2020-2021初二数学上册同步练习：全等三角形性质及判定

2020-2021初二数学上册同步练习：全等三角形性质及判定

专题 12.1-12.2 全等三角形性质及判定 典例体系 一、知识点 1 全等三角形 （1）形状、大小相同的图形能够完全重合； （2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形； （3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； （4）平移、翻折、旋转前后的图形全等； （5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点； （6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角； （7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边； （8）全等表示方法：用“  ”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上） （9）全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 2 三角形全等的判定 （1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等； （2）三角形全等的判定： ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SSS”） ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”） ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”） ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”） ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”） 二、考点点拨与训练 考点 1：全等三角形的性质 典例：（2020·古田县第十中学初一期中）如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠ D=____，∠EAD=______． 【答案】40° 110° 【解析】解：△ABC 中，∠C＝40°，∠B＝30° ∵△ABC≌△AED， ∴∠D＝∠C＝40°，∠E＝∠B＝30°， ∴∠EAD＝180°−∠D−∠E＝110°， 故答案为：40°，110°． 方法或规律点拨 本题用考查知识点为：全等三角形的性质及对应角的找法．书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置， 也可根据此点来找全等三角形的对应关系．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中． 巩固练习 1．（ 2020·广东省初三一模）如图， ABCADE≌ ， 100B ， 40BAC ，则 AED ∠ （ ） A．70° B．45° C．40° D．50° 【答案】C 【解析】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠B＝∠D＝100°， ∴∠AED＝180°−40°−100°＝40°， 故选：C． 2．（ 2020·南通市八一中学初一月考）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两 个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是 正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的． 故选：D． 3．（ 2018·上海初一期末）如图，已知两个三角形全等，那么∠1 的度数是（ ） A．72°； B．60°； C．58°； D．50°． 【答案】D 【解析】根据三角形内角和可知，第一个三角形的第三个角的度数为180 58 72 50     ， 由全等三角形的性质可知， 150 ， 故选：D． 4．（ 2020·上海初三二模）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（﹣3，0）， B（2，0）， C（﹣1，2）， E（4，2）， 如果△ABC 与△EFB 全等，那么点 F 的坐标可以是（ ） A．（ 6，0） B．（ 4，0） C．（ 4．﹣2） D．（ 4，﹣3） 【答案】D 【解析】解：如图所示：△ABC 与△EFB 全等，点 F 的坐标可以是：(4，﹣3)． 故选：D． 5．（ 2020·偃师市实验中学初二月考）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝ 度． 【答案】120 【解析】解：∵△OAD≌△OBC， ∴∠D=∠C=25°， ∴∠CAE=∠O+∠D=95°， ∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°． 6．（ 2020·江苏省初二期末）如图，△ABD≌△CBD，若 ∠A=80°，∠ABC=70°，则 ∠ADC 的度数为 ． 【答案】130° 【解析】∵△ABD≌△CBD， ∴∠C=∠A=80°， ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°． 故答案为 130°． 考点 2：应用“SSS”判断三角形全等 典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知 A B A C ， AD AE ， B D C E ，求证： 3 1 2     . 【答案】证明见解析. 【解析】 在△ABD 和△ACE 中， AB=AC AD=AE BD=CE    ， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2， ∵∠3=∠BAD+∠ABD， ∴∠3=∠1+∠2. 方法或规律点拨 本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键. 巩固练习 1．（ 2020·南通市八一中学初一月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于 E，则下列 结论中不正确的是（ ） A．BD+ED=BC B．DE 平分∠ADB C．AD 平分∠EDC D．ED+AC＞AD 【答案】B 【解析】CD=DE， ∴BD+DE=BD+CD=BC； 又有 AD=AD， 可证△AED≌△ACD ∴∠ADE=∠ADC 即 AD 平分∠EDC； 在△ACD 中，CD+AC>AD 所以 ED+AC>AD. 综上只有 B 选项无法证明,B 要成立除非∠B=30∘，题干没有此条件，B 错误， 故选 B. 2．（ 2018·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的 依据是( ) A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】D 【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′ ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS) ∴∠COD=∠C′O′D′ ∴∠AOB=∠A′O′B′ 故选 D． 3．（ 2020·偃师市实验中学初二月考）用尺规作图作已知角∠AOB 的平分线 OC，其根据是构造两个三角形 全等，它所用到的识别方法是（ ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解析】如图，是用尺规作图作出的∠AOB 的角平分线 OC，连接 DC、EC， 由作图过程可知：OD=OE，DC=EC， ∴在△ODC 和△OEC 中 OD OE DC EC OC OC      ， ∴△ODC≌△OEC（SSS）. 故选 B. 4．（ 2018·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的 依据是( ) A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】D 【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′ ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS) ∴∠COD=∠C′O′D′ ∴∠AOB=∠A′O′B′ 故选 D． 5．（ 2020·云南省初三二模）有一个平分角的仪器如图所示，其中 AB=AD，BC=DC．求证：AC 平分∠BAD． 【答案】见解析 【解析】证明：在 ABC 和 ADC 中， AB AD BC DC AC AC      ∴ ABC≌ ADC（SSS） ∴∠BAC=∠DAC， ∴AC 平分∠BAD． 6．（ 2020·湖北省初三其他）如图， A C D B ， A B D C ，求证： E B E C ． 【答案】见解析 【解析】证明：在 ABC 与 D C B 中， ACDB ABDC BCCB ì =ïïïï =íïïï =ïî , ∴ ()ABCDCBSSS△ ≌△ ； ∴ ACB DBC   ， ∴ ECB EBC   ， ∴ ． 7．（ 2020·江苏省初三一模）已知：如图， ,,,ACBDADBCAD BC 相交于点 O ，过点 作 OEAB ， 垂足为 E ．求证： AE BE ． 【答案】见解析 【解析】证明：在△ABC 与△BAD 中， AC BD BC AD AB BA      ∴△ABC≌△BAD（SSS）， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AO＝BO， 又∵OE⊥AB， ∴AE＝BE． 8．（ 2020·全国初一课时练习）如图,已知线段 AB,CD 相交于点 O,AD,CB 的延长线交于点 E,OA=OC,EA=EC， (1)试说明:∠A=∠C; (2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么? 【答案】（1）见解析；（2）构造全等三角形. 【解析】(1)如图,连接 OE. 在△EAO 和△ECO 中, OA OC EA EC OE OE      所以△EAO≌△ECO(SSS). 所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等). (2) 在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形. 考点 3：应用“SAS”判断三角形全等 典例：（2020·江苏省中考真题）已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线上， //,,EAFBEAFBABCD． （1）求证： EF   ； （2）若 40,80AD ，求 E 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【解析】解：（1）∵AE∥BF， ∴∠A=∠DBF， ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即 AC=BD， 又∵AE=BF， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴∠E=∠F； （2）∵△ACE≌△BDF， ∴∠D=∠ACE=80°， ∵∠A=40°， ∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°. 方法或规律点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件. 巩固练习 1．（ 2019·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在 OAB 和 OCD中， , , , 40OA OB OC OD OA OC AOB COD       ，连接 ,AC BD 交于点 M ，连接OM ．下列结论： ① AC BD ；② 40AMB ；③ 平分 BOC ；④ MO 平分 BMC ．其中正确的个数为（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】解：∵ 40AOBCOD ， ∴ AOBAODCODAOD    ， 即 A O C B O D   ， 在 A O C△ 和 B O D 中， OAOB AOCBOD OCOD      ， ∴  AOCBODSAS≌ ， ∴ ,OCAODBACBD  ，①正确； ∴ OAC OBD   ， 由三角形的外角性质得： ,AMBOACAOBOBD    ∴ 40AMBAOB °，②正确； 作OGMC 于 G ，OHMB 于 H ，如图所示： 则 90OGCOHD  °， 在 O C G 和 ODH 中， OCA ODB OGC OHD OC OD         ， ∴  OCGODHAAS≌ ， ∴OG OH ， ∴ MO 平分 BMC ，④正确； 正确的个数有 3 个； 故选：B． 2．（ 2020·山东初二期末）如图，AB∥CD，CE∥BF，A、 E、F、D 在一直线上，BC 与 AD 交于点 O，且 OE=OF，则图中有全等三角形的对数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解：①∵CE∥BF， ∴∠OEC＝∠OFB， 又∵OE＝OF，∠COE＝∠BOF， ∴△OCE≌△OBF， ∴OC＝OB，CE＝BF； ②∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD， 又∵OB＝OC， ∴△AOB≌△DOC； ③∵AB∥CD，CE∥BF， ∴∠D＝∠A，∠CED＝∠COD， 又∵CE＝BF， ∴△CDE≌△BAF. 故选 B. 3．（ 2020·济南市长清区实验中学初一期中）如图，点 E、F 在 BC 上，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，AF 与 DE 交于点 O．求证：∠A=∠D． 【答案】见详解 【解析】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF 和△DCE 中 AB CD BC BF CE        ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A=∠D． 4．（ 2020·江苏中考真题）如图， AC BC ， D C E C ， A C B C ． D C E C ， AE 与 BD 交于点 F ． （1）求证： AEBD ； （2）求 AFD 的度数． 【答案】（1）见解析（2）90° 【解析】（1）∵ ， ， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又 ． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设 AE 与 BC 交于 O 点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故 AFD =180°-∠BFO=90°． 5．（ 2020·江苏中考真题）如图，已知 //A B C D ， A B C D ， B E C F ． 求证：（1） A B F D C E   ； （2） //AFDE ． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析． 【解析】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BE=CF， ∴BE-EF=CF-EF， 即 BF=CE， 在△ABF 和△DCE 中， = = ABCD BC BFCE    ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴∠AFE=∠DEF， ∴AF∥DE． 6．（ 2020·重庆初三）如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E，AF 平分∠BAD，交 BC 于点 F，交 CD 的延 长线于点 G． （1）若∠G=29°，求∠ADC 的度数； （2）若点 F 是 BC 的中点，求证：AB=AD+CD． 【答案】（1）58°；（ 2）详见解析 【解析】证明：（1）∵AB∥CD，∴ ∠BAG=∠G, ∠BAD=∠ADC． ∵AF 平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G． ∴∠ADC=∠BAD=2∠G ． ∵∠G=29°，∴∠ADC=58°． （2）∵AF 平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG． ∵∠BAG=∠G， ∴∠DAG=∠G． ∴AD=GD． ∵点 F 是 BC 的中点，∴BF=CF． 在△ABF 和△GCF 中， ∵ . BAF G AFB GFC FB FC         ， ， ∴△ABF≌△GCF． ∴AB=GC． ∴AB=GD+CD=AD+CD． 7．（ 2020·福州四十中金山分校初二月考）如图（1）， AB＝4 cm ，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3 ．点 P 在线段 AB 上以 1 /cms 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运 动．它们运动的时间为 t （s）． （1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为 x /cm s ，是否存在实数 ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的 、 t 的值；若 不存在，请说明理由． 【答案】（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在， 1 1 t x    或 2 3 2 t x   【解析】(1)当 t=1 时，AP= BQ=1, BP= AC=3, 又∠A=∠B= 90°， 在△ACP 和△BPQ 中， { AP BQ AB AC BP      ∴△ACP≌△BPQ(SAS). ∴∠ACP=∠BPQ , ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*. ∴∠CPQ= 90°， 即线段 PC 与线段 PQ 垂直； (2)①若△ACP≌△BPQ， 则 AC= BP，AP= BQ， 34t t xt    解得 1 1 t x    ; ②若△ACP≌△BQP， 则 AC= BQ，AP= BP， 3 4 xt tt    解得： 2 3 2 t x   综上所述,存在 1 1 t x    或 使得△ACP 与△BPQ 全等. 考点 4：应用“ASA” 或“AAS”判断三角形全等 典例：（2020·山东省初一期中）CD 是经过∠BCA 定点 C 的一条直线，CA=CB，E、F 分别是直线 CD 上两 点，且∠BEC=∠CFA=∠β． （1）若直线 CD 经过∠BCA 内部，且 E、F 在射线 CD 上， ①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则 BE CF，EF |BE - AF| （填“＞”，“＜”，“＝”）； ②若 0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由； （2）如右边图，若直线 CD 经过∠BCA 外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段 EF、BE、AF 的数量关系（不 需要证明）． 【答案】（1）①=，= ②两结论依然成立，证明见解析 （2）EF=BE+AF 【解析】（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90° ∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90° ∴∠BCF=∠CAF 又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB ∴△BEC  △CFA(AAS) ∴BE=CF，CE=AF ∴ EFCFCEBEAF ②在△FCA 中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180° 又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180° ∴∠FCA+∠CAF=∠BCA ∵∠BCA=∠BCE+∠FCA ∴∠CAF=∠BCE ∵CA=CB ∴△BEC  △CFA(AAS) ∴BE=CF，CE=AF ∴ （2）在△BEC 中，∠B+∠BEC+∠BCE=180° 又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA ∴∠B=∠ACF ∵CA=CB ∴△BEC △CFA(AAS) ∴BE=CF，CE=AF EF=EC+CF=AF+BE 方法或规律点拨 本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用 AAS 判别定理解答 即可． 巩固练习 1．（ 2020·江苏初三二模）如图，点 A ， B ， C ， D 在同一条直线上， CEDF ， AF ， ACFD . 求证： AEFB . 【答案】证明见解析． 【解析】证明： C E D F∥ ， A C E D   . 又 AF   ， A C F D ， ACEFDB△ ≌△ ， AE FB . 2．（ 2020·湖北省初三月考）如图， / /,,ABCDABCDBFAC ＝ 于点 ,F D E A C 于点 E ， 求证： A E C F ． 【答案】详见解析 【解析】证明： //ABCD ， AC ， ,BFACDEAC， 90BFA DEC    ， 在 ABF 和 C D E△ 中， BFAEDC AC ABCD       ，  ABFCDEAAS△ △ ， AFCE， AE CF∴ = ． 3．（ 2020·重庆市育才中学初二期末）如图△ABC 中，点 E 在 AB 上，连接 CE，满足 AC＝CE，线段 CD 交 AB 于 F，连接 AD． （1）若∠DAF＝∠BCF，∠ACD＝∠BCE，求证：AD＝BE； （2）若∠ACD＝24°，EF＝CF，求∠BAC 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）52°． 【解析】解：（1） DAFBCF ， A F D C F B   ， DB   ， 又 AC CE ， A C D B C E   ， ()ACDECBAAS ， AD BE； （2） ， CAEAEC ， E F C F ， ECFAEC  ， 又 24ACD ， A C E 中， 1 (18024 )523EAC  ． 4．（ 2020·浙江初一月考）△ADE 中，AE=AD，∠EAD=90°． （1）如图（1），若 EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE，交 AD、AE 于点 C、B，连接 BC．请你判断 AB、 AC 是否相等，并说明理由； （2）△ADE 的位置保持不变，将（1）中的△ABC 绕点 A 逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE 相交于 O， 请你判断线段 BE 与 CD 的位置关系及数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 CD=6，试求四边形 CEDB 的面积． 【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；（3）18. (1)AB=AC. 理由如下： ∵EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE ∴∠AEC= 1 2 ∠AED,∠ADB= ∠ADE ∵∠AED=∠ADE ∴∠AEC=∠ADB 在△AEC 和△ADB 中， ∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A ∴△AEC≌△ADB ∴AB=AC； (2)BE=CD 且 BE⊥CD. 理由如下： ∵∠EAD=∠BAC ∴∠EAB=∠DAC 在△AEB 和△ADC 中， ABAC EABDAC AEAD      ， ∴△AEB≌△ADC(SAS) ∴EB=CD ∴∠AEB=∠ADC ∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90° ∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90° ∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180° ∴∠DOE=90° ∴BE⊥CD； (3)四边形 CEDB 的面积= ×BE×CD= 2CD =18. 5．（ 2020·山东省初二期中）（1）如图①，直线 m 经过正三角形 ABC 的顶点 A ，在直线 上取两点 D 、E ， 使得 60ADBo ， 60AEC，求证： BD CE DE． （2）将（1）中的直线 m 绕着点 A 逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，并使 120A D Bo ， 120AEC，通过观察或测量，猜想线段 BD ， CE 与 DE 之间满足的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）证明见解析；（2） C E B D D E ，理由见解析． 【解析】（1）∵在正三角形 ABC 中， 60BAC， ∴ ,120ABCADABCAE 又∵ 120ECACAE  ∴ D A B E C A   在 DAB 和 ECA 中， 60ADBAEC DABECA ABCA       ∴ ≌ ( AAS ) ∴ ADCE ， BDAE ∴ BDCEAEADDE （2）猜想： 证明：∵在正三角形 中， ∴ , 60AB CA DAB CAE    ∵ ∴ 60ECA CAE   ∴ 在 和 中 120ADB AEC DAB ECA AB CA          ∴ DAB ≌ E C A ( AAS ) ∴ A D C E ， BD AE ∴CEBDADAEDE 考点 5：应用“HL”判断三角形全等 典例：（2020·辽宁初三一模）如图，将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB＝ ∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. (1)求证：AF＋EF＝DE. (2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转 α，且 0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转 后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立． (3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转 β，且 60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中 的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出 AF，EF 与 DE 之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析； 【解析】（1）如图①所示，连接 BF， ∵BC=BE， 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中 {BF BF BC BE   ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF=CF， ∴AF+EF=AC=DE； （2）如图②所示： 延长 DE 交 AC 与点 F，连接 BF， 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中 {BF BF BC BE   ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF=CF， ∴AF+EF=AC=DE； （3）如图③所示： 连接 BF， 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中 ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF=CF， ∴AF-FC=AC=DE， ∴AF-EF=DE． 方法或规律点拨 本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·山东初二期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2= A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【解析】解：∵∠B=∠D=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中 BCCD ACAC ＝ ＝    ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL） ∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°． 故选 B． 2．（ 2020·甘肃靖远五中初二期中）如图， ,,BF CE AE BC DF BC   ，要根据“ HL ”证明 RtABERtDCF≌ ，则还要添加一个条件是( ) A． AB DC B． AD  C． BC  D． AEDF 【答案】A 【解析】添加的条件是 AB＝CD；理由如下: ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， ∵ BF CE ， ∴ B E C F ， 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中， A B CD B E CE    ∴Rt△ABE＝R△DCF(HL) 所以 A 选项是正确的. 3．（ 2020·山西省初二期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=5cm，在 AC 上取一点 E 使 EC=BC， 过点 E 作 EF⊥AC，连接 CF，使 CF=AB，若 EF=12cm，则 AE 的长为（ ） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】C 【解析】∵EF⊥AC， ∴∠CEF=90°， 在 Rt△ABC 和 Rt△FCE 中 BCCE BACF    ， ∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL）， ∴AC=FE=12cm， ∵EC=BC=5cm， ∴AE=AC-EC=12-5=7cm， 故选：C． 4．（ 2019·陕西省陕西师大附中初一期末）如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D 为 AB 延长线上 一点，点 E 在 BC 上，且 BE＝BD，连接 AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____． 【答案】75° 【解析】解：延长 AE 交 DC 边于点 F，如图： ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°， 在 Rt△ABE 与 Rt△CBD 中， , , BEBD ABBC    ∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL）， ∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵∠AEB 为△AEC 的外角，∠CAE＝30°， ∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°， ∴∠BDC＝75°． 故答案为：75°． 5．（ 2020·山西初三二模）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯 BC 的高 AC 与右边滑梯 EF 水平方 向的长度 DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系？并说明理由。 【答案】∠ABC+∠DFE=90°，理由见解析． 【解析】解：∠ABC+∠DFE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC EF AC D F    ∴Rt△ABC≌Rt△DEF ∴∠ABC=∠DEF 又∵∠DEF+∠DFE=90° ∴∠ABC+∠DFE=90° 6．（ 2020·云南初三一模）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB 相交于点 O．求证：AB＝CD． 【答案】见解析 【解析】证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中， DBAC CBBC    ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴AB＝DC． 7．（ 2020·河南省实验中学初二月考）如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：AD 平分∠BAC． （2）写出 AB+AC 与 AE 之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）AB+AC＝2AE，理由详见解析. 【解析】证明：（1）∵DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形， ∵在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中, , , BD CD BE CF    ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE＝DF， ∴AD 平分∠BAC； （2）AB+AC＝2AE． 理由：∵BE＝CF，AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△AED 与△AFD 中， , , , EADCAD ADAD ADEADF       ∴△AED≌△AFD， ∴AE＝AF， ∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE． 8．（ 2019·湖北初二期中）如图，点 B、C、E、F 在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC 于点 C，DF⊥EF 于点 F， AC=DF． 求证：（1）△ABC≌△DEF ；（ 2）AB∥DE． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF ∴∠ACB=∠DFE=90° 又∵BC=EF AC=DF ∴△ABC≌△DEF （2）∵△ABC≌△DEF ∴∠B=∠DEF ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）