人教A版数学必修三3-1-2概率的意义

人教A版数学必修三3-1-2概率的意义

§3.1.2 概率的意义 一、教材分析 按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式,本章是在统计的基础上展开对概率的研究的, 而本节又是从频率的角度来解释概率,其核心内容是介绍实验概率的意义,即当试验次数较大 时,频率渐趋稳定的那个常数就叫概率.本节课的学习,将为后面学习理论概率的意义和用列 举法求概率打下基础.因此,我认为对概率的正确理解和它在实际中的应用是本次教学的重 点. 学生初学概率,面对概率意义的描述,他们会感到困惑：概率是什么,是否就是频率？因此 辩证理解频率和概率的关系是教学中的一大难点.由于本节课内容非常贴近生活,因此丰富的 问题情境会激发学生浓厚的兴趣,但学生过去的生活经验会给这节课的学习带来障碍,因此正 确理解每次试验结果的随机性与大量随机试验结果的规律性是教学中的又一大难点. 二、教学目标 1.知识与技能： （1）正确理解概率的意义； （2）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 2.过程与方法： 通过对现实生活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学 知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法. 3.情感态度与价值观： 通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观,进 而体会数学与现实世界的联系. 三、重点难点 教学重点：理解概率的意义. 教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1 酒宴中的“行酒令”,其规则是：先按饮酒人制作出与人数相等的完全一致的酒签,然后由 其中一人将欲设的签数放到左手（不可为 0）,然后由其余人猜其左手签数,要求只能从 1 至 总人数的个数中任选一整数,并且后猜者与先猜者不得重复,当猜者所猜数字与设计者左手中 的签数相同时,猜者就需饮酒,这个游戏规则是公平的吗？为此我们必须学习概率的意义. 思路 2 生活中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都 没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为 0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定 是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？ （2）如果某种彩票中奖的概率为 1000 1 ,那么买 1 000 张彩票一定能中奖吗？ （3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先 发球,其具体规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双 数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定 单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发 球权,你认为这个规则公平吗？ （4）“天气预报说昨天降水概率为 90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学 了概率后,你能给出解释吗？ （5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学. (6)如果连续 10 次掷一枚骰子,结果都是出现 1 点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 活动：学生阅读问题,根据学习的概率知识,针对不同的问题给出合理解释,教师引导学生 考虑问题的思路和方法:（1）通过具体试验验证便知,以概率的知识来理解,就是：尽管每次 抛掷硬币的结果出现正、反面朝上各一次,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两 次 正 面 朝 上 ”,“ 两 次 反 面 朝 上 ”,“ 一 次 正 面 朝 上 , 一 次 反 面 朝 上 ”, 而 且 其 概 率 分 别 为 0.25,0.25,0.5. 几个同学各取一枚同样的硬币（如壹角,伍角,壹元）,连续两次抛掷,观察它落地后的朝向,并 记录结果,重复上面的过程 10 次,将所有参与试验的同学结果汇总,计算三种结果发生的频率, 估出三种结果的概率,填入下面表格. 试验的总次数：100 频数 频率 概率 出现两次正面朝上 25 出现两次反面朝上 25 出现一次正面朝上,一次反面朝上 50 随着试验次数的增加,可以发现,“一次正面朝上,一次反面朝上”的频率与“两次正面朝 上”,“两次反面朝上”的频率不一样,它们分别是 0.5,0.25 和 0.25,进而知道“两次正面朝上”的概 率为 0.25,“两次反面朝上”的概率为 0.25,“一次正面朝上,一次反面朝上”的概率是 0.5. 通过上面的试验,我们发现,随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规 律性,认识了这种随机性的规律性,可以帮助我们准确预测随机事件发生的可能性. （2）买 1 000 张彩票,相当于 1 000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1 000 次 试验的结果也是随机的,也就是说,买 1 000 张彩票有可能没有一张中奖.虽然中奖的张数是随 机的,但这种随机性中,具有规律性,随着试验次数的增加,即随着买的彩票的增加,大约有 1000 1 的彩票中奖,所以没有一张中奖也是有可能的. 请同学们把同样大小的 9 个白色乒乓球和 1 个黄色乒乓球放在 1 个不透明的袋中,然后 每次摸出 1 个球后再放回袋中,这样摸 10 次,观察是否一定至少有 1 次摸到黄球. 因为每次摸出 1 个球相当于 1 次随机试验,其结果有两种可能：黄球或白球,随着试验次 数的增加,会发现摸到白球的频率要比摸到黄球的频率大,但没有1 次摸到黄球也是有可能的, 所以不一定至少有 1 次摸到黄球. （3）是公平的.由于 2 人出手指的结果有单数和双数,每个人出单数和双数的机会是相等的, 因此,和为单数和双数的机会是相等的,因而是公平的. （4）天气预报的“降水”是一个随机事件,概率为 90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率, 我们知道：在一次试验中,概率为90%的事件也可能不出现,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨 天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的. （5）阅读课本的内容后加以说明. （6）利用概率知识加以说明. 讨论结果：（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两 次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为 0.25,0.25,0.5. （2）不一定能中奖,因为买 1 000 张彩票相当于做 1 000 次试验,因为每次试验的结果都是随 机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一 张、两张乃至多张中奖. （3）规则是公平的. （4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的. （5）奥地利遗传学家（G.Mendel,1822—1884）用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果（其中 F1 为第一子代,F2 为第二子代）： 性状 F1 的表现 F2 的表现 种子的形状 全部圆粒 圆粒 5 474 皱粒 1 850 圆粒∶皱粒≈2.96∶1 茎的高度 全部高茎 高茎 787 矮茎 277 高茎∶矮茎≈2.84∶1 子叶的颜色 全部黄色 黄色 6 022 绿色 2 001 黄色∶绿色≈3.01∶1 豆荚的形状 全部饱满 饱满 882 不饱满 299 饱满∶不饱满≈2.95∶1 孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为 100%,另一种性状的可能性 为 0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为 75%,后一种性状的可能性约为 25%,通过进一 步研究,他发现了生物遗传的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的. (6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出 现各个面的可能性都应该是 6 1 ,从而连续 10 次出现 1 点的概率为( 6 1 )10≈0.000 000 001 653 8, 这在一次试验(即连续 10 次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是 当 6 点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现 1 点的概率最大,更有可能连续 10 次出 现 1 点. 现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地不 均匀.当连续 10 次投掷这枚骰子,结果都是出现 1 点,这时我们更愿意接受第二种情况:这枚骰 子靠近 6 点的那面比较重.原因是在第二种假设下,更有可能出现 10 个 1 点. 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的 可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称为 极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一. 如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大.这 种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一. （三）应用示例 思路 1 例 1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如 2 000 尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其 余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如 500 尾,查看其中有记号的鱼,设有 40 尾. 试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数. 分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即 2 000 尾鱼在水库中 占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概 率为 500 40 ,问题可解. 解 ： 设 水 库 中 鱼 的 尾 数 为 n,A={ 带 有 记 号 的 鱼 }, 则 有 P(A)= n 2000 . ① 因 P(A)≈ 500 40 ， ② 由①②得 500 402000  n ,解得 n≈25 000. 所以估计水库中约有鱼 25 000 尾. 变式训练 1.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000 个鱼卵能孵出 8 513 尾鱼苗,根据概率的统计 定义解答下列问题： （1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）； （2）30 000 个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？ （3）要孵化 5 000 尾鱼苗,大概得准备多少鱼卵？（精确到百位） 解：（1）这种鱼卵的孵化频率为 10000 8513 =0.851 3,它近似的为孵化的 概率 . （2）设能孵化 x 个,则 10000 8513 30000 x ,∴x=25 539, 即 30 000 个鱼卵大约能孵化 25 539 尾鱼苗. （3）设需备 y 个鱼卵,则 10000 85135000  y ，∴y≈5 873, 即大概得准备 5 873 个鱼卵. 2.有人告诉你,放学后送你回家的概率如下: (1)50%;(2)2%;(3)90%. 试将以上数据分别与下面的文字描述相配. ①很可能送你回家,但不一定送. ②送与不送的可能性一样多. ③送你回家的可能性极小. 答案：50%→②；2%→③；90%→①. 例 2 足球射门与概率 如果你是一名足球运动员,在足球比赛中若遇到罚点球射门时,这时若要罚进不仅仅要靠 运气,还要靠智慧的头脑.首先假设不存在射飞或射高的情况.在扑对方向的前提下守门员也 不会失误或脱手,也不考虑补射的情况(点球大战中根本不存在).就是说球只有两种状态:射进 或被扑出.球员射门有 6 个方向:中下,中上,左下,右下,左上,右上.而作为守门员,扑球有 5 种选 择:不动,左下,右下,左上,右上. 若①不动可扑出中下和中上两个方向的点球; ②左下可扑出左下和中下; ③右下可扑出右下和中下; ④左上可扑出左上; ⑤右上可扑出右上. 你会用你智慧的大脑运用概率的知识选择射门的方向吗？ 解：其中①②③3 种选择可扑出两个方向的来球,换言之,这 3 种选择的效率是其他两种 选择的 2 倍.所以作为一个守门员,面对一个没有经验的对手,扑球应该多选择①②③.那么如 何做一个有经验的射手呢？如果你面对的是一个初级的守门员,那么应该清楚他的扑球方向 是大致随机的,即随机选择①—⑤.那么从下图(1)可知 6 个射门方向被堵住的可能性是： 5 1 5 1 5 1 5 1 5 3 5 1 所以这种情况下我们要少打中下,其他的五个方向可以任意选择.但如果守门员是一名富 有经验的高手,他清楚①②③的效益是④⑤的 2 倍,他必然会有意识地多扑①②③,而且至少概 率是④⑤的 2 倍.(否则就不能体现这个效益)就是说 8 次扑救中①②③各两次,④⑤各一次.那 么 6 个射门方向被堵住的概率就变成了： 8 1 4 1 8 1 4 1 4 3 4 1 现在不仅不能射中下,而且还要有意识地多打两个上角,因为进球的概率是 8 7 .希望这道 题目能对你的点球大战有所帮助.当然在实战中还要综合考虑脚法、力量、体能、守门员技 术及对手心理等等. 变式训练 央视“幸运 52”某期节目中公布了这样一道抢答题:在三扇门背后(比如说 1 号、2 号及 3 号)藏了两只羊与一辆小汽车,如果你猜对了藏汽车的门,则汽车就是你的.现在先让你选择,比 方说你选择了 1 号门,然后主持人打开了一扇门,让你看清楚这扇门背后是只羊,接着问你是否 应该重新选择,以增大猜对汽车的概率,你能给出回答吗？1 号门背后是汽车的概率变了吗？ 解：无论你给出怎样的回答,1 号门背后是汽车的概率都是 2 1 .这个题意在考查答题者的 概率知识与现场的应变能力. 思路 2 例 1 概率与计算机输入法 在使用计算机输入法时,英语中某些字母出现的概率远远高于另外一些字母.当进行了更 深入的研究之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定,例如:下面就是英文字母使用 频率的一份统计表. 字母 空格 E T O A N I R S 频率 0.2 0.105 0.071 0.064 4 0.063 0.059 0.054 0.053 0.052 字母 H D L C F U M P Y 频率 0.047 0.035 0.029 0.023 0.022 1 0.022 5 0.021 0.017 5 0.012 字母 W G B V K X J Q Z 频率 0.012 0.011 0.010 5 0.008 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 从表中可以看到,空格的使用频率最高,鉴于此,人们在设计键盘时,空格键不仅最大,而且 放在了使用最方便的位置. 近年来对汉语的统计研究有了很大的发展.关于汉字的使用频率已有初步统计资料,对常 用汉语也作了一些统计研究.这些信息对汉字输入方案等的研制有很大的帮助.使用过汉字拼 音输入法的同学们可能有体会.例如:当输入拼音“shu”,则提示有以下选择“1.数, 2.书 ,3. 树,4.属,5.署……”.这个显示顺序基本上就是按照拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排列 的. ▼ 数 书 树 属 署 输 淑 术 舒 例 2 概率与彩票 概率论是研究现实世界随机现象的科学,是近代数学的重要组成部分.它在自然科学以及 经济工作中都有着广泛的应用,同时也是数理统计的基础.彩票投注的中奖概率分布完全符合 它的原理.彩票的投注方法是一个玩数字游戏.彩票号码的摇出是随机事件,也可以说是一个 随机现象,属概率论的一个基本概念. 我们引入彩票的一对常用语“冷门号码”及“热门号码”.有了“热门号码”及“冷门号码”的 概念,我们只要捕捉到这种机会及时发现它们,将会提高中奖几率. 概率分布的四条法则: (1)奇数、偶数出现的次数应各占总数的 2 1 (由于不确定因素除外). (2)大数、小数出现的次数应各占总数的 2 1 (由于不确定因素除外). (3)01—10 区段、11—20 区段、21—30 区段,三区段出现的数各占总数的 3 1 (由于不确定因素 除外). (4)各数出现的次数,随着试验(开奖)次数的增加不断靠近平均值(由于不确定因素除外). 综上所述,看来随机的摇球事件随着试验(开奖)次数的增加都会显示出它的某些规律性, 而这种规律性可以借助概率论的知识,利用概率统计法分析判断号码.今后我们在选择号码时, 首先应学会统计以下几种基本指标:奇偶比、大小比、区域比等. 通过数字统计,运用概率论原理来判断冷热号码出现的周期,分析号码可能出现的区段, 缩小精选号码范围,为新一期选择号码提供参考依据,从而达到提高中奖的几率.概率学本身 就来源于古代博彩游戏,人们为了更准确地预测结果,依靠一定的数据积累分析,然后算出其 出现某种结果的可能性.概率分析就是通过一些复杂的计算,将一些出现概率较小的数字组合 删除,从而提高中奖机会. 有专家认为:世界上没有无规律的事情,即使对于彩票而言,也不是完全没有规律可循,只 要经过大量的观察,根据统计学的大数规律,就能进行统计预测,提高中奖的几率. 概率学是一门系统科学,一般人了解的概率,不是从理论上认识,仅仅限于经验、时间的表 层认识.因此,一般彩民预测中奖号码,与其硬着头皮去盲目胡来,不如运用简单的概率学统计 分析方法更简单、更容易掌握.把每期中奖号码出现的次数累加起来,一一进行统计,积累到一 定量之后,就能发现各个号码及其相关指标的概率波动特性.彩民们再根据这些进行选号投注, 就可以大大提高中奖的几率. 点评：彩票是什么,从经济学意义上说,彩票首先是一种“税”,是无偿征收的一种政府收 入；其次彩票是一种“自愿税”,一种与法定义务无关的、彩民自愿缴纳的税.“无偿”是指政府 没有责任对应于某一具体彩民的下注额给予相应的经济性回报.因为彩票的中奖概率极其微 小,其收益与风险不成比例,对于普通老百姓来说,买彩票应只是一种游戏和娱乐. 例 3 概率与法律 概率论正越来越多地出现在法庭之上.1968 年美国加利福尼亚州的一个案件引起了人们 的广泛关注.目击证人说看到一个金发并且扎马尾样发式的白人妇女和一个有八字须和络腮 胡的黑人男子在洛杉矶郊区的一个小巷跑出来,而那里正是一位老人刚刚遭受背后袭击和抢 劫的地方.这对男女开着一辆部分是黄色的汽车逃跑了. 因此当地警察逮捕了 Jenet 和 Malcolm 夫妇俩,他们有一辆部分是黄色的林肯轿车,她通 常把她的金发扎成马尾状.他是一个黑人,尽管被捕时他的胡子刮得很干净,但仍然能看出不 久前他还是满脸络腮胡的痕迹. 在审判中,公诉人指控他夫妇俩有罪的证据是——“数字证明”.以下是由证人指出的特征 算出的“保守概率”: 有八字胡的男人 1/4, 扎马尾发型的女人 1/10, 金发女人 1/3, 有络腮胡的黑人男子 1/10, 不同种族的夫妇同在一辆车里 1/1 000, 部分是黄色的汽车 1/10. 公诉人于是得出这些概率的乘积为:1/12 000 000,因此在洛杉矶地区存在另一对有上述 特征的夫妇的可能性小于 1/10 000 000. 陪审团于是判定这对夫妇有罪.但是加州高院在上诉中驳回了这样的定罪,还列举了几条 错误使用概率的论证.由此看来概率论已经成为美国法律诉讼中的重要工具,是判定当事人是 否与案件有关的重要依据,这种趋势也必然会来到中国,使得我国的法律诉讼更加科学、客观、 公正. 例 4 如何得到敏感问题的诚实回答？ 在作抽样调查时我们总是许诺说:“绝对会为您保守秘密.”但是被访人往往心有疑虑,在 统计行业还不能达到像记者行业那样为当事人绝对保密时,这样的怀疑是理所当然的.但是我 们的数据会因此失真,为了得到真实的回答,只能千方百计地得到他们的信任,降低问题的敏 感程度. 1965 年 Stanley.L.Warner 发明了一种应用概率的初等概念来消除不信任情绪的方法.这 种方法要求被访人随机地选答两个问题中的一个,而不必告诉采访者回答的是哪个问题,两个 问题中一个是敏感问题,一个是无关紧要的问题.被访人愿意如实回答,因为只有他们自己知 道回答的是哪个问题. 比如:无关紧要的问题是:“你的身份证号码最后一位是奇数吗？”另一个问题是:“你是否 吸毒？”然后你要求被访人掷一枚硬币,如果得到正面则回答前一个问题,如果是反面则回答 后一个问题,当然调查员不知道他们掷硬币的结果. 假设我们采访了 200 人,并得到 64 个“是”的回答.因为掷硬币的正反面概率各是 1/2,所以 我们期望有 100 人回答前一个问题,因为身份证号码最后一位是奇数或偶数的概率也各是 1/2, 所以 100 人中有 50 人回答“是”.因此回答敏感问题的 100 人中有 64-50=14 人回答“是”.由此 可知被访人群约有 14/100=14%吸毒. 刚看到这个问题时觉得有点不可思议,因为这个问题太敏感了.可是仔细想想也很好理解, 我们只需要知道被访人群中吸毒者的总数,并不需要知道究竟谁吸毒(这是警察的任务).正是 巧妙的数学工具使我们轻松地得到答案,而且调查的精度也可以控制. （四）知能训练 课本练习 1、2、3. （五）拓展提升 某商场为迎接国庆举办新产品问世促销活动,方式是买一份糖果摸一次彩,摸彩的器具是 绿、白两色的乒乓球,这些乒乓球的大小和质料完全相同.商场拟按中奖率 1%设大奖,其余 99%为小奖.为了制定摸彩的办法,商场向职工广泛征集方案,对征集到的优秀方案进行奖励. 如果你是此商场职工,你将会提出怎样的方案？ 注：商场提供的摸彩器材是棱长约 30 cm 的立方体形木箱,密封良好,不透光,木箱上方可容一 只手伸入,另备足够多的白色乒乓球和少量绿色乒乓球. 解：方案一： 在箱内放置 100 个乒乓球,其中 1 个为绿色乒乓球,其余 99 个为白色乒乓球,顾客一次摸 出 1 个乒乓球,如果为绿色乒乓球,即中大奖,否则中小奖,本方案中大奖的概率为： P1= 100 11 1 100  C . 方案二： 在箱内放置 14 个乒乓球,其中 2 个为绿色乒乓球,其余 12 个为白色乒乓球.顾客一次摸出 2 个乒乓球为绿色,即中大奖；如果摸出的 2 个乒乓球为白色,或 1 个为白色、1 个为绿色,则 中小奖.本方案中大奖的概率为：P2= 91 11 2 14  C . 方案三： 在箱内放置 15 个乒乓球,其中 2 个为绿色乒乓球,其余 13 个为白色乒乓球.顾客摸球和中 奖的办法与方案二相同.本方案中大奖的概率为:P3= 105 11 2 15  C . 方案四： 在箱内放置 25 个乒乓球,其中 3 个为绿色乒乓球,其余 22 个为白色乒乓球.顾客一次摸出 2 个乒乓球（或分两次摸,每次摸一个乒乓球,不放回）,如果摸出的 2 个乒乓球为绿色,即中大 奖；如果摸出的 2 个乒乓球为白色,或 1 个为白色、1 个为绿色,则中小奖.本方案中大奖的概 率为:P4= 100 1 21 242532 25 2 3   C C . （六）课堂小结 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学,正确理解概率的意义是认识、 理解现实生活中有关概率的实例的关键,学习过程中应有意识形成概率意识,并用这种意识来 理解现实世界,主动参与对事件发生的概率的感受和探索.通过以上例题与练习可以感到,数 学特别是概率正越来越多地应用到我们的生活当中.它们已经不是数学家手中的抽象理论,而 成为我们认识世界的工具.从彩票中奖,到证券分析;从基因工程,到法律诉讼；从市场调查,到 经济宏观调控;概率无处不在. （七）作业 习题 3.1A 组 2、3.