2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

2020_2021学年新教材高中数学第3章不等式3

第2课时　一元二次不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)‎ ‎2．理解三个“二次”之间的关系．‎ ‎3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)‎ ‎1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养．‎ ‎2．借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养．‎ 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．‎ 在一个限速为‎40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过‎6 m，乙车的刹车距离略超过‎10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别是什么？试判断甲、乙两车有无超速现象．‎ ‎1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数)‎ 法一：或 法二：‎ ‎(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)‎ ≥0(≤0)‎ 法一：‎ 或 法二：‎ ＞k 先移项通分转化为上述两种形式 - 8 -‎ (其中k为非零实数)‎ 思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？‎ ‎[提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．‎ ‎2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0‎ ax2＋bx＋c<0‎ a＝0‎ b＝0，c>0‎ b＝0，c<0‎ a≠0‎ ‎(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y最大值≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y最小值≥k 思考2：x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？‎ ‎[提示]　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．‎ ‎3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 ‎(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．‎ ‎(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．‎ ‎(3)解不等式(或求函数最值)．‎ ‎(4)回扣实际问题．‎ 思考3：解一元二次不等式应用题的关键是什么？‎ ‎[提示]　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．‎ ‎1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)‎ A．{x|－1≤x<0}　　　　 B．{x|00在R上恒成立，则实数a的取值范围是　　　　．‎ ‎(0,8)　[因为x2－ax＋‎2a>0在R上恒成立，‎ 所以Δ＝a2－4×‎2a<0，所以00，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30．]‎ 分式不等式的解法 ‎【例1】　解下列不等式：‎ ‎(1)<0；‎ ‎(2)≤1．‎ ‎[解]　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－23．‎ 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．‎ ‎(2)不等式<3可改写为－3<0，‎ 即<0．‎ 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，‎ 解得－10恒成立，如何求实数a的取值范围？‎ ‎[提示]　若a＝0，显然ax2＋2x＋2>0不能对一切x∈R都成立，所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>．‎ - 8 -‎ ‎2．若函数y＝x2－ax－3对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？‎ ‎[提示]　要使x2－ax－3<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由函数y＝x2－ax－3的图象可知，此时a应满足 即 解得a<－2．‎ 故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3<0在x∈[－3，－1]时恒成立．‎ ‎3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？‎ ‎[提示]　由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y＝f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4．‎ 要使对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需满足即 因为x2－2x＋4<0的解集是空集，‎ 所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立．‎ ‎【例3】　已知y＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，y≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[思路点拨]　对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．‎ ‎[解]　设函数y＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2,2]时的最小值为m，则 ‎(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，m＝7－‎3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．‎ ‎(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，m＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2．‎ ‎(3)当－>2，即a<－4时，m＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4．‎ 综上，a的取值范围为－7≤a≤2．‎ ‎1．(变结论)本例条件不变，若y≥2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　若x∈[－2,2]，y≥2恒成立可转化为：当x∈[－2,2]时，函数的最小值m≥2⇔ 或或 解得a的取值范围为[－5，－2＋2]．‎ ‎2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．‎ ‎[解]　法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，‎ - 8 -‎ ‎∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，‎ ‎∴Δ＝4－4(a2－3)<0，解得a>2或a<－2．‎ 法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足函数的最小值m＝a2－4>0，解得a>2或a<－2．‎ 法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2．‎ ‎1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；‎ 当a≠0时， ‎2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；‎ 当a≠0时， ‎3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，‎ y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．‎ ‎1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有分母时，分母不为零．‎ ‎2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：‎ ‎(1)若关于x的函数有最大值M，则a>y恒成立⇔a>M；(2)若关于x的函数有最小值m，则a1的解集为x<1． (　　)‎ ‎(2)求解m>x2＋mx恒成立时，可转化为求解函数y＝x2＋mx的最大值，从而求出m的范围． (　　)‎ ‎[提示]　(1)>1⇒－1>0⇒<0⇒{x|0400，解得15≤x<20．‎ 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．‎ - 8 -‎