2012年湖北省高考数学试卷（文科）

2012年湖北省高考数学试卷（文科）

‎2012年湖北省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．（5分）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表 ‎ 分组 ‎[10，20）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间[10，40]的频率为（　　）‎ A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65‎ ‎3．（5分）函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎5．（5分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．y﹣1=0 C．x﹣y=0 D．x+3y﹣4=0‎ ‎6．（5分）已知定义在区间（0，2）上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=﹣f（2﹣x）的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）‎ A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4‎ ‎9．（5分）设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的（　　）‎ A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎10．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有　　人．‎ ‎12．（5分）若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=　　．‎ ‎13．（5分）已知向量=（1，0），=（1，1），则 ‎（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为　　；‎ ‎（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为　　．‎ ‎14．（5分）若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是　　．‎ ‎15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．‎ ‎16．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=　　．‎ ‎17．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：‎ ‎（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第　　项；‎ ‎（Ⅱ）b2k﹣1=　　．（用k表示）‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若y=f（x）的图象经过点，求函数f（x）的值域．‎ ‎19．（12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1‎ ‎﹣ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．‎ ‎（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎20．（13分）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎21．（14分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（14分）设函数f（x）=axn（1﹣x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅲ）证明：f（x）＜．‎ ‎　‎ ‎2012年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1．（5分）（2012•湖北）已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求 ‎【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，‎ ‎∵A⊆C⊆B，‎ ‎∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•湖北）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表 ‎ 分组 ‎[10，20）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间[10，40]的频率为（　　）‎ A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65‎ ‎【分析】先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．‎ ‎【解答】解：由频率分布表知：‎ 样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9，‎ 故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】考虑到函数y=cos2x的零点一定也是函数f（x）的零点，故在区间[0，2π]上y=cos2x的零点有4个．函数y=x的零点有0，故在区间[0，2π]上y=xcos2x的零点有5个．‎ ‎【解答】解：∵y=cos2x在[0，2π]上有4个零点分别为，，，‎ 函数y=x的零点有0‎ ‎∴函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上有5个零点．分别为0，，，，‎ 故选D ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题 而特称命题的否定是全称命题，‎ 则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数 故选B ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•湖北）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．y﹣1=0 C．x﹣y=0 D．x+3y﹣4=0‎ ‎【分析】法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积 ‎=2α，要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小，可求．‎ 法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．由此能求出直线的方程．‎ ‎【解答】解法一：设过点P（1，1）的直线与圆分别交于点A，B，且圆被AB所分的两部分的面积分别为S1，S2且S1≤S2‎ 劣弧所对的圆心角∠AOB=α，‎ 则﹣S△AOB=2α﹣S△AOB，‎ S2=4π﹣2α+S△AOB（0＜α≤π）‎ ‎∴要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小 此时KAB=﹣1，直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣1）即x+y﹣2=0‎ 故选A 解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．‎ 又已知点P（1，1），则KOP=1，‎ 故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），‎ 由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即．x+y﹣2=0‎ 故选A ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=﹣f（2﹣x）的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可求f（x），进而可求y=﹣f（2﹣x），根据一次函数的性质，结合选项可可判断 ‎【解答】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=‎ 当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x 当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1‎ ‎∴y=﹣f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B正确 故选：B ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②‎ f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由等比数列性质知，‎ ‎①=f2（an+1），故正确；‎ ‎②≠=f2（an+1），故不正确；‎ ‎③==f2（an+1），故正确；‎ ‎④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠=f2（an+1），故不正确；‎ 故选C ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）‎ A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4‎ ‎【分析】由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得 =，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．‎ ‎【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2．‎ 由余弦定理可得 cosA===，‎ 又3b=20acosA，可得 cosA==．‎ 故有 =，解得a=6，故三边分别为6，5，4．‎ 由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的（　　）‎ A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【分析】由abc=1，推出，代入不等式的左边，证明不等式成立．利用特殊值判断不等式成立，推不出abc=1，得到结果．‎ ‎【解答】解：因为abc=1，所以，则=‎ ‎=≤a+b+c．‎ 当a=3，b=2，c=1时，显然成立，但是abc=6≠1，‎ 所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．‎ ‎【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，‎ 连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，‎ ‎∴此点取自阴影部分的概率是．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．（5分）（2012•湖北）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有　6　人．‎ ‎【分析】设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数．‎ ‎【解答】解：设抽到女运动员的人数为n则 ‎=‎ 解得n=6‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•湖北）若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=　3　．‎ ‎【分析】由==，知=a+bi，故，所以，由此能求出a+b．‎ ‎【解答】解：=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∵=a+bi，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得a=0，b=3，‎ ‎∴a+b=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则 ‎（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为　（）　；‎ ‎（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为　　．‎ ‎【分析】（I）由已知可求2+，进而可求|2+|，而与2+同向的单位向量，再利用坐标表示即可 ‎（II）设﹣3与向量夹角θ，由已知可求，|，，||，代入向量的夹角公式cosθ=可求 ‎【解答】解：（I）∵=（1，0），=（1，1）‎ ‎∴2+=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2+|=‎ ‎∴与2+同向的单位向量的坐标表示=‎ ‎（II）设﹣3与向量夹角θ ‎∵=（1，0），=（1，1），‎ ‎∴，‎ ‎∴=﹣2，||=，||=1‎ 则cosθ===‎ 故答案为：；‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•湖北）若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是　2　．‎ ‎【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小，结合图形可求z的最小值 ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 作直线L：2x+3y=0，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小 结合图形可知，当直线2x+3y﹣z=0平移到点B时，z最小 由可得B（1，0），此时Z=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　12π　．‎ ‎【分析】由题意三视图可知，几何体是有3个圆柱体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为1的圆柱与一个底面半径为1，高为4的圆柱组成的几何体，‎ 所以几何体的条件为V=2×22π×1+12π×4=12π．‎ 故答案为：12π．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=　9　．‎ ‎【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．‎ ‎【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，‎ 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，‎ 输出S=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2012•湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：‎ ‎（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第　5030　项；‎ ‎（Ⅱ）b2k﹣1=　　．（用k表示）‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+‎ ‎1），由此递推式可以得出数列{an}的通项为，an=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…‎ ‎，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b2012在数列{an}中的位置；‎ ‎（II）由（I）中的结论即可得出b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=．‎ ‎【解答】解：（I）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）‎ 由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…‎ 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，‎ 由于b2012是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列{an}按五个一段分组的第1006组的最后一个数，由此知，b2012是数列{an}中的第1006×5=5030个数 故答案为5030‎ ‎（II）由于2k﹣1是奇数，由（I）知，第2k﹣1个被5整除的数出现在第k组倒数第二个，故它是数列{an}中的第k×5﹣1=5k﹣1项，所以b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=‎ 故答案为 ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（12分）（2012•湖北）设函数f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（2）若y=f（x）的图象经过点，求函数f（x）的值域．‎ ‎【分析】（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；‎ ‎（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ ‎=sin2ωx﹣cos2ωx+λ ‎=2sin（2ωx﹣）+λ ‎∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z ‎∴ω=+，又ω∈（，1）‎ 令k=1时，ω=符合要求 ‎∴函数f（x）的最小正周期为=‎ ‎（2）∵f（）=0‎ ‎∴2sin（2××﹣）+λ=0‎ ‎∴λ=﹣‎ ‎∴f（x）=2sin（x﹣）﹣‎ 故函数f（x）的取值范围为[﹣2﹣，2﹣]‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•湖北）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．‎ ‎（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1‎ ‎=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎【分析】（1）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）需计算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的表面积（除去下底面的面积）S2即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，‎ ‎∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，‎ ‎∴AA2⊥平面ABCD．连接BD，‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，‎ 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，‎ ‎∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，‎ ‎∴B1D1⊥平面ACC2A2；‎ ‎（2）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，‎ ‎∴S1=S四棱柱下底面+S四棱柱侧面 ‎=+4AB•AA2‎ ‎=102+4×10×30‎ ‎=1300（cm2）‎ 又∵四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，‎ ‎∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面 ‎=+4×（AB+A1B1）•h等腰梯形的高 ‎=202+4×（10+20）•‎ ‎=1120（cm2），‎ 于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），‎ 故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2012•湖北）已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．‎ ‎（1）求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．‎ ‎【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项 ‎（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为an=3n﹣7，则|an|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求 ‎【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d 由题意可得，‎ 解得或 由等差数列的通项公式可得，an=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或an=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7‎ ‎（II）当an=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比 当an=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件 故|an|=|3n﹣7|=‎ 设数列{|an|}的前n项和为Sn 当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5‎ 当n≥3时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）‎ ‎=5+=，当n=2时，满足此式 综上可得 ‎　‎ ‎21．（14分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；‎ ‎（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）‎ ‎∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|‎ ‎∴x0=x，|y0|=|y|①‎ ‎∵点A在圆上运动，∴②‎ ‎①代入②即得所求曲线C的方程为 ‎∵m∈（0，1）∪（1，+∞），‎ ‎∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），‎ m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），‎ ‎（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），‎ ‎∵P，H两点在椭圆C上，∴‎ ‎①﹣②可得③‎ ‎∵Q，N，H三点共线，∴kQN=kQH，∴‎ ‎∴kPQ•kPH=‎ ‎∵PQ⊥PH，∴kPQ•kPH=﹣1‎ ‎∴‎ ‎∵m＞0，∴‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH ‎　‎ ‎22．（14分）（2012•湖北）设函数f（x）=axn（1﹣x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅲ）证明：f（x）＜．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；‎ ‎（Ⅱ）由于f（x）=xn（1﹣x），可求f′（x）=（n+1）xn﹣1（﹣x），利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）结合（Ⅱ），欲证f（x）＜．由于函数f（x）的最大值f（）=（）n（1﹣）=，故此不等式证明问题可转化为证明＜，对此不等式两边求以e为底的对数发现，可构造函数φ（t）=lnt﹣1+，借助函数的最值辅助证明不等式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0．‎ 因为f′（x）=anxn﹣1﹣a（n+1）xn，所以f′（1）=﹣a．‎ 又因为切线x+y=1的斜率为﹣1，所以﹣a=﹣1，即a=1，故a=1，b=0．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=xn（1﹣x），则有f′（x）=（n+1）xn﹣1（﹣x），令f′（x）=0，解得x=‎ 在（0，）上，导数为正，故函数f（x）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数f（x）是减函数；‎ 故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（）=（）n（1﹣）=，‎ ‎（Ⅲ）令φ（t）=lnt﹣1+，则φ′（t）=﹣=（t＞0）‎ 在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）单调减；在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）单调增；‎ 故φ（t）在（0，+∞）上的最小值为φ（1）=0，‎ 所以φ（t）＞0（t＞1）‎ 则lnt＞1﹣，（t＞1），‎ 令t=1+，得ln（1+）＞，即ln（1+）n+1＞lne 所以（1+）n+1＞e，即＜‎ 由（Ⅱ）知，f（x）≤＜，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：吕静；minqi5；xize；刘长柏；caoqz；qiss；zlzhan；xintrl；wfy814（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日