2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)11:计数原理与二项式定理

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2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)11:计数原理与二项式定理

‎2012高考真题分类汇编:计数原理与二项式 ‎1.【2012高考真题重庆理4】的展开式中常数项为 A. B. C. D.105‎ ‎【答案】B ‎【解析】二项展开式的通项为,令,解得,所以,选B ‎2.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 A.60种    B.63种    C.65种   D.66种 ‎ 【答案】D ‎【解析】从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数的取法分为三类;第一类是取四个偶数,即种方法;第一类是取两个奇数,两个偶数,即种方法;第三类是取四个奇数,即故有5+60+1=66种方法。故选D。‎ ‎3.【2012高考真题新课标理2】将名教师,名学生分成个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,‎ 每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方案共有( )‎ ‎ 种 种 种 种 ‎【答案】A ‎【解析】先安排老师有种方法,在安排学生有,所以共有12种安排方案,选A.‎ ‎4.【2012高考真题四川理1】的展开式中的系数是( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由二项式定理得,所以的系数为21,选D.‎ ‎5.【2012高考真题四川理11】方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )‎ A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 ‎ 【答案】B ‎【解析】本题可用排除法,,6选3全排列为120,这些方程所表示的曲线要是抛物线,则且,,要减去,又和时,方程出现重复,用分步计数原理可计算重复次数为,所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.‎ ‎6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )‎ A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】首先分类计算假如甲赢,比分3:0是1种情况;比分3:1共有3种情况,分别是前3局中(因为第四局肯定要赢),第一或第二或第三局输,其余局数获胜;比分是3:2共有6种情况,就是说前4局2:2,最后一局获胜,前4局中,用排列方法,从4局中选2局获胜,有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况,共有10+10=20种情况.故选C.‎ ‎7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 ‎(A)232 (B)252 (C)472 (D)484‎ ‎【答案】C ‎【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有种,若2色相同,则有;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有种,如同色则有,所以共有,故选C。‎ ‎8.【2012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 ‎(A)3×3! (B) 3×(3!)3 (C)(3!)4 (D) 9!‎ ‎【答案】C ‎【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有种排法,三个家庭共有种排法;再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为,答案为C ‎ ‎【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题。‎ ‎9.【2012高考真题湖北理5】设,且,若能被13整除,则 A.0 B.1 ‎ C.11 D.12‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于 ‎51=52-1,,‎ 又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.‎ ‎10.【2012高考真题北京理6】从0,2中选一个数字.从‎1.3.5‎中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )‎ A. 24 B. ‎18 C. 12 D. 6‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3种选择),之后十位(2种选择),最后百位(2种选择),共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理:个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不能是0,一种情况),共6种,因此总共12+6=18种情况。‎ ‎11.【2012高考真题安徽理7】的展开式的常数项是( )‎ ‎ [‎ ‎【答案】D ‎【命题立意】本题考查二项式定理的内容。‎ ‎【解析】第一个因式取,第二个因式取 得:,‎ 第一个因式取,第二个因式取得: 展开式的常数项是.‎ ‎12.【2012高考真题安徽理10】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到份纪念品的同学人数为( )‎ ‎ 或 或 或 或 ‎【答案】D ‎【命题立意】本题考查等排列组合的运算问题。‎ ‎【解析】.‎ ①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人,‎ ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人.‎ 循环不满足条件输出,选C.‎ ‎13.【2012高考真题天津理5】在的二项展开式中,的系数为 ‎(A)10 (B)-10‎ ‎ (C)40 (D)-40‎ ‎【答案】D ‎【解析】二项展开式的通项为,令,解得,所以,所以的系数为,选D.‎ ‎14.【2012高考真题全国卷理11】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 ‎(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种 ‎【答案】A ‎【解析】第一步先排第一列有,在排第二列,当第一列确定时,第二列有两种方法,如图,所以共有种,选A.‎ ‎15【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答).‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法,三门文化课中、都相邻有种排法,三门文化课中有两门相邻有,故所有的排法有,所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 ‎16.【2012高考真题浙江理14】若将函数表示为, 其中,,,…,为实数,则=______________.‎ ‎ 【答案】10‎ ‎【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.‎ 即:.‎ 法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即 ‎.‎ ‎17.【2012高考真题陕西理12】展开式中的系数为10, 则实数的值为 .‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】根据公式得,含有的项为,所以.‎ ‎18.【2012高考真题上海理5】在的二项展开式中,常数项等于 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二项展开式的通项为,令,得,所以常数项为。‎ ‎19.【2012高考真题广东理10】的展开式中x³的系数为______.(用数字作答)‎ ‎ 【答案】20‎ ‎ ‎ ‎【解析】,令得,所以.‎ ‎20.【2012高考真题湖南理13】( -)6的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知,所以二项展开式中的常数项为.‎ ‎【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.‎ ‎21.【2012高考真题福建理11】(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=_________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎ 【解析】根据公式得,含有的项为,所以.‎ ‎22.【2012高考真题全国卷理15】若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同,即,所以,所以展开式的通项为,令,解得,所以 ‎,所以的系数为. ‎
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