【数学】四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试(理)

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【数学】四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试(理)

四川省泸县第四中学2019-2020学年 高二下学期期末模拟考试(理)‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为 A.-2 B.2 C. D.‎ ‎2.已知,则下列推理中正确的是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.已知,则 A. B.0 C.1 D.2‎ ‎4.已知双曲线的方程是 ,则其离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知命题p:∀x∈R,x+≥2;命题q:∃x0∈ ,使sin x0+cos x0=,则下列命题中为真命题的是 A.(p)∧q B.p∧(q) C.(p)∧(q) D.p∧q ‎6.已知随机变量服从正态分布,若,则 A. B. C. D.‎ ‎7.若直线垂直,则二项式的展开式中的系数为 A. B. C.2 D.‎ ‎8.2020年高考强基计划中,北京大学给了我校10个推荐名额,现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级,这6个班级每班至少要给一个名额,则关于分配方案的种数为 A.462 B.126‎ C.210 D.132‎ ‎9.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为,若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为,则他第球投进的概率为 A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值是 ‎ A. B. C.或 D.无法确定 ‎11.已知直线经过抛物线的焦点,与交于两点,若,则的值为 A. B. C.1 D.2‎ ‎12.设函数在上存在导数,对任意的有,且时,若,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.在学校的春季运动会上,一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下:(单位:米),则这5位学生立定跳远成绩的中位数为______________米.‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎15.已知实数满足约束条件,则的取值范围是__________.‎ ‎16.若函数满足对任意的,都有 成立,则称函数在区间上是“被约束的”.若函数在区间上是“被2约束的”,则实数的取值范围是____________.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录,绘制出日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组区间的频率视为概率,且假设每天的销售量相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求在未来的连续4天中,有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率;‎ ‎(Ⅱ)用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎18.(12分)设函数,且是的极值点.‎ ‎(Ⅰ)求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间.‎ ‎19.(12分)如图所示,直三棱柱的各棱长均相等,点为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的离心率为,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆E相交于A,B两点,设P为椭圆E上一动点,且满足(O为坐标原点).当时,求的最小值.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若在区间内有唯一的零点,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)过点,倾斜角为的直线l与曲线C相交于M,N两点,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)对,,求证:.‎ 参考答案 ‎1.B 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.D 10.C ‎ ‎11.B 12.B ‎13.2.1 14. 15. 16.‎ ‎17.(1)设日销量为,有2天日销售量低于100枝,另外2天不低于150枝为事件.则,,‎ ‎∴.‎ ‎(2)日销售量不低于100枝的概率,则,于是,‎ 则分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴.‎ ‎18.(Ⅰ).因为是函数的极值点.‎ 所以,即,因此,经验证,当时,是函数的极值点.‎ ‎(Ⅱ)可知,‎ ‎.‎ 因为,当或,,‎ 当或,‎ 所以的单调增区间是和;单调减区间是和.‎ ‎19.(1)设与交点为,连接,.‎ 由题可知四边形为正方形,所以,且为中点.‎ 又因,,所以,所以.‎ 又因为,所以平面.‎ 因为平面,所以.‎ ‎(2)取的中点,连接,,在平面过点内作的垂线,如图所示,建立空间直角坐标系.‎ 设,则,,,.‎ 所以,.‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,令,则.‎ 由(1)可知平面的一个法向量为,‎ 则.‎ 由图可知二面角为锐角,所以其余弦值为.‎ ‎20.解:(1)依题意得,.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为,则,解得,.所以椭圆E的方程为.‎ ‎(2)设A,B两点的坐标分别为,‎ 联立方程得,,‎ ‎,,‎ 因为,即,所以.‎ 所以点,又点P在椭圆C上,所以有,‎ 化简得,‎ 所以,化简,因为,所以,因为,‎ 又,,所以.‎ 令,则,当时,取得最小值,最小值为.‎ ‎21.(1),‎ ‎①当时,,在上单调递增 ‎ ‎②当时,设的两个根为,且 ‎ ‎ 在单调递増,在单调递减.‎ ‎(2)依题可知,若在区间内有唯一的零点,由(1)可知,‎ 且. 于是: ① ② ‎ 由①②得,设,‎ 则,因此在上单调递减,‎ 又, ‎ 根据零点存在定理,故.‎ ‎22.(1)因为曲线C的参数方程为,(为参数),‎ 所以曲线C的直角坐标方程为,‎ 即,将,,,‎ 代入上式得.‎ ‎(2)直线l的参数方程为,(t为参数),‎ 将代入,整理得,‎ 设点M,N所对应的参数分别为,,则,,,‎ 因为,异号,所以.‎ ‎23.解:(Ⅰ)令 当时,由,得,‎ 当时,由,得,∴不等式的解集为. ‎ ‎(Ⅱ),又∵,‎ ‎∴(当且仅当时取等),‎ ‎∴.‎
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