【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-2　立体图形的直观图

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-2　立体图形的直观图

‎8.2　立体图形的直观图 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(多选题)利用斜二测画法得到:①水平放置的三角形的直观图是三角形;②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;③水平放置的正方形的直观图是正方形;④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.① B.② C.③ D.④‎ 解析水平放置的n边形的直观图还是n边形,故①正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行于y轴的线段长度变为原来的一半,所以③④错误.‎ 答案AB ‎2.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',则△ABC是(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.‎ 又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.‎ 答案B ‎3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是(　　)‎ A.AB B.AD C.BC D.AC 解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC,故AC是最长的线段.‎ 答案D ‎4.‎ 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是(　　)‎ A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.‎ 在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD.‎ ‎∴OC==6=OA,∴原图形是菱形.‎ 答案C ‎5.(2020上海多校联考)用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为(　　)‎ A.2 B. C. D.‎ 解析设O'A'=x,则O'B'=x,在原图形中OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,‎ 故原平面图形OABC的面积S=×x+x×2x=3,解得x=.‎ 答案D ‎6.‎ 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是　. ‎ 解析若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.‎ 答案16或64‎ ‎7.如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为　　　　　. ‎ 解析由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2S直观,得·OB·h=2×2O'B'.‎ ‎∵OB=O'B',∴h=4.‎ 答案4‎ ‎8.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.‎ 画法(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.‎ ‎(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.‎ ‎(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,在y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.‎ ‎(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).‎ ‎9.用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.‎ 画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.‎ ‎①‎ ‎(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD.‎ ‎②‎ ‎(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.‎ ‎(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).‎ 能力提升练 ‎1.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC是一个(　　)‎ A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边互不相等的三角形 D.面积为的三角形 解析由题中图形知,在原△ABC中,AO⊥BC.‎ ‎∵A'O'=,∴AO=.‎ ‎∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2,‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ ‎∴△ABC的面积为×2×.‎ 答案AD ‎2.(2020河南洛阳检测)如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O'B'=4,A'B'∥y轴,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴交于点C',则A'C'的长为(　　)‎ A.2 B. C.16 D.1‎ 解析因为A'B'∥y轴,所以在△ABO中,AB⊥OB,又三角形的面积为16,所以AB·OB=16.所以AB=8,所以A'B'=4.所以A'C'的长为4·sin 45°=2.‎ 答案A ‎3.(2020全国高一课时练习)如图所示,用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图,得△A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,则由图形可知下列结论中正确的是　　　　　.(填序号) ‎ ‎①AB=BC=AC;②AD⊥BC;③AC>AD>AB>BC;④AC>AD>AB=BC.‎ 解析由直观图画出△ABC如图所示,‎ 其中AB=2BC,①错误;∠ABC=90°,②错误;‎ AC>AD>AB>BC,③正确,④错误.‎ 答案③‎ ‎4.(2020湖南高三学业考试)水平放置△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为　　　　　. ‎ 解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C为直角,‎ ‎∴AB==5,‎ ‎∴AB边上的中线的长度为AB=.‎ 答案 ‎5.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为　　　　　. ‎ 解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.‎ 过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=a.∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=a.∴原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,∴S原=a2=a2.‎ 答案a2‎ 素养培优练 ‎　(2020全国高一课时练习)画出一个上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm的正三棱台的直观图.‎ 画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,‎ 使∠xOy=45°,∠xOz=90°.‎ ‎(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段AB,使AB=2 cm,在y轴上取线段OC,使OC= cm.连接BC,CA,则△ABC就是正三棱台的下底面的直观图.‎ ‎(3)画上底面.在Oz轴上取O',使OO'=2 cm,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',平行于轴Oy的轴O'y',类似下底面的作法作出上底面的直观图△A'B'C'.‎ ‎(4)成图.连接AA',BB',CC',并加以整理(去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线),得到正三棱台的直观图(如图②所示).‎