CB A ∴ 整理得 ∵点 不与点 重合 ∴ ∴ ∴在 和 中 ∴ (3) 轴上存在点 ,使得四边形 是平行四边形. 过点 作 交 轴于点 ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ∴ 而 ∴ 由于 ∴四边形 是平行四边形. (门头沟区一模) 4.如图,在矩形 ABCD 中,O 是对角线 AC、BD 的交点, 点 E、F 分别是 OD、OC 的中点.如果 AC=10,BC=8, 那么 EF 的长为 A.6 B.5 C.4 D.3 答案: 6.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,交⊙O 于点 D. 若∠CDB=30°,⊙O 的半径为 ,则弦 CD 的长是 A. B.3 C. D.9 答案: 15.已知:如图,EF∥BC,点 F、点 C 在 AD 上, AF=DC, EF=BC. 求证:AB=DE. 答案: 证明:∵ , ∴ . , ∴ . 在△ 与△ 中, ∴ . ∴AB=DE. 3 3 2 2 3 AF DC= AC DF= EF BC ∥ EFD BCA∠ = ∠ ABC DEF , , , BC EF BCA EFD AC DF = ∠ = ∠  = ABC DEF△ ≌△ 5 5 t HP t HP − += ( ) ( )5 5t HP t t− = − E A 5 0t− ≠ HP t= 5EH = Rt COE△ Rt EHP△ 225CE t= + 225EP t= + CE EP= y M BMEP B BM EP∥ y M 5 90CEP∠ = ∠ = ° 6 4∠ = ∠ BCM△ COE△ 6 4 BC OC BCM COE ∠ = ∠  = ∠ = ∠ BCM COE△ ≌△ BM CE= CE EP= BM EP= BM EP∥ BMEP E D C BA O FO D CB A E A B C F E D 图 1 A CB D O· 图1 D CB A O 图2 E D CB A O 19.已知:如图,在□ABCD 中,∠ADC、∠DAB 的平分线 DF、AE 分别与线段 BC 相交于点 F、E,DF 与 AE 相交于点 G. (1)求证:AE⊥DF; (2)若 AD=10,AB=6,AE=4,求 DF 的长. 答案: 解:(1)在□ABCD 中, , ∴∠ADC+∠DAB=180°. DF、AE 分别是∠ADC、∠DAB 的平分线, ∴ , . ∴ . ∴ . ∴AE⊥DF. (2)过点 D 作 ,交 BC 的延长线于点 H, 则四边形 AEHD 是平行四边形,且 FD⊥DH. ∴DH=AE=4,EH=AD=10. 在□ABCD 中, , ∴∠ADF=∠CFD,∠DAE=∠BEA. ∴∠CDF=∠CFD,∠BAE=∠BEA. ∴DC=FC,AB=EB. 在□ABCD 中,AD=BC=10,AB=DC=6, ∴CF=BE=6,BF=BC-CF=10-6=4. ∴FE=BE-BF=6-4=2. ∴FH= FE+EH= 12. 在 Rt△FDH 中, . 20.已知 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D,连结 BD. (1)如图 1,若 BD∶CD=3∶4,AD=3,求⊙O 的直径 AB 的长; (2)如图 2,若 E 是 BC 的中点,连结 ED ,请你判断直线 ED 与⊙O 的位置关系,并证 明你的结论. 答案:解:(1)如图 1,∵ AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠ADB=90°. 则∠CDB=∠ADB=90°. ∴∠C+∠CBD=90°. ∵∠ABC=90°, ∴∠ABD+∠CBD=90°. ∴∠C=∠ABD. ∴△ADB∽△BDC. AB DC∥  1 2ADF CDF ADC∠ = ∠ = ∠ 1 2DAE BAE DAB∠ = ∠ = ∠ 1 ( ) 902ADF DAE ADC DAB∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ° 90AGD∠ = ° DH AE∥ AD BC∥ 2 2 2 212 4 8 2DF FH DH= − = − = H G F E D CB A 图 2 A CB D E O· ∴ . ∵BD:CD =3:4,AD=3, ∴BD=4. 在 Rt△ABD 中, . (2)直线 ED 与⊙O 相切. 证明:如图 2,连结 OD. 由(1)得∠BDC=90°. ∵E 是 BC 的中点, ∴DE=BE. ∴∠EDB=∠EBD. ∵OB=OD, ∴∠ODB=∠OBD. ∵∠OBD+∠EBD=90°, ∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°. ∴ED 是⊙O 的切线.  (怀柔区一模) 3.已知⊙O1、⊙O2 的半径分别为 5cm、8cm,且它们的圆心距为 8cm,则⊙O1 与⊙O2 的位 置关系为 A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 答案:B 7.如图是一个圆锥形冰淇淋,已知它的母线长是 5cm,高是 4cm, 则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是 A. B. C. D. 答案:B 15.(本题满分 5 分) 如图, 已知:BF=DE,∠1=2,∠3=∠4 求证:AE=CF. 证 明: 19. (本题满分 5 分)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,DC 切 ⊙O 于点 C,过 D 点作 DE⊥AB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F. 求证:△DFC 是 等腰三角形. 证明: 答案:证明:连结 OC,∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵DC 是切线 ∴∠DCF=900-∠OCA ∵DE⊥AB ∴∠DFC=900-∠OAC ∵∠OAC=∠OCA, ∴∠DFC=∠DCF 即△DFC 是等腰三角形. 如图, 中,AB=10,BC=6,E、F 分别是 AD、DC 的中点,若 EF=7,则四边形 EACF 的周长是 AD BD BD CD = 2 2 2 23 4 5AB AD BD= + = + = 210 cmπ 29 cmπ 220 cmπ 2cmπ ABCD A B D C E F A.20 B.22 C.29 D.31 答案:C (海淀区一模) 11. 如图,CD 是⊙O 的直径,弦 AB⊥CD 于点 H,若∠D=30°, CH=1cm,则 AB= cm. 答案: 15.如图,点 C、D 在线段 AB 上,E、F 在 AB 同侧, DE 与 CF 相交于点 O,且 AC=BD, CO=DO, . 求证:AE=BF. 答案:证明:在△COD 中, ∵ CO=DO, ∴ ∠ODC=∠OCD. ∵ AC=BD, ∴ AD=BC. ∵ ∴ △ADE≌△BCF. ∴ AE=BF. 19.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=60°,∠ADC=105°,AD=6,且 AC⊥AB,求 AB 的 长. 答案:解:过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,则∠AED=∠DEC=90°. ∵ AC⊥AB, ∴ ∠BAC=90°. ∵ ∠B=60°, ∴ ∠ACB=30°. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC=∠ACB=30°. 2 3 A B∠ = ∠ , , , A B AD BC EDA FCB ∠ = ∠  = ∠ = ∠ A D CB A B OC H D A C D B E F O A D CB E ∴ 在 Rt△ADE 中,DE= AD=3,AE= ,∠ADE=60°. ∵ ∠ADC=105°, ∴ ∠EDC=45°. ∴ 在 Rt△CDE 中, CE=DE=3. ∴ AC=AE+CE= . ∴ 在 Rt△ABC 中,AB=AC tan∠ACB= . 20. 如图,AB 为⊙O 的直径,AB=4,点 C 在⊙O 上, CF⊥OC,且 CF=BF. (1)证明 BF 是⊙O 的切线; (2)设 AC 与 BF 的延长线交于点 M,若 MC=6,求∠MCF 的大小. 答案:20.证明:连接 OF. (1) ∵ CF⊥OC, ∴ ∠FCO=90° . ∵ OC=OB, ∴ ∠BCO=∠CBO. ∵ FC=FB, ∴ ∠FCB=∠FBC. ∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC. 即 ∠FBO=∠FCO=90°. ∴ OB⊥BF. ∵ OB 是⊙O 的半径, ∴ BF 是⊙O 的切线. (2) ∵ ∠FBO=∠FCO=90°, ∴ ∠MCF+∠ACO =90°,∠M+∠A =90°. ∵ OA=OC, ∴ ∠ACO=∠A. ∴ ∠FCM=∠M. 易证△ACB∽△ABM, ∴ . 1 2 2 2 3 3AD DE− = 3 3 3+ ⋅ 3(3 3 3) 3 33 + × = + AC AB AB AM = A F C O B M A F C O B M ∵ AB=4,MC=6, ∴ AC=2. ∴ AM=8,BM= = . ∴cos∠MC F = cosM = = . ∴ ∠MCF=30°. 25.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,tan∠BAC= . 点 D 在边 AC 上(不与 A,C 重合),连结 BD,F 为 BD 中点. (1)若过点 D 作 DE⊥AB 于 E,连结 CF、EF、CE,如图 1. 设 ,则 k = ; (2)若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转,使得 D、E、B 三点共线,点 F 仍为 BD 中点,如 图 2 所示. 求证:BE-DE=2CF; (3)若 BC=6,点 D 在边 AC 的三等分点处,将线段 AD 绕点 A 旋转,点 F 始终为 BD 中 点,求线段 CF 长度的最大值. 答案: 解:(1)k=1; (2)如图 2,过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G,设 BD 与 AC 的交点为 Q. 由题意,tan∠BAC= , ∴ . ∵ D、E、B 三点共线, ∴ AE⊥DB. ∵ ∠BQC=∠AQD,∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG=90°,∠BCG+∠ACG=90°, ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ . ∴ . ∴ GB=DE. ∵ F 是 BD 中点, 2 2AM AB− 4 3 BM AM 3 2 1 2 CF kEF= 1 2 1 2 BC DE AC AE = = BCG ACE△ ∽△ 1 2 BC GB AC AE = = 2图 B D E A F C G Q BC A D E F B D E A F C B A C 1图 2图 备图 ∴ F 是 EG 中点. 在 中, , ∴ . (3)情况 1:如图,当 AD= 时,取 AB 的中点 M,连结 MF 和 CM, ∵∠ACB=90°, tan∠BAC= ,且 BC= 6, ∴AC=12,AB= . ∵M 为 AB 中点,∴CM= , ∵AD= , ∴AD= . ∵M 为 AB 中点,F 为 BD 中点, ∴FM= = 2. ∴当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大,此时 CF=CM+FM= . 情况 2:如图,当 AD= 时,取 AB 的中点 M, 连结 MF 和 CM, 类似于情况 1,可知 CF 的最大值为 . 综合情况 1 与情况 2,可知当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时,线段 CF 的长度取得最大值为 . Rt ECG△ 1 2CF EG= 2BE DE EG CF− = = 1 3 AC 1 2 6 5 3 5 1 3 AC 4 1 2 AD 2 3 5+ 2 3 AC 4 3 5+ 4 3 5+ A D M F C B A D F C M B
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