人教数学九上圆全章
第二十四章 圆
单元要点分析
教学内容
1．本单元数学的主要内容．
（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．
（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．
（3）正多边形和圆．
（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．
2．本单元在教材中的地位与作用．
学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．
（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．
（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．
2．过程与方法
（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．
（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．
（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．
（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
（5）探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．
3．情感、态度与价值观
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
教学重点
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．
4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．
5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6．直线L和⊙O相交d
r及其运用．
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．
10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│AD
(1) (2) (3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD
二、填空题
1．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则
AC=_____．
(4) (5)
2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
三、综合提高题
1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．
答案:
一、1．D 2．D 3．D
二、1．8 2．8 10 3．AB=CD
三、1．AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM．
∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，
∴AN=BM．
2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示
∵AE=2，EB=6，∴OE=2，
∴EF=，OF=1，连结OD，
在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=，∴CD=2．
_
B
_
A
_
C
_
O
_
D
3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:
∵AB=16，AC=8，AD=8，
∴AC=（AB），∴∠CAB=60°，
同理可得∠DAB=30°，
∴∠DAC=30°．
（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．
24.1 圆(第2课时)
教学内容
1．圆心角的概念．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教学目标
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下题．
已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．
老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°．
二、探索新知
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
=，AB=A′B′
理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴与重合，弦AB与弦A′B′重合
∴=，AB=A′B′
因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作．
（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2，滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
(1) (2)
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现：=，AB=A/B/．
现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
（学生活动）请同学们现在给予说明一下．
请三位同学到黑板板书，老师点评．
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴=，∠AOB=∠COD
三、巩固练习
教材P89 练习1 教材P90 练习2．
四、应用拓展
例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
(3) (4)
分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：（1）AB=CD
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F
∵∠APM=∠CPM
∴∠1=∠2
OE=OF
连结OD、OB且OB=OD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB
∴DF=BE
根据垂径定理可得：AB=CD
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°
∴Rt△OPE≌Rt△OPF
∴OE=OF
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF
∴∠1+∠2=∠3+∠4
∴AB=CD
五、归纳总结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
六、布置作业
1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题．
1．如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（ ）
A．=2 B．> C．<2 D．不能确定
3．如图5，⊙O中，如果=2，那么（ ）．
A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC
(5) (6)
二、填空题
1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
三、解答题
1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
（1）求证：=；
（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？
2．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度数和的度数．
3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．
答案:
一、1．D 2．A 3．C
二、1．圆的旋转不变形 2．或 3．3
三、1．（1）连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON，OA=OB，
∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN，
∴∠AOM=∠BON，∴
（2）
2．BE的度数为80°，EF的度数为50°．
3．连结AC、BD，∵C、D是三等分点，
∴AC=CD=DB，且∠AOC=×90°=30°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴AE=AC，
同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD
24.1 圆(第3课时)
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1．教材P92 思考题．
2．教材P93 练习．
四、应用拓展
例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．
分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中，sinD=，即2R=
同理可证：=2R，=2R
∴===2R
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
六、布置作业
1．教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13．
2．选用课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．
A．140° B．110° C．120° D．130°
(1) (2) (3)
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（ ）．
A．3 B．3+ C．5- D．5
二、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．
(4) (5)
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
答案:
一、1．D 2．B 3．D
二、1．120°或60° 2．90° 3．
三、1． 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=
3．（1）略 （2）4，（-2，2）
24.2 与圆有关的位置关系(第1课时)
教学内容
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr
点P在圆上d=r
点P在圆内dr点P在圆外；如果d=r点P在圆上；如果dr
点P在圆上d=r
点P在圆内dr．
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
5．应用以上的内容解答题目．
教学目标
（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念．
（2）理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：
直线L和⊙O相交dr．
（3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d=r直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理．
重难点、关键
1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
教学过程
一、复习引入
（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：点P在圆外d>r，如图（a）所示；
点P在圆上d=r，如图（b）所示；
点P在圆内dr，如图（c）所示．
因为d=r直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线．
例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可．
（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
解：（1）如图24-54：过C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ABC中
BC==
∴CD==2
因此，当半径为2cm时，AB与⊙C相切．
理由是：直线AB为⊙C的半径CD的外端并且CD⊥AB，所以AB是⊙C的切线．
（2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离d=2cm，所以
当r=2时，d>r，⊙C与直线AB相离；
当r=4时，dr
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．
5．应用上面的知识解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P110 复习巩固4、5．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题．
1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）
A． B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（ ）
A．（∠B+∠C） B．90°+∠A
C．90°-∠A D．180°-∠A
二、填空题
1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
三、综合提高题
1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．
（1）求证：∠PAB=∠C．
（2）如果PA2=PD·PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．
2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=， 其中P=（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=（a+b-c）
3．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（，0），连结AB．
（1）求证：∠ABO=∠ABO；
（2）设E为优弧的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BE·BF的值．
（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与BD的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，给出下列两个结论．
①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
（友情提示：如图3，如果DE∥BC，那么）
(1) (2) (3)
答案:
一、1．A 2．B 3．C
二、1．4 2． 120° 3．130° 160°
三、1．（1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．
（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为．
2．（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，
则S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r，则r=；
（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，
如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE，
∴DIEC为正方形，∴CE=CD=r，
∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，∴r=（a+b-c）．
3．（1）证明：连结O1A，则O1A⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，
又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO
（2）连结CE，∵O1A∥OB，∴，
设DB=2x，则O1D=5x，∴O1A=O1B=5x-2x=3x，
在Rt△DAO1中，（3x）2+（）2=（5x）2，∴x=，
∴O1A=O1B=，OB=1，
∵OA是⊙O1的切线，∴OA2=OB·OC，∴OC=4，BC=3，AB=，
∵E为优弧AC的中点，∴∠ABF=∠EBC，
∵∠BAF=∠E，∴△ABF≌△EBC，∴，
∴BE·BF=AB·BC=3．
（3）解：①BM-BN的值不变．
证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连结AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO=∠ABO，∠ABO=∠AMN，∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，
∵∠AMG=∠ANB，MG=BN，
∴△AMG≌△ANB，∴AG=AB，
∵AD⊥BG，∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BG=2其值不变．
24.2 与圆有关的位置关系(第3课时)
教学内容
1．切线长的概念．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．
教学目标
了解切线长的概念．
理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：切线长定理及其运用．
2．难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
教学过程
一、复习引入
1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？
3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？
老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．
（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．
（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交dr；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
二、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．
问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．
老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．
我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
从上面的操作几何我们可以得到：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
下面，我们给予逻辑证明．
例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．
求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
因此，我们得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．
（同刚才画的图）设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
例2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．
解：连结AO、BO、CO
∵⊙O是△ABC的内切圆且D、E、F是切点．
∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2
∴AB=4，BC=5，AC=3
又∵S△ABC=6
∴（4+5+3）r=6
∴r=1
答：所求的内切圆的半径为1．
三、巩固练习
教材P106 练习．
四、应用拓展
例3．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y．
（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．
（3）求△COD的面积．
分析：（1）要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系，
根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，
又因为AB=12，所以只要作DF⊥BC垂足为F，
根据勾股定理，便可求得．
（2）∵x，y是2t2-30t+m=0的两根，
那么x1+x2=，x1x2=，便可求得x、y的值．
（3）连结OE，便可求得．
解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形．
∵⊙O切AM、BN、CD于A、B、E
∴DE=AD，CE=CB
∵AD=x，CB=y
∴CF=y-x，CD=x+y
在Rt△DCF中，DC2=DF2+CF2
即（x+y）2=（x-y）2+122
∴xy=36
∴y=为反比例函数；
（2）由x、y是方程2t-30t+m=0的两根，可得：
x+y==15
同理可得：xy=36
∴x=3，y=12或x=12，y=3．
（3）连结OE，则OE⊥CD
∴S△COD=CD·OE=×（AD+BC）·AB
=×15××12
=45cm2
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆的切线长概念；
2．切线长定理；
3．三角形的内切圆及内心的概念．
六、布置作业
1．教材P117 综合运用5、6、7、8．
2．选用课时作业设计．
第三课时作业设计
一、选择题．
1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）．
A．60° B．75° C．105° D．120°
(1) (2) (3) (4)
2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ）．
A．9 B．9（-1） C．9（-1） D．9
3．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（ ）
A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a
二、填空题
1．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．
2．如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．
3．如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．
三、综合提高题
1．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点， 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．
2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
求证∠ABO=∠APB.
3．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：DE∥OC；
（2）若AD=2，DC=3，且AD2=AE·AB，求的值．
答案:
一、1．C 2．C 3．D
二、1．14cm 2．a 3．正方形
三、1．解：∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，
又∠E=46°，而∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∠ECB=67°，
又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°，
∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，
又∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-81°=99°
2．证明：连结OP、OA，OP交AB于C，
∵B是切点，∴∠OBP=90°，∠OAP=90°，
∴∠BOP=∠APO，
∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOC，∴∠OCB=90°，
∵∠OBA=∠OPB，∴∠OBA=∠APB．
3．（1）证明：连结OD，
则∠ODC=Rt∠，∠ODE=∠OED，
由切线长定理得：CD=CB，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC，∴∠COB=∠COD，
∵∠DOE+2∠OED=180°，
又∠DOE+2∠COB=180°，∴∠OED=∠COB，∴DE∥OC
（2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4，
又∵AD2=AE·AB，∴AE=1，
∴BE=3，OB=BE=，∴=．
24.2 与圆有关的位置关系(第4课时)
教学内容
1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念．
2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离d>r1+r2
外切d=r1+r2
相交│r1-r2│r
二、探索新知
请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．
（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？
（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1r1+r2；
外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；
相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1r1+r2
外切d=r1+r2
相交r2-r11+3，外离．
（2）设B（x，0）x≠-2，则AB=，⊙B半径为│x+2│，
①设⊙B与⊙A外切，则=│x+2│+1，
当x>-2时，=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），
当x<-2时，=-x-1，化简得x=4>-2（舍），
②设⊙B与⊙A内切，则=│x+2│-1，
当x>-2时，=x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），
当x<-2时，=-x-3，得x=0，
∵0>-2，∴应舍去．
综上所述：B（0，0）或B（4，0）．
24.3 正多边形和圆
教学内容
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．
3．正多边形的画法．
教学目标
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．
重难点、关键
1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD
∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．
为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a
利用勾股定理，可得边心距
OM==a
∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．
例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．
解：正五边形的中心角∠AOB==72°，
如图，∠AOC=30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）
画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；
（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．
（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．
则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．
三、巩固练习
教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．
四、应用拓展
例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC的边AB上的高h．
（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．
解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8
（2）∵h=且DN=x
∴NF=
则S四边形DEFN=x·（4.8-x）=-x2+10x
=-（x2-x）
=- [（x-）2-]
=-（x-2.4）2+12
∵-（x-2.4）2≤0
∴-（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号
∴当x=2.4时，SDEFN最大．
（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．
∴BE==1.8
∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．
∵当x=2.4时，DE=5
∴AD=3.2，
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:
此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、选择题
1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
(1) (2) (3)
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）．
A．36° B．60° C．72° D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
二、填空题
1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．
2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．
3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
三、综合提高题
1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
2．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．
（1）求证：四边形CDEM是菱形；
（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．
答案:
一、1．C 2．C 3．D
二、1．a2 2． 3．r 3r 60°
三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，
则OM⊥BC于M，OM=a，
连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=a，∠EOM=45°，OE=a，
∵EN=a，EF=2EN=a，∴S正方形=a2．
2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，
由题意得：2a=6，∴a=3．
如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，
过O作OD⊥AB，垂足为D，
则OD=r6，则∠DOA==30°，AD=AB=，
在Rt△ABC中，OD=r6=cm，
∴S=6·ar6=×3××6=cm2．
3．略.
24.4 弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念；
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；
4．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．圆的面积公式是什么？
3．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2R
（2）圆的面积S图=R2
（3）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
……
5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n°的圆心角所对的弧长为
例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）
分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
解：R=40mm，n=110
∴的长==≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：
1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．
2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
……
5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．
老师检察学生练习情况并点评
1．360 2．S扇形=R2 3．S扇形=R2 4．S扇形= 5．S扇形=
因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形
S扇形=
例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．
解：的长=×10=≈10.5
S扇形=×102=≈52.3
因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．
三、巩固练习
课本P122练习．
四、应用拓展
例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
(a) (b)
（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．
解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）120°；70°
（3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念．
3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
4．运用以上内容，解决具体问题．
六、布置作业
1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．
2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计
一、 选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（ ）
A．1 B． C． D．
(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12m B．18m C．20m D．24m
二、填空题
1．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______， 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．
三、综合提高题
1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．
答案:
一、1．B 2．D 3．D
二、1．45° R 2．3
三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上
由=R，解得：∠AOB=60°，
由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=R，所以⊙O′的周长为2r=R．
2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，
可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，
所以OA=8cm，OB=12cm，
因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，
所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，
而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．
因此，与原题意相符．
3．设屏幕被着色面积为S，
则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，
连结BD′，
在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=，
∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，
∴S=·22+1·=+．
24.4 弧长和扇形面积(第2课时)
教学内容
1．圆锥母线的概念．
2．圆锥侧面积的计算方法．
3．计算圆锥全面积的计算方法．
4．应用它们解决实际问题．
教学目标
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．
通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．
2．难点：探索两个公式的由来．
3．关键：你通过剪母线变成面的过程．
教具、学具准备
直尺、圆规、量角器、小黑板．
教学过程
一、复习引入
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．
2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．
老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L=，S扇形=，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆．
（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．
这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．
二、探索新知
我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
（学生分组讨论，提问二三位同学）
问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．
老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=，其中n可由2r=求得：n=，∴扇形面积S==rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2．
例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则
r=
L=≈22.03
S纸帽侧=rL≈×58×22.03=638.87（cm）
638.87×20=12777.4（cm2）
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
分析：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，
圆锥母线为腰的等腰三角形．
解：（1）如图所示：
∵300=
∴R=30
∴弧长L==20（cm）
（2）如图所示：
∵20=20r
∴r=10，R=30
AD==20
∴S轴截面=×BC×AD
=×2×10×20=200（cm2）
因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2．
三、巩固练习
教材P124 练习1、2．
四、应用拓展
例3．如图所示，经过原点O（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.
（1）求出图中曲线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另外一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连结MD，已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）．
（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=S△DON请求出此时点P的坐标．
解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线y=ax2+bx+c（a≠0）上
∴
解得a=1，b=-4，c=0
∴图中曲线的解析式是y=x2-4x
（2）抛物线y=x2-4x与x轴的另一个交点坐标为c（4，0）,
连结EM，
∴⊙M的半径为2，即OM=DM=2
∵ED、EO都是⊙M的切线
∴EO=ED ∴△EOM≌△EDM
∴S四边形EOMD=2S△OME=2×OM·OE=2m
（3）设点D的坐标为（x0，y0）
∵S△DON=2S△DOM=2×OM×y0=2y0
∴S四边形ECMD=S△DON时即2m=2y0，m=y0
∵m=y0
∴ED∥x轴
又∵ED为切线
∴D（2，2）
∵点P在直线ED上，故设P（x，2）
∵P在圆中曲线y=x2-4x上
∴2=x2-4x 解得：x==2±
∴P1（2+，0），P2（2-，2）为所求．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．什么叫圆锥的母线．
2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．
六、布置作业
1．教材P124 复习巩固4 P125 综合运用8 拓广探索9、10．
2．选用课时作业设计．
第二课时作业设计
一、选择题
1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ）
A．228° B．144° C．72° D．36°
3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）
A．6 B． C．3 D．3
二、填空题
1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．
2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是__________（用含的代数式表示）
3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．
三、综合提高题
1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：
（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）
（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？
2．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积．
3．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．
答案:
一、1．D 2．C 3．C
二、1．r2+rL 2．1 30cm2 3．158.4
三、1．（1）2400cm2 （2）40cm
2．48cm2
3．S表=S柱侧+S柱底+S锥侧=2×3×4+×32+×3×5=24+9+15=48cm2．
