2005年江西省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年江西省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设全集I={x|-3
1，解关于x的不等式f(x)<(k+1)x-k2-x．
18. 已知向量a→=(2cosx2,tan(x2+π4))，b→=(2sin(x2+π4)，tan(x2-π4))，令f(x)=a→⋅b→．求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出
f(x)在[0, π]上的单调区间．
19. A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．
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20. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
21. 如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90∘，求△EMF的重心G的轨迹方程．
22. 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=(-12)n-1(n≥3)，且S1=1，S2=-32，求数列{an}的通项公式．
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参考答案与试题解析
2005年江西省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.B
3.B
4.A
5.B
6.C
7.A
8.A
9.C
10.B
11.D
12.A
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.22
14.56
15.π3
16.③④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)将x1=3，x2=4分别代入方程x2ax+b-x+12=0，
得93a+b=-9,164a+b=-8,解得a=-1,b=2,
所以f(x)=x22-x(x≠2)．
(2)不等式即为x22-x<(k+1)x-k2-x，可化为x2-(k+1)x+k2-x<0，
即(x-2)(x-1)(x-k)>0．
①当10，解集为(1, 2)∪(2, +∞)；
③当k>2时，解集为(1, 2)∪(k, +∞)．
18.解：f(x)=a→⋅b→=22cosx2sin(x2+π4)+tan(x2+π4)tan(x2-π4)=22cosx2(22sinx2+22cosx2)+1+tanx21-tanx2⋅tanx2-11+tanx2=2sinx2cosx2+2cos2x2-1=sinx+cosx=2sin(x+π4).
当x=π4时，f(x)|max=f(π4)=2．
最小正周期为T=2π，f(x)在[0,π4]是单调增加，在[π4，π]是单调减少．
19.解：设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，
正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则|m-n|=5m+n=ξ1≤ξ≤7，
可得：当m=5，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6，n=1或m=1，n=6时，ξ=7．
所以ξ的所有可能取值为：5，7
P(ξ≤7)=P(ξ=5)+P(ξ=7)=2×(12)5+2C51(12)7=116+564=964．
20.证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴ A1D⊥D1E
设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1=5，AD1=2，
故S△AD1C=12⋅2⋅5-12=32，而S△ACE=12⋅AE⋅BC=12．
∴ VD1-AEC=13S△AEC⋅DD1=13S△AD1C⋅h，
∴ 12×1=32×h，∴ h=13．
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过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴ ∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角．
设AE＝x，则BE＝2-x在Rt△D1DH中，∵ ∠DHD1=π4，∴ DH＝1．
∵ 在Rt△ADE中，DE=1+x2，
∴ 在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中CH=3，在Rt△CBE中CE=x2-4x+5．
∴ x+3=x2-4x+5⇒x=2-3．
∴ AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
解法（二）：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A1(1, 0, 1)，D1(0, 0, 1)，E(1, x, 0)，A(1, 0, 0)C(0, 2, 0)(1)因为DA1→⋅D1E→=(1, 0, 1)⋅(1, x, -1)＝0，所以DA1→⊥D1E→．（2）因为E为AB的中点，则E(1, 1, 0)，从而D1E→=(1,1,-1),AC→=(-1,2,0)，AD1→=(-1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n→=(a,b,c)，
则n→⋅AC→=0n→⋅AD1→=0 也即-a+2b=0-a+c=0 ，得a=2ba=c ，从而n→=(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为h=|D1E→⋅n→||n→|=2+1-23=13．（3）设平面D1EC的法向量n→=(a,b,c)，
∴ CE→=(1,x-2,0),D1C→=(0,2,-1),DD1→=(0,0,1)，
由n→⋅D1C→=0n→⋅CE→=0 ⇒2b-c=0a+b(x-2)=0. 令b＝1，∴ c＝2，a＝2-x，
∴ n→=(2-x,1,2)．
依题意cosπ4=|n→⋅DD1→||n→|⋅|DD1→|=22⇒2(x-2)2+5=22．
∴ x1=2+3（不合，舍去），x2=2-3．
∴ AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
21.解：（1）设M(y02, y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，则直线MF的斜率为-k
直线ME的方程为y-y0=k(x-y02)，由y-y0=k(x-y02)y2=x
消去x得ky+ky0-1=0，解得yE=1-ky0k，xE=(1-ky0)2k2
同理可得yF=1+ky0-k，xF=(1+ky0)2k2
∴ kEF=yE-yFXE-XF，将坐标代入得kEF=-12y0（定值）
所以直线EF的斜率为定值．
（2）当∠EMF=90∘时，∠MAB=45∘，所以k=1
∴ 直线ME的方程为：y-y0=x-y02，
由y-y0=x-y02y2=x得E（(1-y0)2，1-y0）
同理可得F（(1+y0)2，-(1+y0)），
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设重心为G(x, y)，则有x=xM+xE+xF3y=yM+yE+yF3
代入坐标得x=2+3y023y=-y03
消去参数y0得y2=19x-227(x>23)
22.解：先考虑偶数项，有：S2n-S2n-2=3×(-12)2n-1=-3×(12)2n-1，
S2n-2-S2n-4=-3×(12)2n-3，…，S4-S2=-3×(12)3，
∴ S2n=S2-3[(12)2n-1+(12)2n-3]+…+(12)3]=-2+(12)2n-1．
同理考虑奇数项有S2n+1=3×(12)2n，S2n-1=3×(12)2n-2，…，S3-S1=3×(12)2，
∴ S2n+1=S1+3[(12)2n+(12)2n-2+…+(12)2]=2-(12)2n．n≥1
∴ a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×(12)2n，n≥1，a2n=S2n-S2n-1=-4+3×(12)2n-1，n≥1．a1=S1=1，
∴ an=4-3×(12)n+1，n是奇数-4+3×(12)n-1，n为偶数．
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