【数学】福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题

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【数学】福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题

福建省泰宁第一中学2019-2020学年 高二上学期第一阶段考试试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,‎ 考试时间:120分钟 总分:150分 注意事项:‎ ‎1. 答题前,考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号,第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答,答案无效.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的准线方程为( )‎ ‎. . . .‎ ‎2.已知向量,,且//,则实数( )‎ ‎. . . .‎ ‎3.下列命题错误的是( )‎ ‎.“若,则”的否命题为“若,则”‎ ‎.若为假命题,则均为假命题;‎ ‎.命题“,”的否定为“,”‎ ‎.命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为:“若方程无实数根,则”;‎ 4. ‎ 抛物线的顶点在原点,对称轴是轴,点在抛物线上,则抛物线的方程为( )‎ A. B. C. D. 或 ‎5.“”是“椭圆焦距为”的( )‎ ‎.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件 ‎6.在空间四边形中,点在线段上,且,点为的中点.若,,,则等于( )‎ ‎. . . .‎ ‎7. 已知双曲线C: 的离心率为,则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ 8. 如图所示,在正方体中,点是棱的中点,‎ 点是棱的中点,则异面直线与所成的角为(  )‎ ‎.120° .90° .60° .30°‎ ‎9.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P在椭圆上,则的最大值是(  )‎ A. B.4 C. D.2‎ ‎10.如图,在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,若二面角α﹣l﹣β的大小为,AB=AC=2,BD=3,则CD=(  )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知P为抛物线上一个动点,Q为圆上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(   )‎ ‎12.已知双曲线C:的左、右焦点分别为,过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若,则的离心率是(   )‎ A. B. C.2 D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.双曲线的焦距长为_______. ‎ ‎14.命题“”是假命题,则实数a的取值范围为_________‎ ‎15.过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为 ‎ ‎16.在正方体中,若棱长为,点、分别为线段、上的动点,则下列结论中正确结论的序号是__________‎ ‎①面; ②面面;‎ ‎③点到面的距离为定值; ④线与面所成角的正弦值为定值.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知命题无实数解,命题:方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎(Ⅰ)若命题为假命题,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若命题“或”为真,命题“且”为假,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知双曲线 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,且经过点(2,3).‎ ‎(Ⅰ)求双曲线C的标准方程和其渐近线方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l经过点(0,﹣1),且斜率为k.求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在直三棱柱中,为等腰直角三角形,‎ ‎,且,分别为、、的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求锐二面角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知点满足,设点M的轨迹是曲线C.‎ Ⅰ求曲线C的方程.‎ Ⅱ过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求(O为坐标原点)的面积 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,PA⊥底面ABCD,AB=AC=PA=2,E、F分别为BC、AD的中点,点M在线段PD上.‎ ‎(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)设,若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为,求λ的值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆:的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若为椭圆短轴的上顶点,直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,问:直线是否过定点?若是,求出这个定点,否则说明理由.‎ 参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B C A C C B B A D C 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13、 4 14、 15、 16、①②③‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17、解: (Ⅰ)命题:,得 ……………………………2分 依题意得为真命题……………………………………………………………………3分 所以,的取值范围为 …………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)命题:,得 ………………………………6分 依题意得p与q必然一真一假…………………………………………………………7分 若真假,则,得或 …………………8分 若假真,则,此时无解 ……………………………………9分 所以,实数的取值范围为 …………………………………………10分 ‎18【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)法一:由已知,双曲线的焦点为(﹣2,0)和(2,0)…‎ 据定义有:…‎ 故a2=1,c2=4,b2=3,从而所求双曲线C的方程为.…‎ 其渐近线方程为:…‎ 法二:由,故所求双曲线C的方程为…‎ 其渐近线方程为:…‎ ‎(Ⅱ)由得:(3﹣k2)x2+2kx﹣4=0…‎ 当3﹣k2≠0,即时,…‎ 若△>0,即△=4k2﹣4(﹣4)(3﹣k2)=12(4﹣k2)>0⇒4﹣k2>0⇒﹣2<k<2时,‎ 直线与双曲线相交,有两个公共点;…‎ 所以,当﹣2<k<2,且时,直线与双曲线有两个公共点 ‎19、解: (Ⅰ)方法一:设的中点为,连接,则,‎ ‎∴四边形为平行四边形…………………………………………………………2分 ‎∴………………………………………………………………………………4分 又, ∴面. ……………………………6分 法二:以点为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系 令,则, …2分 ‎,面的一个法向量为 ……………………………3分 ‎∵,∴ ………………………………………………………5分 又∵,∴∥平面.………………………………… ……6分 ‎(Ⅱ),,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ , ‎ ‎∵ ∴面 ‎ ‎∴平面的一个法向量为…………………………………………8分 ‎ 设平面的法向量为,则由,即.‎ 令,则 …………………………………………9分 ‎ ……………………………………………………11分 ‎ ‎∴锐二面角的余弦值为 ……………………………………………12分 ‎20.(12分)解:由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线 ‎∴ ∴‎ 所以曲线的方程为 ……………………5分 (2)联立 得 ………7分 ‎ ……………9分 ‎ ………12分 ‎21.【解答】(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明:在平行四边形ABCD中,因为AB=AC,∠ABC=45°,‎ 所以∠ACB=45°,故AB⊥AC. …‎ 由E、F分别为BC、AD的中点,得EF∥AB,所以EF⊥AC…‎ 因为PA⊥底面ABCD,EF⊂底面ABCD,所以PA⊥EF. …‎ 又因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,…‎ 所以EF⊥平面PAC. …‎ ‎(向量法参照给分,建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分)‎ ‎(Ⅱ)解:因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AC,所以AP,AB,AC两两垂直,分别以AB,AC,AP所在直线为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz.‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(﹣2,2,0),E(1,1,0).‎ 所以,,…‎ 由已知,,故,‎ 所以M(﹣2λ,2λ,2﹣2λ),,…‎ 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),‎ 由,得 令x=1,得=(1,1,1).…‎ 所以 ‎=,…‎ 化简得4λ2+4λ﹣3=0,…‎ 故或(舍)…‎ ‎22.【答案】(1)(2)过定点(2,-1)‎ ‎【详解】解:(1)由题意可知,‎ 令,代入椭圆可得, ‎ ‎ ‎ 又,‎ 两式联立解得:, ‎ ‎;‎ ‎(2)①当斜率不存在时,设,‎ ‎,‎ 得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足题意.‎ ‎②当斜率存在时,设,‎ ‎,‎ 联立,‎ 整理得, ,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ,,此时,存在使得成立.‎ ‎∴直线的方程为,即,‎ 当,时,上式恒成立,‎ 所以过定点.‎
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