上海杨浦区中考三模数学试题及答案

上海杨浦区中考三模数学试题及答案

‎2014年杨浦区中考三模测试 数学试卷 ‎（满分150分，考试时间100分钟） 2014.5.8 ‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷含三个大题，共25题．‎ ‎2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．‎ ‎3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．点是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎（A）点表示的数一定是整数； （B）点表示的数一定是分数； ‎ ‎（C）点表示的数一定是有理数；（D）点表示的数可能是无理数．‎ ‎（第3题图）‎ ‎2．下列关于的方程一定有实数解的是（ ）‎ ‎（A）； （B）；‎ ‎ （C）；（D）．‎ 3． 某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名 ‎ 学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图），‎ ‎ 学生仰卧起坐次数在之间的频率为（ ）‎ ‎（A）0.1； （B）0.4； ‎ ‎（C）0.33； （D）0.17．‎ ‎4．将抛物线平移到抛物线的位置，以下描述正确的是（ ）‎ ‎（A）向左平移1单位，向上平移1个单位；（B）向右平移1单位，向上平移1个单位；‎ ‎（C）向左平移1单位，向下平移1个单位；（D）向右平移1单位，向下平移1个单位．‎ ‎5．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）‎ ‎ （A）菱形；（B）梯形；（C）正三角形；（D）正五边形．‎ ‎6．下列条件一定能推得△ABC与△DEF全等的是（ ）‎ ‎（A）在△ABC与△DEF中，，，； ‎ ‎（B）在△ABC与△DEF中，，，； ‎ ‎（C）在△ABC与△DEF中，，； ‎ ‎（D）在△ABC与△DEF中，，．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】‎ ‎7．计算：=.‎ ‎8．方程的解是.‎ ‎（第10题图）‎ ‎9．如果反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是.‎ ‎10．函数的大致图像如图所示，则当时，的取值 范围是.‎ 11． 黄老师在数学课上给出了6道练习题，要求每位同学独立完成。‎ 现将答对的题目数与相应的人数列表如下：‎ 答对题目数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 相应的人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎3‎ 则这些同学平均答对道题.‎ ‎12．从分别标有的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是.‎ ‎13．在Rt△ABC中，，点为边上的中点，如果,，那么=‎ ‎（用，表示）.‎ ‎ 14．如果人在一斜坡坡面上前行‎100米时，恰好在铅垂方向上上升了‎10米，那么该斜坡 ‎ 的坡度是.‎ ‎15．如图，△ABC中，，，的垂直平分线交于点，联结。‎ 如果，，那么△ADC的周长为.‎ 16． 如图，在Rt△ABC中，，，，以为圆心画圆，如果⊙‎ 与直线相切，那么⊙的半径长为.‎ ‎17．如果将点称为点的“反称点”，那么点也是点的“反称点”，‎ 此时，称点和点是互为“反称点”。容易发现，互为“反称点”的两点有时 是重合的，例如的“反称点”还是。请再写出一个这样的点：.‎ 18． 如图，在菱形中，，。将菱形绕点顺时针旋转，（旋转角小于），点分别落在处，当时 ‎（用含有和的代数式表示）.‎ ‎（第18题图）‎ ‎（第16题图）‎ ‎（第15题图）‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（本题满分10分）‎ 先化简，再求值：，．‎ ‎20．（本题满分10分）‎ 解不等式组：且写出使不等式组成立的所有整数。‎ ‎21．（本题满分10分）‎ 甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程（米）与跑步时间（分）之间的函数关系如图所示，根据图像所提供的信息解答问题：‎ ‎（1）他们在进行米的长跑训练，在的时段内，速度较快的人是；‎ ‎（第21题图）‎ ‎（2）求甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系；‎ ‎（3）当时，两人相距多少米？‎ ‎（4）在的时段内，求两人速度之差．‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 如图，已知⊙是△ABC的外接圆，半径长为5，点分别是边和边是中点，‎ ‎（第22题图）‎ ‎，。求的正切值。‎ ‎23．（本题满分12分，其中第（1）小题7分，第（2）小题5分）‎ 梯形中，//，，于点E，点在边上，且 ‎（第23题图）‎ ‎．‎ （1） 求证：；‎ （2） 若点为中点，求证：‎ ‎24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）‎ ‎（第24题图）‎ 直线过点，与轴交于点，与轴交于点，以点为顶点的抛物线经过点，且交轴于点。‎ （1） 求抛物线的表达式；‎ （2） 如果点在轴上，且△ACD与△PBC相似，求点的坐标；‎ （3） 如果直线与直线关于直线BC对称，‎ 求直线的表达式。‎ ‎25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）‎ 已知梯形中，//，，，，过点在的内 部作射线交射线于点，使得。‎ （1） 如图1，当为等腰梯形时，求的长；‎ （2） 当点与点重合时（如图2），求的长；‎ （3） 当△BCE为直角三角形时，求的长。‎ 备用图 图1‎ 图2‎ ‎（第25题图）‎ ‎2014年初三杨浦区三模数学试卷答案与评分标准 ‎2014.5.8‎ 一、 选择题 ‎1、D；2、C；3、B；4、C；5、A；6、D；‎ 二、 填空题 ‎7、；8、；9、；10、；11、4.5；12、；13、；14、；15、14；16、；17、（-1，1）（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）；18、；‎ 三、 解答题 ‎19、解:原式=-----------------------------------------（6分）‎ ‎==--------------------------------------------------------（2分）‎ 当时， 原式=-------------------------------------（2分）‎ ‎20、解：----------------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎-----------------------------------------------------------------------------------（2分）‎ 得---------------------------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎∴不等式组的解集是－2＜x≤3．-----------------------------------------------------（2分）‎ 使不等式组成立的所有整数是-1、0、1、2、3．----------------------------------（2分）‎ ‎21、解：（1）5000-------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 甲-------------------------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎（2）设所求直线的解析式为：y =kx+5000，-----------------------------------------（1分）‎ 由图象可知：当x=20时，y=0，‎ ‎∴0=20k+5000，解得k= -250. --------------------------------------------------（1分）‎ 即y = -250x+5000 ------------------------------------------------------------------（1分）‎ ‎（3）当x=15时，y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250. ------------（2分）‎ 两人相距： 2000-1250=750（米）. ----------------------------------------------（1分）‎ ‎(4) 两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）---------------------------------（2分）‎ ‎22、解：联结AO并延长交BC于点H，联结OC，‎ ‎∵AB=AC，∴，‎ ‎∵O为圆心，∴AH⊥BC，BH=HC，---------------------------------------------------------------(2分)‎ ‎∴HC=3，∵半径OC=5，∴OH=4，AH=9，------------------------------------------（2分）‎ ‎∴在Rt△AHC中，tan∠HAC=，即tan∠OAE=,----------------（2分）‎ ‎∵D、E分别是边AB和边AC的中点，∴DE//BC，∴AH⊥DE，∴∠OAE+∠AED=90°，‎ ‎∵E是边AC的中点，O为圆心，∴OE⊥AC，∴∠AED+∠OED=90°，‎ ‎∴∠OAE=∠OED，--------------------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎∴tan∠OED= tan∠OAE=.----------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎23、证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°，‎ ‎∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCE=90°，∴∠B=∠DCE，-----------（2分）‎ ‎∵，∴，∴△BCE∽△CEF，------(2分)‎ ‎∴∠BCE=∠CEF，------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎∴EF//BC，----------------------------------------------------------------------(1分)‎ ‎∴，即。--------------------------------(1分)‎ ‎（2）在梯形中，∵EF//BC，E为AB中点，∴，--------（1分）‎ ‎∵△BCE∽△CEF，∴，即，-----------------（1分）‎ ‎∴，---------------------------------------------------（1分）‎ 整理得--------------------------------------------------（2分）‎ ‎24、解：（1）∵过点A（１，－４），∴，∴k=2，∴B（3,0），（1分）‎ ‎∵以点A为顶点的抛物线经过点B，∴设解析式为，----（1分）‎ 且，∴，∴抛物线的表达式为。----（1分）‎ ‎（2）∵k=2，∴即为，∴D（0，-6），‎ ‎∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，-3），‎ ‎∵A（１，－４），∴∠DCA＝45°，且AC=，CD=3，‎ ‎∵B（3,0），C（0，-3），∴∠OCB＝45°，∴∠DCA＝∠OCB-------------------（1分）‎ ‎∵△ACD与△PBC相似，且点P在x轴上，‎ ‎∴点P在B点的左侧，且或，即或，‎ ‎∴BP=2或9， --------------------------------------------------------------------------（1分，1分）‎ ‎∴点P（1,0）或（-6,0）。--------------------------------------------------------------------（2分）‎ ‎（3）过点D作DH⊥BC并延长DH到点M，使HM=HD，联结CM、BM，----------（1分）‎ ‎∴直线BM即为直线l，且CM=CD，∠MCH＝∠DCH，‎ ‎∵C（0，-3），D（0，-6），∴CM=CD=3，‎ ‎∵B（3,0），C（0，-3），∴∠OCB＝45°，∴∠DCH＝∠OCB＝45°，‎ ‎∴∠MCH＝45°，∴∠MCD＝90°，即MC⊥y轴，∵MC=CD=3，‎ ‎∴M（-3，-3）,----------------------------------------------------------------------------（1分）‎ 设直线l的解析式为，则，--------------（2分）‎ ‎∴直线l的解析式为。‎ ‎25、解：（1）作AM//DC交BC于点M，‎ ‎∵AD//BC，∴ AMCD为平行四边形，------------------------------------------------------（1分）‎ ‎∴AM=DC，MC=AD=1，∴BM=BC-MC=2-1=1，‎ 作AH⊥BC于点H，‎ ‎∵ABCD为等腰梯形，∴AB=DC，∴AB=AM，∴BH=HM=------------（1分）‎ 在直角三角形ABH中，∵sinB=，∴cosB=，∴，∴。-----（2分）‎ ‎（2）∵AD//BC，∴∠DAC＝∠ACB，又∵∠DCE＝∠B，∴△ADC∽△CAB，----(1分)‎ ‎∴，∴,------------------------------------------------------（2分）‎ 作AF⊥BC于点F，设AB=x，∵sinB=，∴，∴，‎ 在直角三角形AFC中，，即，‎ ‎∴，-----------------------------------------------------------------------------------（2分）‎ 即当点A与点E重合时，或。‎ ‎（3）∵△BCE为直角三角形，∴BE⊥CE或BC⊥CE，‎ 情况一，当BE⊥CE时，如图1，‎ ‎∵∠DCE＝∠B，∠B+∠BCE=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，‎ 作AH⊥BC，则HC=AD=1，∴BH=BC-HC=2-1=1，又由sinB=可得，‎ cosB=，解得-------------------------------------------------------（2分）‎ 情况二，当BC⊥CE时，如图2，‎ 延长DA交CE的延长线于点F，设，则，，‎ 在直角三角形BCE中，∵BC=2，sinB=，∴，，‎ ‎∵AD//BC，BC⊥CE，∴AD⊥EC，又∵∠DCE＝∠B，∴△FDC∽△CEB，‎ ‎∴，即，∴，∴，‎ ‎∴-------------------------------------------------（3分）‎ ‎∴当△BCE为直角三角形时，或 图2‎