1993全国高考理科数学试题

1993全国高考理科数学试题

‎1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题共68分)‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．‎ ‎3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．‎ 一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎(1)函数f (x)=sinx+cosx的最小正周期是 ( )‎ ‎(A) 2π ‎(B) ‎ ‎(C) π ‎(D) ‎ ‎(2)如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) 2‎ ‎(3)和直线3x－4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( )‎ ‎(A) 3x+4y－5=0‎ ‎(B) 3x+4y+5=0‎ ‎(C) －3x+4y－5=0‎ ‎(D) －3x+4y+5=0‎ ‎(4)极坐标方程所表示的曲线是 ( )‎ ‎(A) 焦点到准线距离为的椭圆 ‎(B) 焦点到准线距离为的双曲线右支 ‎(C) 焦点到准线距离为的椭圆 ‎(D) 焦点到准线距离为的双曲线右支 ‎(5)在[－1，1]上是 ( )‎ ‎(A) 增函数且是奇函数 ‎(B) 增函数且是偶函数 ‎(C) 减函数且是奇函数 ‎(D) 减函数且是偶函数 ‎(6)的值为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(7) 集合，则 ( )‎ ‎(A) M=N ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) Ø ‎(8)sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(9)参数方程 表示 ( )‎ ‎(A) 双曲线的一支，这支过点 ‎(B) 抛物线的一部分，这部分过 ‎(C) 双曲线的一支，这支过点 ‎(D) 抛物线的一部分，这部分过 ‎(10)若a、b是任意实数，且a>b，则 ( )‎ ‎(A) a2>b2‎ ‎(B) ‎ ‎(C) lg(a－b)>0‎ ‎(D) ‎ ‎(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为 ( )‎ ‎(A) 圆 ‎(B) 椭圆 ‎(C) 双曲线的一支 ‎(D) 抛物线 ‎(12)圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(13)(+1)4(x－1)5展开式中x4的系数为 ( )‎ ‎(A) －40‎ ‎(B) 10‎ ‎(C) 40‎ ‎(D) 45‎ ‎(14)直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π，则旋转体的体积为 ( )‎ ‎(A) 2π ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(15)已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则 ( )‎ ‎(A) a1+ a8> a4+ a5‎ ‎(B) a1+ a8< a4+ a5‎ ‎(C) a1+ a8= a4+ a5‎ ‎(D) a1+ a8和a4+ a5的大小关系不能由已知条件确定 ‎(16)设有如下三个命题：‎ 甲：相交两直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内．‎ 乙：l，m之中至少有一条与β相交．‎ 丙：α与β相交．‎ 当甲成立时 ( )‎ ‎(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 ‎(B) 乙是丙的必要而不充分的条件 ‎(C) 乙是丙的充分且必要的条件 ‎(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 ‎(17)将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( )‎ ‎(A) 6种 ‎(B) 9种 ‎(C) 11种 ‎(D) 23种 第Ⅱ卷(非选择题共82分)‎ 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂．‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ 二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．‎ ‎(18)= ________________‎ ‎(19)若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________________‎ ‎(20)从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______________种取法(用数字作答)．‎ ‎(21)设f (x)=4x－2x+1，则f－1(0)=_____________ ‎ ‎(22)建造一个容积为8m3 ，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元 ‎(23)如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为__________度 三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．‎ ‎(24)(本小题满分10分)‎ 已知f (x)=loga(a>0，a≠1)．‎ ‎(Ⅰ)求f (x)的定义域；‎ ‎(Ⅱ)判断f (x)的奇偶性并予以证明；‎ ‎(Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范围．‎ ‎(25)(本小题满分12分)‎ 已知数列 Sn为其前n项和．计算得 ‎ ‎ 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎(26)(本小题满分12分)‎ 已知：平面α∩平面β=直线a．‎ α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．‎ 求证：(Ⅰ)a⊥γ；‎ ‎(Ⅱ)b⊥γ．‎ ‎(27)(本小题满分12分)‎ 在面积为1的△PMN中，tg∠PMN=，tg∠MNP=－2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．‎ ‎(28)(本小题满分12分)‎ 设复数，，并且，，求θ．‎ ‎1993年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准 说明：‎ ‎1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．‎ ‎(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B ‎ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．‎ ‎(18) (19){k||k|>} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30‎ 三、解答题 ‎(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．‎ 解 (Ⅰ)由对数函数的定义知． ——1分 如果，则－11，loga等价于 ‎， ①‎ 而从(Ⅰ)知1－x>0，故①等价于1+x>1－x，又等价于x>0．故对a>1，当x∈(0，1)时 有f(x)>0． ——9分 ‎(ⅱ)对00，故②等价于－10． ——12分 ‎(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．‎ 解 ． ——4分 证明如下：‎ ‎(Ⅰ)当n=1时，，等式成立． ——6分 ‎(Ⅱ)设当n=k时等式成立，即 ‎ ——7分 则 ‎ 由此可知，当n=k+1时等式也成立． ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n∈N都成立． ——10分 ‎(26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．‎ 证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC． ——1分 ‎∵ γ⊥α，‎ ‎∴ PM⊥α．‎ 而 aα，‎ ‎∴ PM⊥a．‎ 同理PN⊥a． ——4分 又 PMγ，PNγ，‎ ‎∴ a⊥γ． ——6分 ‎(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2． ——7分 ‎∵ b∥α，∴ b∥a1．‎ 同理b∥a2． ——8分 ‎∵ a1，a2同过Q且平行于b，‎ ‎∵ a1，a2重合．‎ 又 a1α，a2β，‎ ‎∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a． ——10分 ‎∵ b∥a1，∴ b∥a．‎ 而a⊥γ，‎ ‎∴ b⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．‎ 证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ． ——1分 ‎∵ α⊥γ，P∈α，‎ ‎∴ a′α．‎ 同理a′β． ——3分 可见a′是α，β的交线．‎ 因而a′重合于a． ——5分 又 a′⊥γ，‎ ‎∴ a⊥γ． ——6分 ‎(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d． ——7分 ‎∵ b∥α，b∥β．‎ ‎∴ b∥c，b∥d． ——8分 又 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．‎ 于是c∥β． ——9分 ‎∵ c∥β，cα，α∩β=a，‎ ‎∴ c∥a． ——10分 ‎∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，‎ ‎∴ b∥a． ——11分 而 a⊥γ，‎ ‎∴ b⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．‎ ‎(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．‎ 解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M (－c，0)，N (c，0)． —1分 由tgM=，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x－c)．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为(c，c)． ——5分 在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故 由题设条件S△MNP=1，∴ c=，即P点坐标为． ——7分 由两点间的距离公式 ‎，‎ ‎．‎ ‎ 得 ． ——10分 又 b2=a2－c2=，故所求椭圆方程为 ‎ ． ——12分 解法二同解法一得，P点的坐标为． ——7分 ‎∵ 点P在椭圆上，且a2=b2+c2．‎ ‎∴ ．‎ 化简得3b4－8b2－3=0．‎ 解得b2=3，或b2= (舍去)． ——10分 又 a2=b2+c2=3+．‎ 故所求椭圆方程为． ——12分 解法三同解法一建立坐标系． ——1分 ‎∵ ∠P=∠α－∠PMN，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ∠P为锐角．‎ ‎∴ sinP=，cosP=．‎ 而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1，∴ |PM|·|PN|=． ——4分 ‎∵ |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理，‎ ‎(2c)2=|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP ‎=(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP)‎ ‎=(2a)2－2·－2··，‎ ‎∴ c2=a2－3，即b2=3． ——7分 又 sinM=，sinN=，由正弦定理，‎ ‎，‎ ‎∴ ．‎ 即 ，‎ ‎∴ a=c． ——10分 ‎∴ a2=b2+c2=3+．‎ ‎∴ a2=．‎ 故所求椭圆方程为． ——12分 ‎(28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分．‎ 解法一 ‎ ——2分 ‎． ——5分 ‎． ——6分 因，故有 ‎(ⅰ)当时，得或，这时都有 ‎，‎ 得，适合题意． ——10分 ‎(ⅱ)当时，得或，这时都有 ‎，‎ 得，不适合题意，舍去．‎ 综合(ⅰ)、(ⅱ)知或． ——2分 解法二 ‎．‎ 记，得．‎ ‎． ——2分 ‎． ——5分 ‎∵ ，，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎∴ ——8分 当①成立时，②恒成立，所以应满足 ‎(ⅰ) ，或(ⅱ) ， ——10分 解(ⅰ)得或．(ⅱ)无解．‎ 综合(ⅰ)、(ⅱ) 或． ——12分