2017年度高考数学快速命中考点11
2014高考数学快速命中考点11
一、选择题
1．在空间中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC的大小为( )
A．45° B．90°
C．120° D．135°
【解析】 由＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)得
cos〈，〉＝＝＝－，
又0°≤〈，〉≤180°，
∴∠ABC＝135°.
【答案】 D
2．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B.
C. D.
【解析】 画出三棱柱ABC—A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．
如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC—A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.
又AO＝×＝1，∴tan∠PAO＝＝，
∴∠PAO＝.
【答案】 B
3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点．则P(0,0，a)，B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，又＝，
·＝0＋－＝0，
所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB，又DF∩DE＝D，
所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.
【答案】 D
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 以A为原点建立空间直角坐标系，如图．
设棱长为1，
则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
所以＝(0,1，－1)，
＝，
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
则所以
所以n1＝(1,2,2)．
设平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，
所以|cos〈n1，n2〉|＝＝.
即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.
【答案】 B
5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为
( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
【解析】 不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，如图．
因为∠EPM＝∠FPN＝45°，
所以PE＝a，PF＝b，
所以·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b
＝－－＋＝0.
所以⊥，
所以二面角α—AB—β的大小为90°.
【答案】 D
二、填空题
6．已知a＝(2，－1,1)，b＝(－1,4，－2)，c＝(11,5，λ)．若向量a，b，c共面，则λ＝________.
【解析】 由向量a，b，c共面可得c＝xa＋yb(x，y∈R)，
故有解得
【答案】 1
7．已知空间不共面四点O、A、B、C，·＝·＝·＝0，且||＝||＝||，＝，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．
【解析】 由题意可知，OA、OB、OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0，0,1)，M(，，0)，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(，，0)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由，得，令x＝1，得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
故cos
＝＝，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，正切值为.
【答案】
8．如图4－3－11，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：
图4－3－11
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线．
其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
【解析】 因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VA—D1PC＝VP—ACD1为定值， ①正确；P到面ACD1的距离不变，但AP的长在变化，所以AP与面ACD1所成角的大小是变量，②错误；面PAD1即面ABC1D1，所以面ABC1D1与面ACD1所成二面角的大小不变，③正确；M点的轨迹为A1D1，④正确．
【答案】 ①③④
三、解答题
9．如图4－3－12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E.F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D—AE—C的平面角为135°.
图4－3－12
(1)求证：平面DCE⊥平面ABCE；
(2)求直线FG与平面DCE所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：∵DE⊥AE，CE⊥AE，DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面CDE，
∴AE⊥平面CDE，
∵AE⊂平面ABCE，
∴平面DCE⊥平面ABCE.
(2)以E为原点，EA、EC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系
∵DE⊥AE，CE⊥AE，
∴∠DEC是二面角D—AE—C的平面角，即∠DEC＝135°，
∵AB＝1，BC＝2，折起前CD＝1＋，折起前后CE＝1，DE＝不变，
∴A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，E(0,0,0)，D(0，－1,1)．
∵F、G分别是CE、AD的中点，
∴F，G
∴＝，＝(－2,0,0)，
由(1)知是平面DCE的法向量，
设直线FG与平面DCE所成角为α，
则sin α＝＝＝，
故直线FG与平面DCE所成角的正弦值为.
10．如图4－3－13，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
图4－3－13
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．
【解】 (1)如图(1)，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以BC⊥AD，则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥l.
又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(1)
(2)设A1A
＝1，则AB＝AC＝2.如图，过点A1作A1E平行于C1B1，以点A1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz(点O与点A1重合 )，则A1(0,0,0)，A(0,0,1)．
(2)
因为P为AD的中点，
所以M，N分别为AB，AC的中点，
故M，N，
所以＝，＝(0,0,1)，＝(，0,0)．
设平面AA1M的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
即
故有
从而
取x1＝1，则y1＝－，所以n1＝(1，－，0)．
设平面A1MN的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
故有
从而
取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)．
设二面角A－A1M－N的平面角为θ，又θ为锐角，
则cos θ＝＝
＝.
故二面角A－A1M－N的余弦值为.
11．已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．
图4－3－14
(1)求证：平面AEF∥平面BDGH.
(2)若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．
【解】 (1)G、H分别是CE、CF的中点，
所以EF∥GH.
连接AC与BD交与O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，
连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OG∥AE.
又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，则平面AEF∥平面BDGH.
(2)BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，
所以BF⊥平面ABCD.
取EF的中点N，连接ON，则ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，
建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝2，BF＝t(t＞0)，
则B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，H，＝(1,0,0)，＝.
设平面BDGH的法向量为n1＝(x，y，z)，
即n1＝(0，－t，)，
平面ABCD的法向量n2＝(0,0,1)，
|cos〈n1，n2〉|＝＝，所以t2＝9，t＝3，
所以＝(1，－，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，
sin θ＝|cos〈，n1〉|＝＝.
