上海市浦东新区2020届高三数学二模试卷

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浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学试卷 ‎ ‎2020.05‎ 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．‎ ‎1．设全集，集合，则 ．‎ ‎2. 某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为 ．‎ ‎3. 若函数，则 ．‎ ‎4. 若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则 ．‎ ‎5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 ．‎ ‎6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则直线与圆的位置关系是 ．‎ ‎7. 若二项式展开式的第项的值为，则 ．‎ ‎8. 已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.‎ ‎9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同．如果的概率和的概率相等，则 ．‎ ‎10. 已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 ．‎ ‎11. 如图，在中，，为中点，为 上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 . ‎ ‎12.已知数列满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为 .‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．若、满足 ， 则目标函数的最大值为( )‎ A． B． C． D. ‎ ‎14. 如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )‎ A． 有一条 B． 有二条 ‎ C． 有无数条 D. 不存在 ‎ ‎ 15. 已知函数.给出下列结论：‎ ①是周期函数； ② 函数图像的对称中心；‎ ③ 若，则；‎ ④ 不等式的解集为.‎ 则正确结论的序号是 ( ) ‎ A． ① ② B． ② ③ ④ C． ① ③ ④ D. ① ② ④ ‎ ‎16. 设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )‎ A． B． C． D. ‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.‎ 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．‎ ‎（1）求此几何体的体积；‎ ‎（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，，且，求的值．‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中 为参数）作为补助款发放方案．‎ ‎（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；‎ ‎（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．‎ ‎20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；‎ ‎（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.‎ ‎（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：‎ ① 等差数列：；‎ ② 等比数列：；‎ ‎（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.‎ ‎（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.‎ 浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学答案及评分细则 ‎ ‎2020.05‎ 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．‎ ‎1．设全集，集合，则 ．‎ ‎2. 某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为 ．‎ ‎3. 若函数，则 ．‎ ‎4. 若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则 ．‎ ‎5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 ．‎ ‎6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则直线与圆的位置关系是 相交 ．‎ ‎7. 若二项式展开式的第项的值为，则 ．‎ ‎8. 已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.‎ ‎9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同．如果的概率和的概率相等，则 ．‎ ‎10. 已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 {1} ．‎ ‎11. 如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 . ‎ ‎12.已知数列满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为 .‎ ‎【解】，‎ ‎，，‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．若、满足 ， 则目标函数的最大值为( )‎ A． B． C． D. ‎ ‎14. 如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线( )‎ A． 有一条 B． 有二条 ‎ C． 有无数条 D. 不存在 ‎ ‎ 15. 已知函数.给出下列结论：‎ ①是周期函数； ② 函数图像的对称中心；‎ ③ 若，则；‎ ④ 不等式的解集为.‎ 则正确结论的序号是 ( ) ‎ A． ① ② B． ② ③ ④ C． ① ③ ④ D. ① ② ④ ‎ ‎16. 设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )‎ A． B． C． D. ‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.‎ 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．‎ ‎（1）求此几何体的体积；‎ ‎（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【解答】（1）因为．…………（4分）‎ 所以，．………（7分）‎ ‎（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系．则，，，．‎ 所以，，.…………………（11分）‎ 设异面直线与所成的角为，则 ‎.…………（13分）‎ 所以，异面直线与所成角为.…………（14分）‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，，且，求的值．‎ ‎【解答】（1）由已知 ………… (2分)‎ 因而 …………（6分）‎ ‎（2）法一：（正弦定理）由已知， ………….(7分)‎ ‎ …………(10分)‎ ‎ …………(14分)‎ 法二：（余弦定理），‎ 因而由已知得 法三：（余弦定理、正弦定理）‎ 因而由余弦定理得： ‎ 同理 ‎ 得得 ‎ 法四：（射影定理）可得，‎ 下同解法二 ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．‎ ‎（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；‎ ‎（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．‎ ‎【解答】（1）法一：因为当时，，所以当时不满足条件②．‎ ‎…………（6分）‎ ‎ ‎ 法二：由条件②可知．‎ 因为，所以当时不满足条件②．…………（6分）‎ 法三：由条件②可知在上恒成立，所以，‎ 解得，所以当时不满足条件②．…………（6分）‎ ‎(注：如果证明了当时满足条件①得2分)‎ ‎（2）法一：由条件①可知，在上单调递增，则对任意时，‎ 有恒成立，‎ 即恒成立，所以；…………（10分）‎ 由条件②可知，，即不等式在上恒成立，‎ 所以 …………（13分）‎ 综上，参数的取值范围是．…………（14分）‎ 法二：由条件①可知，在上单调递增，‎ 所以当时，满足条件；当时，得，‎ 所以 …………（10分）‎ 由条件②可知，，即不等式在上恒成立，所以，得 …………（13分）‎ 综上，参数的取值范围是．…………（14分）‎ ‎20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；‎ ‎（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.‎ ‎【解答】（1）由可得，从而，‎ 椭圆方程为. ………… (4分)‎ ‎（2）由于四边形是菱形，因此且. ‎ 由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即. ………… (6分)‎ 设，与椭圆方程联立可得，设,因此，. ………… (8分)‎ 由，可得，‎ 解得，即直线方程为.………… (10分)‎ ‎（3） 设，由，可得，‎ 即.‎ 化简可得，‎ 即.‎ 若，则经过，不符，因此.………… (12分)‎ 联立直线与椭圆方程，.‎ 因为 ①‎ 由，可得， ② ………… (14分)‎ 将②代入①，；再由，‎ 可得，. ………… (16分)‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.‎ ‎（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：‎ ① 等差数列：；‎ ② 等比数列：；‎ ‎（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.‎ ‎（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.‎ ‎【解答】（1）① 等差数列：不是跳跃数列；………… (2分)‎ ② 等比数列：是跳跃数列. ………… (4分)‎ ‎（2）必要性：若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；‎ 若，是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)‎ 充分性：下面用数学归纳法证明：若，则对任何正整数，均有成立.‎ ‎（1）当时，，， ，‎ ‎，………… (8分)‎ ‎，所以命题成立………… (9分)‎ ‎（2）若时，，‎ 则，‎ ‎，所以当时命题也成立……… (10分)‎ 根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，故是跳跃数列.‎ ‎（3），‎ ‎，………… (11分)‎ ‎，………… (12分)‎ ‎ [1]若，则，此时；………… (14分)‎ ‎ [2]若，则，此时；………… (16分)‎ 若，则，所以.‎ 若，则，所以.‎ 所以，‎ 此时对任何正整数，均有………… (18分)‎