2005年江西省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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2005年江西省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2005年江西省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设全集I={x|-31‎,解关于x的不等式f(x)<‎‎(k+1)x-k‎2-x.‎ ‎18. 已知向量a‎→‎‎=(2cosx‎2‎,tan(x‎2‎+π‎4‎)),b‎→‎=(‎2‎sin(x‎2‎+π‎4‎),tan(x‎2‎-π‎4‎))‎,令f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎.求函数f(x)‎的最大值,最小正周期,并写出 f(x)‎在‎[0, π]‎上的单调区间.‎ ‎19. A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片,如果某人已赢得所有卡片,则游戏终止.求掷硬币的次数不大于‎7‎次时游戏终止的概率.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 如图,在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AD=AA‎1‎=‎1‎,AB=‎2‎,点E在棱AB上移动.‎ ‎(1)证明:D‎1‎E⊥A‎1‎D;‎ ‎(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD‎1‎的距离;‎ ‎(3)AE等于何值时,二面角D‎1‎‎-EC-D的大小为π‎4‎.‎ ‎21. 如图,M是抛物线上y‎2‎‎=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.‎ ‎(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;‎ ‎(2)若M为动点,且‎∠EMF=‎‎90‎‎∘‎,求‎△EMF的重心G的轨迹方程.‎ ‎22. 已知数列‎{an}‎的前n项和Sn满足Sn‎-Sn-2‎=(-‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎(n≥3),且S‎1‎=1,S‎2‎=-‎‎3‎‎2‎,求数列‎{an}‎的通项公式.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年江西省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.B ‎4.A ‎5.B ‎6.C ‎7.A ‎8.A ‎9.C ‎10.B ‎11.D ‎12.A 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎2‎‎2‎ ‎14.‎‎5‎‎6‎ ‎15.‎π‎3‎ ‎16.③④‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:‎(1)‎将x‎1‎‎=3‎,x‎2‎‎=4‎分别代入方程x‎2‎ax+b‎-x+12=0‎,‎ 得‎9‎‎3a+b‎=-9,‎‎16‎‎4a+b‎=-8,‎解得a=-1,‎b=2,‎ 所以f(x)=x‎2‎‎2-x(x≠2)‎.‎ ‎(2)‎不等式即为x‎2‎‎2-x‎<‎‎(k+1)x-k‎2-x,可化为x‎2‎‎-(k+1)x+k‎2-x‎<0‎,‎ 即‎(x-2)(x-1)(x-k)>0‎.‎ ‎①当‎10‎,解集为‎(1, 2)∪(2, +∞)‎;‎ ‎③当k>2‎时,解集为‎(1, 2)∪(k, +∞)‎.‎ ‎18.解:‎f(x)=a‎→‎⋅b‎→‎=2‎2‎cosx‎2‎sin(x‎2‎+π‎4‎)+tan(x‎2‎+π‎4‎)tan(x‎2‎-π‎4‎)=2‎2‎cosx‎2‎(‎2‎‎2‎sinx‎2‎+‎2‎‎2‎cosx‎2‎)+‎1+tanx‎2‎‎1-tanx‎2‎⋅tanx‎2‎-1‎‎1+tanx‎2‎=2sinx‎2‎cosx‎2‎+2cos‎2‎x‎2‎-1=sinx+cosx=‎2‎sin(x+π‎4‎).‎ 当x=‎π‎4‎时,f(x)‎|‎max=f(π‎4‎)=‎‎2‎.‎ 最小正周期为T=2π,f(x)‎在‎[0,π‎4‎]‎是单调增加,在‎[π‎4‎,π]‎是单调减少.‎ ‎19.解:设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数,‎ 正面出现的次数为m,反面出现的次数为n,‎ 则‎|m-n|=5‎m+n=ξ‎1≤ξ≤7‎,‎ 可得:当m=5‎,n=0‎或m=0‎,n=5‎时,ξ=5‎;‎ 当m=6‎,n=1‎或m=1‎,n=6‎时,ξ=7‎.‎ 所以ξ的所有可能取值为:‎5‎,‎‎7‎ P(ξ≤7)=P(ξ=5)+P(ξ=7)=2×(‎1‎‎2‎‎)‎‎5‎+2C‎5‎‎1‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎7‎=‎1‎‎16‎+‎5‎‎64‎=‎‎9‎‎64‎‎.‎ ‎20.证明:∵ AE⊥‎平面AA‎1‎DD‎1‎,A‎1‎D⊥AD‎1‎,∴ ‎A‎1‎D⊥D‎1‎E 设点E到面ACD‎1‎的距离为h,在‎△ACD‎1‎中,AC=CD‎1‎=‎‎5‎,AD‎1‎=‎‎2‎,‎ 故S‎△AD‎1‎C‎=‎1‎‎2‎⋅‎2‎⋅‎5-‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎,而S‎△ACE‎=‎1‎‎2‎⋅AE⋅BC=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴ VD‎1‎‎-AEC‎=‎1‎‎3‎S‎△AEC⋅DD‎1‎=‎1‎‎3‎S‎△AD‎1‎C⋅h,‎ ‎∴ ‎1‎‎2‎‎×1=‎3‎‎2‎×h,∴ h=‎‎1‎‎3‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 过D作DH⊥CE于H,连D‎1‎H、DE,则D‎1‎H⊥CE,∴ ‎∠DHD‎1‎为二面角D‎1‎‎-EC-D的平面角.‎ 设AE=x,则BE=‎2-x在Rt△D‎1‎DH中,∵ ‎∠DHD‎1‎=‎π‎4‎,∴ DH=‎1‎.‎ ‎∵ 在Rt△ADE中,DE=‎‎1+‎x‎2‎,‎ ‎∴ 在Rt△DHE中,EH=x,在Rt△DHC中CH=‎‎3‎,在Rt△CBE中CE=‎x‎2‎‎-4x+5‎.‎ ‎∴ x+‎3‎=x‎2‎‎-4x+5‎⇒x=2-‎‎3‎.‎ ‎∴ AE=2-‎‎3‎时,二面角D‎1‎‎-EC-D的大小为π‎4‎.‎ 解法(二):‎ 以D为坐标原点,直线DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A‎1‎‎(1, 0, 1)‎,D‎1‎‎(0, 0, 1)‎,E(1, x, 0)‎,A(1, 0, 0)C(0, 2, 0)(1)‎因为DA‎1‎‎→‎‎⋅D‎1‎E‎→‎=(1, 0, 1)⋅(1, x, -1)‎=‎0‎,所以DA‎1‎‎→‎‎⊥‎D‎1‎E‎→‎.(2)因为E为AB的中点,则E(1, 1, 0)‎,从而D‎1‎E‎→‎‎=(1,1,-1),AC‎→‎=(-1,2,0)‎,AD‎1‎‎→‎‎=(-1,0,1)‎,设平面ACD‎1‎的法向量为n‎→‎‎=(a,b,c)‎,‎ 则n‎→‎‎⋅AC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅AD‎1‎‎→‎=0‎‎ ‎也即‎-a+2b=0‎‎-a+c=0‎‎ ‎,得a=2ba=c‎ ‎,从而n‎→‎‎=(2,1,2)‎,所以点E到平面AD‎1‎C的距离为h=‎|D‎1‎E‎→‎⋅n‎→‎|‎‎|n‎→‎|‎=‎2+1-2‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎.(3)设平面D‎1‎EC的法向量n‎→‎‎=(a,b,c)‎,‎ ‎∴ CE‎→‎‎=(1,x-2,0),D‎1‎C‎→‎=(0,2,-1),DD‎1‎‎→‎=(0,0,1)‎,‎ 由n‎→‎‎⋅D‎1‎C‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅CE‎→‎=0‎‎ ⇒‎2b-c=0‎a+b(x-2)=0.‎ ‎令b=‎1‎,∴ c=‎2‎,a=‎2-x,‎ ‎∴ n‎→‎‎=(2-x,1,2)‎.‎ 依题意cosπ‎4‎=‎|n‎→‎⋅DD‎1‎‎→‎|‎‎|n‎→‎|⋅|DD‎1‎‎→‎|‎=‎2‎‎2‎⇒‎2‎‎(x-2)‎‎2‎‎+5‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∴ x‎1‎‎=2+‎‎3‎(不合,舍去),x‎2‎‎=2-‎‎3‎.‎ ‎∴ AE=2-‎‎3‎时,二面角D‎1‎‎-EC-D的大小为π‎4‎.‎ ‎21.解:(1)设M(y‎0‎‎2‎, y‎0‎)‎,直线ME的斜率为k(k>0)‎,则直线MF的斜率为‎-k 直线ME的方程为y-y‎0‎=k(x-y‎0‎‎2‎)‎,由y-y‎0‎=k(x-y‎0‎‎2‎)‎y‎2‎‎=x 消去x得ky+ky‎0‎-1=0‎,解得yE‎=‎‎1-ky‎0‎k,‎xE‎=‎‎(1-ky‎0‎‎)‎‎2‎k‎2‎ 同理可得yF‎=‎‎1+ky‎0‎‎-k,‎xF‎=‎‎(1+ky‎0‎‎)‎‎2‎k‎2‎ ‎∴ kEF‎=‎yE‎-‎yFXE‎-‎XF,将坐标代入得kEF‎=-‎‎1‎‎2‎y‎0‎(定值)‎ 所以直线EF的斜率为定值.‎ ‎(2)当‎∠EMF=‎‎90‎‎∘‎时,‎∠MAB=‎‎45‎‎∘‎,所以k=1‎ ‎∴ 直线ME的方程为:y-y‎0‎=x-‎y‎0‎‎2‎,‎ 由y-y‎0‎=x-‎y‎0‎‎2‎y‎2‎‎=x得E(‎(1-‎y‎0‎‎)‎‎2‎,‎1-‎y‎0‎)‎ 同理可得F(‎(1+‎y‎0‎‎)‎‎2‎,‎-(1+y‎0‎)‎),‎ ‎ 6 / 6‎ 设重心为G(x, y)‎,则有x=‎xM‎+xE+‎xF‎3‎y=‎yM‎+yE+‎yF‎3‎ 代入坐标得x=‎‎2+3‎y‎0‎‎2‎‎3‎y=-‎y‎0‎‎3‎ 消去参数y‎0‎得y‎2‎‎=‎1‎‎9‎x-‎2‎‎27‎(x>‎2‎‎3‎)‎ ‎22.解:先考虑偶数项,有:S‎2n‎-S‎2n-2‎=3×(-‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎=-3×(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎,‎ S‎2n-2‎‎-S‎2n-4‎=-3×(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-3‎‎,…,S‎4‎‎-S‎2‎=-3×(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎,‎ ‎∴ S‎2n‎=S‎2‎-3[(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-3‎]+…+(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎]=-2+(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎.‎ 同理考虑奇数项有S‎2n+1‎‎=3×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n,S‎2n-1‎=3×(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-2‎,…,S‎3‎‎-S‎1‎=3×(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎,‎ ‎∴ S‎2n+1‎‎=S‎1‎+3[(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-2‎+…+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎]=2-(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2n.‎n≥1‎ ‎∴ a‎2n+1‎‎=S‎2n+1‎-S‎2n=4-3×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n,n≥1‎,a‎2n‎=S‎2n-S‎2n-1‎=-4+3×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2n-1‎,n≥1‎.a‎1‎‎=S‎1‎=1‎,‎ ‎∴ an‎=‎‎4-3×(‎1‎‎2‎‎)‎n+1‎,n是奇数‎-4+3×(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎,n为偶数.‎ ‎ 6 / 6‎
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