陕西省咸阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

陕西省咸阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

咸阳市2019～2020学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学（文科）试题 注意事项：‎ ‎1.本试题共4页满分150分，时间120分钟；‎ ‎2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；‎ ‎3.选择题必须使用2B铅笔填涂非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；‎ ‎4.考试结束，监考员将试题卷答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.一元二次不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数得图像，可得结果.‎ ‎【详解】令，如图 由，所以图形在轴下方，‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的的解法，属基础题.‎ ‎2.已知等比数列中，，公比，则（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式可得结果》‎ ‎【详解】由数列是等比数列，所以 则，又，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属基础题.‎ ‎3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，可直接求出的值.‎ ‎【详解】在中，由正弦定理得，所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用基本类型，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎4.不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. （0，2）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据转化为整式不等式，可得结果.‎ ‎【详解】由等价于，‎ 所以，所以解集为 故选：A ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，掌握等价转换，化难为易，属基础题.‎ ‎5.命题“，有”的否定形式为（ ）‎ A. ，有 B. ，有 C. ，使 D. ，使 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题得到答案.‎ ‎【详解】全称命题的否定是特称命题.‎ 故“，有”的否定形式为：，使 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.‎ ‎6.已知函数，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果.‎ ‎【详解】由，即 因为，所以 则，所以 故选：C ‎【点睛】本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题.‎ ‎7.已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，可得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，又，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查不等式的性质，熟练记住一些结论，如：不等式两边同乘或同除以一个正数，不改变不等号的方向，属基础题.‎ ‎8.已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是 A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导函数的图象得到导函数值的符号，然后判断出函数的单调性，然后再结合所给选项得到正确的结论．‎ ‎【详解】由导函数的图象可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．‎ 对于选项A，由于函数的单调减区间为，所以A不正确；‎ 对于选项B，由题意可得函数当时取得极大值，所以B不正确；‎ 对于选项C，由题意当时函数无极值，所以C不正确；‎ 对于选项D，由题意可得只有当时函数取得极大值，所以D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】解答本题的关键是由题中的图象得到导函数的符号，然后由导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况．解题时要分清导函数的零点与函数极值点间的关系，常出现的错误是认为导函数的零点即为函数的极值点．‎ ‎9.数列满足，则的前10项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据裂项相消法求和.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以的前10项和为，选B.‎ ‎【点睛】本题考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.在等差数列中，，，则数列的前项和中最小的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，了解数列的特点，可得结果 ‎【详解】因为数列是等差数列，所以，‎ 由，所以，又，可知，‎ 等差数列公差，即等差数列是递增数列，‎ 且前7项均是负数，所以前项和中最小的是 故选：D ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质，简单判断，属基础题.‎ ‎11.已知是等比数列，则“”是“是递增数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果 ‎【详解】由数列是等比数列，可假设，‎ 则，‎ 可知，但数列不是递增数列，‎ 若数列是递增数列，由定义可知，，故 ‎“”是“是递增数列”的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】本题考查充分、必要条件的定义，同时还考查了等比数列的单调性，巧取特殊值，快速解决问题，属基础题.‎ ‎12.已知点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据菱形的定义以及圆的半径，可得渐近线的斜率，结合的关系和离心率的表示，可得结果.‎ ‎【详解】如图，‎ 圆的半径为，且四边形是菱形，‎ 所以，可知，‎ 所以，即 所以，又，‎ 则，由，且 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，高考常考题，正确分析题干，理清思路，属基础题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数导函数为，且满足，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数求导的运算法则，可得结果.‎ ‎【详解】由，则，‎ 所以，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数在某点处的导数，掌握初等函数的导函数，以及导数的四则运算，属基础题.‎ ‎14.函数的最小值为____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由基本不等式得,求出函数的最小值.‎ ‎【详解】,,当且仅当,等号成立,.‎ 故答案为: 8‎ ‎【点睛】利用基本不等式求最值,要注意条件,一“正”,二“定”,三“等”,缺一不可.‎ ‎15.若直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，其中点，且，则__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，可得结果.‎ ‎【详解】根据题意：抛物线的准线方程为，‎ 由抛物线上的点，‎ 所以，又，‎ 所以，则 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，属基础题.‎ ‎16.若函数在区间内有两个不同的零点，则的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用等价转换以及分离参数方法，并构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，判断新函数的值域与的关系，可得结果.‎ ‎【详解】由函数在区间内 有两个不同的零点，‎ 等价于在区间 有两个不同的实数根，‎ 即在区间有两个不同的实数根，‎ 等价于函数图像在 有两个不同的交点，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以函数在递减，在递增 所以，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，研究参数的范围，熟练掌握分离参数的方法，且学会构建新函数，化繁为简，属中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.求下列函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的加法法则，以及基础函数的导数，可得结果.‎ ‎（2）根据导数的除法法则，以及基础函数的导数，可得结果.‎ 详解】解：（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，属基础题.‎ ‎18.设等差数列的公差为，，为的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比中项的概念求出公差，结合等差数列的通项公式，可得结果.‎ ‎（2）根据（1）的结论，结合分组求和的方法，可得结果.‎ ‎【详解】解：（1），为与的等比中项，‎ ‎，即，‎ 由，所以，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及分组求和，掌握求和的基本题型，比如：分组求和，裂项相消，错位相减等，属基础题.‎ ‎19.的内角所对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．‎ ‎【详解】（1）因为，根据正弦定理得， ‎ 又，从而，‎ 由于，所以． ‎ ‎（2）根据余弦定理，而，，，‎ 代入整理得，解得或（舍去）．‎ 故的面积为．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎20.已知是抛物线上一点过抛物线焦点作条直线，直线 与抛物线交于不同的两点，，在点处作抛物线的切线在点处作抛物线的切线.‎ ‎（1）求的值及焦点的坐标；‎ ‎（2）设切线的斜率为，切线的斜率为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；焦点的坐标为（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代值计算，可得结果.‎ ‎（2）利用导数，分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）将代入中，‎ 可得，，‎ ‎∴抛物线的标准方程为，‎ 故焦点的坐标为.‎ ‎（2）显然，直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，‎ 联立，消去得，，‎ 则，‎ 由，得，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的概念，还考查了直线与抛物线的几何关系，对这种题型，重在于计算，联立方程，使用韦达定理，同时也会融合导数等知识，属中档题.‎ ‎21.如图，已知、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的上顶点，点在轴负半轴上，满足是的中点，且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若的外接圆恰好与直线相切，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据是的中点，可知长度，结合勾股定理，以及的关系且的表示，可得结果.‎ ‎（2）根据（1）的条件可知的外接圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，可得，进一步得到，最后可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）为的中点，，‎ 在中，，‎ 即，又，，‎ 故椭圆的离心率.‎ ‎（2）由（1）知，得，‎ ‎，，‎ 的外接圆的圆心为，半径，‎ 的外接圆恰好与直线相切，‎ ‎，解得，，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的方程，还考查了直线与圆的几何关系，读懂题干，理清思路，细心计算，属中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，若的极小值为，证明：当时，.‎ ‎（其中…为自然对数的底数）‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为；单调递增区间为（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数，判断函数的单调性，可得结果.‎ ‎（2）利用导数判断的单调性，计算，根据恒成立的条件，并使用（1）的条件以及比较法中的作差法，可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知的定义域为，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 的单调递减区间为；‎ 单调递增区间为.‎ ‎（2）证明：，，‎ 则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎，‎ 由题及（1）知，‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及式子之间的大小关系，导数是判断函数性质的基本工具，灵活应用，结合一些方法，比如：等价转化，分离参数，构造新的函数，细心计算，属中档题.‎