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文档介绍
浙江专用2020高考数学二轮复习专题六计数原理与古典概率第3讲独立重复试验模型及二项分布教案
- 1 - 第 3 讲 独立重复试验模型及二项分布 相互独立事件 [核心提炼] 相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A、B 是相互独立事件． (2)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立． (3)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立． [典型例题] (1)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)小明喜欢玩有三个关卡的通关游戏， 根据他的游玩经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通过的概率分别为1 2 ，1 3 ，1 4 (这 个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游 戏的得分会有影响)，则小明在开启一个新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为________， 设 X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量 X 的数学期望为________． (2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2 3 和3 5 .现安排甲组 研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立． ①求至少有一种新产品研发成功的概率； ②若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业 可获利润 100 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 【解】 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3. 又 P(X＝2)＝(1－1 2 )×1 3 ×1 4 ＋1 2 ×(1－1 3 )×1 4 ＋1 2 ×1 3 ×(1－1 4 )＝1 4 ， P(X＝0)＝ 1－1 2 × 1－1 3 × 1－1 4 ＝1 4 ， P(X＝1)＝1 2 × 1－1 3 × 1－1 4 ＋ 1－1 2 ×1 3 × 1－1 4 ＋ 1－1 2 × 1－1 3 ×1 4 ＝11 24 ， P(X＝3)＝1 2 ×1 3 ×1 4 ＝ 1 24 . 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 - 2 - 所以 E(X)＝0×1 4 ＋1×11 24 ＋2×1 4 ＋3× 1 24 ＝13 12 . 故填1 4 和13 12 . (2)记 E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知 P(E)＝2 3 ，P( E－) ＝1 3 ，P(F)＝3 5 ，P( F－)＝2 5 ，且事件 E 与 F，E 与 F－， E－与 F， E－与 F－都相互独立． ①记 H＝{至少有一种新产品研发成功}， 则 H－＝ E－ F－， 于是 P( H－)＝P( E－)P( F－)＝1 3 ×2 5 ＝ 2 15 ， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H－)＝1－ 2 15 ＝13 15 . ②设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0，100，120，220.因为 P(X＝0)＝P( E－ F－) ＝1 3 ×2 5 ＝ 2 15 ， P(X＝100)＝P( E－F)＝1 3 ×3 5 ＝ 3 15 ， P(X＝120)＝P(E F－)＝2 3 ×2 5 ＝ 4 15 ， P(X＝220)＝P(EF)＝2 3 ×3 5 ＝ 6 15 ， 故所求 X 的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 数学期望为 E(X)＝0× 2 15 ＋100× 3 15 ＋120× 4 15 ＋220× 6 15 ＝300＋480＋1 320 15 ＝2 100 15 ＝ 140. (1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积， 然后利用相关公式进行计算． (2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性． (3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生” 的情况，可结合对立事件的概率求解． - 3 - 与相互独立事件 A，B 有关的概率的计算公式如下表： 事件 A，B 相互独立 概率计算公式 A，B 同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B 同时 不发生 P( A－ B－)＝P( A－)P( B－) ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B 至少有一个不发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B) A，B 至少有一个发生 P＝1－P( A－ B－)＝1－P( A－)P( B－) ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B 恰有一个发生 P＝P(A B－＋ A－B) ＝P(A)P( B－)＋P( A－)P(B) [对点训练] 1．天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率为 0.2，乙地降雨的概率为 P，若至少一个地 方降雨的概率为 0.44，则 P 的值为( ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 解析：选 C.设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则至少一个地方降雨的事件 C＝ (AB)∪( A－B)∪(A B－)． 所以 P(C)＝P(AB)＋P( A－B)＋P(A B－) ＝0.2P＋0.8P＋0.2(1－P)＝0.44，解得 P＝0.3. 2．(2019·温州十五校联合体期末联考)王先生家住 A 小区，他工作在 B 科技园区，从家 开车到公司上班路上有 L1，L2 两条路线(如图)，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到 红灯的概率均为1 2 ；L2 路线上有 B1，B2 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为3 4 ，3 5 .若走 L1 路线，王先生最多遇到 1 次红灯的概率为________；若走 L2 路线，王先生遇到红灯次数 X 的 数学期望为________． 解析：走 L1 路线最多遇到 1 次红灯的概率为 C0 3×(1 2 )3＋C1 3×1 2 ×(1 2 )2＝1 2 ； 依题意 X 的可能取值为 0，1，2，则由题意 P(X＝0)＝(1－3 4 )(1－3 5 )＝ 1 10 ， - 4 - P(X＝1)＝3 4 ×(1－3 5 )＋(1－3 4 )·3 5 ＝ 9 20 ，P(X＝2)＝3 4 ·3 5 ＝ 9 20 ，所以 E(X)＝0× 1 10 ＋1× 9 20 ＋ 2× 9 20 ＝27 20 . 答案：1 2 27 20 两点分布、二项分布 [核心提炼] 1．两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中 p＝P(X＝1)称为成功概率． 2．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这 种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概 率都是一样的． (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概 率为 p，则 P(X＝k)＝Ck npk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布， 记为 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 X X 服从两点分布 X～B(n, p) E(X) p(p 为成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) [典型例题] (1)若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P a 2 a2 2 则 X 的数学期望 E(X)＝( ) A．2 B．2 或1 2 C.1 2 D．1 - 5 - (2)在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖；否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是2 3 . ①记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望和方差； ②求教师甲在一场比赛中获奖的概率． 【解】 (1)选 C.因为分布列中概率和为 1，所以a 2 ＋a2 2 ＝1，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝－ 2(舍去)或 a＝1，所以 E(X)＝1 2 . (2)①X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，2 3 )，P(X＝k)＝ Ck 6·(2 3 )k·(1 3 )6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 729 4 243 20 243 160 729 80 243 64 243 64 729 因为 X～B(6，2 3 )，所以 E(X)＝6×2 3 ＝4. D(X)＝6×2 3 ×1 3 ＝4 3 . ②设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A， 则 P(A)＝C2 4·(1 3 )2·(2 3 )4＋C1 4·1 3 ·(2 3 )5＋(2 3 )6＝32 81 ，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为32 81 . (1)独立重复试验满足的条件 独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种 试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中 发生的概率都是一样的． (2)二项分布的判断 ①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数． [对点训练] - 6 - 1．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若 P(ξ≥1)＝5 9 ，则 P(η≥2)的值为( ) A.32 81 B.11 27 C.65 81 D.16 81 解析：选 B.因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－ (1－p)2＝5 9 ，解得 p＝1 3 ，所以η～B(4，1 3 )，则 P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－ 1－1 3 4 －C1 4× 1－1 3 3 ×1 3 ＝11 27 . 2．某风沙盐碱地为了摆脱经济不发达的困扰，决定种植一片环保林，已知在一年中，该 环保林在当地每季度遭受自然灾害的概率为1 2 ，且每次受灾与否互不影响．若在 1 年内，没有 受灾，地方经济可增加 100 万元；受灾一次，仍可增加 40 万元；受灾 2 次，经济可增加 10 万元；若受灾 3 次或 3 次以上，地方经济不但没有增加反而减少 10 万元．求该地种植环保林 后在 1 年内的经济增加值 X 的分布列和数学期望． 解：依题意：X 的可能取值为 100，40，10，－10. 且 P(X＝100)＝C0 4 1 2 0 × 1 2 4 ＝ 1 16 ， P(X＝40)＝C1 4 1 2 1 × 1 2 3 ＝1 4 ， P(X＝10)＝C2 4 1 2 2 × 1 2 2 ＝3 8 ， P(X＝－10)＝C3 4 1 2 3 × 1 2 1 ＋C4 4 1 2 4 × 1 2 0 ＝ 5 16 . 所以 X 的分布列为 X 100 40 10 －10 P 1 16 1 4 3 8 5 16 所以 E(X)＝100× 1 16 ＋40×1 4 ＋10×3 8 ＋(－10)× 5 16 ＝135 8 . 专题强化训练 1．如果ξ～B(5，0.1)，那么 P(ξ≤2)＝( ) - 7 - A．0.072 9 B．0.008 56 C．0.918 54 D．0.991 44 解析：选 D.P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2) ＝错误!Ck 5·(0.1)k·(0.9)5－k ＝(0.9)5＋5×(0.1)×(0.9)4＋5×4 2 ×(0.1)2×(0.9)3 ＝0.590 49＋0.328 05＋0.072 9 ＝0.991 44. 2．在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分，若某运动员罚球命中的概率为 0.8， 则他罚球两次得分的均值为( ) A．0.8 分 B．1.2 分 C．1.6 分 D．2 分 解析：选 C.设罚球得分为 X，则 X 的所有取值为 0，1，2. P(X＝0)＝C0 2×0.80×0.22＝0.04， P(X＝1)＝C1 2×0.8×0.2＝0.32， P(X＝2)＝C2 2×0.82×0.20＝0.64， E(X)＝0.04×0＋0.32×1＋0.64×2＝1.6. 3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A，“骰子向上 的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一个发生的概率是( ) A. 5 12 B.1 2 C. 7 12 D.3 4 解析：选 C.依题意，得 P(A)＝1 2 ，P(B)＝1 6 ，且事件 A，B 相互独立，则事件 A，B 中至少 有一个发生的概率为 1－P( A－· B－)＝1－P( A－)·P( B－)＝1－1 2 ×5 6 ＝ 7 12 ，故选 C. 4．投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的 概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：选 A.3 次投篮投中 2 次的概率为 P(X＝2)＝C2 3×0.62×(1－0.6)，投中 3 次的概率 为 P(X＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为 P(X＝2)＋P(X＝3)＝C2 3×0.62×(1－0.6)＋0.63＝ 0.648.故选 A. - 8 - 5．(2019·台州高三期末质量评估)经检测，有一批产品的合格率为3 4 ，现从这批产品中 任取 5 件，设取得合格产品的件数为ξ，则 P(ξ＝k)取得最大值时，k 的值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选 B.根据题意得，P(ξ＝k)＝Ck 5 3 4 k (1－3 4 )5－k，k＝0，1，2，3，4，5，则 P(ξ＝ 0)＝C0 5 3 4 0 × 1 4 5 ＝1 45，P(ξ＝1)＝C1 5(3 4 )1×(1 4 )4＝15 45 ，P(ξ＝2)＝C2 5(3 4 )2×(1 4 )3＝90 45 ，P(ξ＝3) ＝C3 5(3 4 )3×(1 4 )2＝270 45 ，P(ξ＝4)＝C4 5(3 4 )4×(1 4 )1＝405 45 ，P(ξ＝5)＝C5 5(3 4 )5×(1 4 )0＝243 45 ，故当 k ＝4 时， P(ξ＝k)最大． 6．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活 动，具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直 射击到 3 次为止．设甲每次击中的概率为 p(p≠0)，射击次数为η，若η的数学期望 E(η)>7 4 ， 则 p 的取值范围是( ) A. 0，1 2 B．(0，1) C. 1 2 ，1 D. 0，1 2 解析：选 A.由已知得 P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则 E(η) ＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>7 4 ，解得 p>5 2 或 p<1 2 ，又 p∈(0，1)，所以 p∈ 0，1 2 . 7．一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 DX＝________． 解析：依题意，X～B(100，0.02)，所以 DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3 ，乙去北京旅游的概率为1 4 ，假定二人的行动相 互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为________． 解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A，“乙去北京旅游”为事件 B，又 P( A－ B－) - 9 - ＝P( A－)·P( B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝ 1－1 3 1－1 4 ＝1 2 ， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概 率为 1－P( A－ B－)＝1－1 2 ＝1 2 . 答案：1 2 9．抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次 试验中成功次数的均值为________． 解析：抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的概率为4 6 ×4 6 ＝4 9 ，所以至少有一 次出现 5 点或 6 点的概率为 1－4 9 ＝5 9 ，用 X 表示 10 次试验中成功的次数，则 X～B 10，5 9 ， E(X)＝10×5 9 ＝50 9 . 答案：50 9 10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕 业生得到甲公司面试的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其 面试是相互独立的．记 X 为该毕业生得到面试的公司个数．若 P(X＝0)＝ 1 12 ，则随机变量 X 的 数学期望 E(X)＝________． 解析：由题意知 P(X＝0)＝1 3 (1－p)2＝ 1 12 ，所以 p＝1 2 . 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 12 1 3 5 12 1 6 E(X)＝0× 1 12 ＋1×1 3 ＋2× 5 12 ＋3×1 6 ＝5 3 . 答案：5 3 11．(2019·开封第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为 20 万元，此产品的产 量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 产量(吨) 30 50 - 10 - 概率 0.5 0.5 市场价格(万元/吨) 0.6 1 概率 0.4 0.6 (1)设 X 表示 1 个生产周期此产品的利润，求 X 的分布列； (2)连续 3 个生产周期，求这 3 个生产周期中至少有 2 个生产周期的利润不少于 10 万元 的概率． 解：(1)设 A 表示事件“产品产量为 30 吨”，B 表示事件“产品市场价格为 0.6 万元/吨”， 则 P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以 X 的所有值为 50×1－20＝30，50×0.6－20＝10， 30×1－20＝10，30×0.6－20＝－2， 则 P(X＝30)＝P( A )P( B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P(X＝10)＝P( A )P(B)＋P(A)P( B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝－2)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 则 X 的分布列为 X 30 10 －2 P 0.3 0.5 0.2 (2)设 Ci 表示事件“第 i 个生产周期的利润不少于 10 万元” (i＝1，2，3)，则 C1，C2，C3 相互独立， 由(1)知，P(Ci)＝P(X＝30)＋P(X＝10)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)， 连续 3 个生产周期的利润均不少于 10 万元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝ 0.512， 连续 3 个生产周期中有 2 个生产周期的利润不少于 10 万元的概率为 P( C1 C2C3)＋ P(C1 C2 C3)＋P(C1C2 C3 )＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以连续 3 个生产周期中至少有 2 个生产周期的利润不少于 10 万元的概率为 0.512＋ 0.384＝0.896. 12．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放 1 个． (1)若小王发放 5 元的红包 2 个，求甲恰得 1 个的概率； (2)若小王发放 3 个红包，其中 5 元的 2 个，10 元的 1 个．记乙所得红包的总钱数为 X， 求 X 的分布列及数学期望． - 11 - 解：(1)设“甲恰得 1 个红包”为事件 A， 则 P(A)＝C1 2×1 3 ×2 3 ＝4 9 . (2)X 的所有可能取值为 0，5，10，15，20. P(X＝0)＝ 2 3 3 ＝ 8 27 ， P(X＝5)＝C1 2×1 3 × 2 3 2 ＝ 8 27 ， P(X＝10)＝ 1 3 2 ×2 3 ＋ 2 3 2 ×1 3 ＝ 6 27 ， P(X＝15)＝C1 2× 1 3 2 ×2 3 ＝ 4 27 ， P(X＝20)＝ 1 3 3 ＝ 1 27 . X 的分布列为： X 0 5 10 15 20 P 8 27 8 27 6 27 4 27 1 27 E(X)＝0× 8 27 ＋5× 8 27 ＋10× 6 27 ＋15× 4 27 ＋20× 1 27 ＝20 3 . 13．在 2017 年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从 6 道 备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中 2 题的便可通过．已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确回答，2 题不能回答；考生乙每题正确 回答的概率都为2 3 ，且每题正确回答与否互不影响． (1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列、并计算其数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力． 解：(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η.则ξ的可能取值为 1，2，3， P(ξ＝1)＝C1 4C2 2 C3 6 ＝1 5 ， P(ξ＝2)＝C2 4C1 2 C3 6 ＝3 5 ， P(ξ＝3)＝C3 4C0 2 C3 6 ＝1 5 ， 所以考生甲正确回答题数的分布列为 - 12 - ξ 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 E(ξ)＝1×1 5 ＋2×3 5 ＋3×1 5 ＝2. 又η～B 3，2 3 ，其分布列为 η 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 所以 E(η)＝np＝3×2 3 ＝2. (2)因为 D(ξ)＝(2－1)2×1 5 ＋(2－2)2×3 5 ＋(2－3)2×1 5 ＝2 5 . D(η)＝np(1－p)＝3×2 3 ×1 3 ＝2 3 . 所以 D(ξ)查看更多