高三数学（文数）总复习练习专题八 平面向量

高三数学（文数）总复习练习专题八 平面向量

‎1．(2015·课标Ⅰ，2，易)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ ‎【答案】　A　＝(3，1)，＝－＝(－7，－4)，选A.‎ ‎2．(2015·江苏，6，易)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ ‎【解析】　由ma＋nb＝(9，－8)得，‎ m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，‎ 即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ ‎∴解得∴m－n＝－3.‎ ‎【答案】　－3‎ ‎1．(2014·广东，3，易)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　)‎ A．(－2，1) B．(2，－1)‎ C．(2，0) D．(4，3)‎ ‎【答案】　B　b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.‎ ‎2．(2014·课标Ⅰ，6，易)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　如图，‎ ＋＝－(＋)－(＋)‎ ‎＝－(＋)＝(＋)＝.‎ 方法点拨：正确运用平面向量三角形法则是解题关键．‎ ‎3．(2012·广东，3，易)若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝(　　)‎ A．(4，6) B．(－4，－6)‎ C．(－2，－2) D．(2，2)‎ ‎【答案】　A　∵＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)，故选A.‎ ‎4．(2013·辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　∵A(1，3)，B(4，－1)，∴＝(3，－4)，又∵||＝5，∴与同方向的单位向量为＝.故选A.‎ ‎5．(2012·浙江，7，中)设a，b是两个非零向量．(　　)‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎【答案】　C　由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，‎ 即a·b＝－|a|·|b|，故a与b方向相反且|a|≥|b|.又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1，0)，使得b＝λa.故A，B命题不正确，C命题正确，而两向量共线，不一定有|a＋b|＝|a|－|b|，即D命题不正确，故选C.‎ ‎6．(2011·山东，12，中)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎【答案】　D　由题意得＝λ，＝μ，且＋＝2，若C，D都在AB的延长线上，则λ>1，μ>1，＋<2，这与＋＝2矛盾，故选D.‎ ‎7．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，‎ y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ 解：(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，‎ ＝(2，1)，‎ ‎∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，‎ ‎∴||＝＝2.‎ ‎(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，‎ ‎∴ 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，结合图形知(如图)，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1.故m－n的最大值为1.‎ 考向1　平面向量的线性运算及共线问题 ‎1．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量 ‎－b的和的 运算叫作a 与b的差 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ 与向量a的 积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；‎ 当λ<0时，λa与a的方向相反；‎ 当λ＝0时，λa＝0‎ ‎(1)结合律：‎ λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)；‎ ‎(2)第一分配律：‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；‎ ‎(3)第二分配律：‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎2．向量共线的判定定理和性质定理 ‎(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．‎ ‎(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得＝＋λ(如图所示)．‎ ‎3．向量共线定理的应用 ‎(1)证明点共线；‎ ‎(2)证明两直线平行；‎ ‎(3)已知向量共线求字母的值(或范围)．‎ ‎(1)(2014·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4 ‎(2)(2013·四川，12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．‎ ‎(3)(2014·江苏南京二模，10)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________．‎ ‎【思路导引】　解题(1)的关键是判断平行四边形中点M的位置，点M为两对角线的交点，即为两对角线的中点；题(2)应用加法的平行四边形法则；题(3)的思路是由P，G，Q三点共线找出等量关系＝λ，再根据恒等关系列出方程组．‎ ‎【解析】　(1)依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.‎ ‎(2)在▱ABCD中，由平行四边形法则得＋＝＝2，∴λ＝2.‎ ‎(3)设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋ λb，‎ 从而消去λ得＋＝3.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)2　(3)3‎ ‎ 1.向量的线性运算的解题策略 ‎(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．‎ ‎(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．‎ ‎2．求解向量共线问题的注意事项 ‎(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．‎ ‎(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.‎ ‎(4)直线的向量式参数方程：＝(1－t)＋t(t∈R)．‎ ‎(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.‎ ‎(1)(2012·大纲全国，9)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)‎ A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b ‎(2)(2012·四川，7)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝2b ‎(1)【答案】　D　∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴AB＝＝，CD＝.‎ ‎∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.‎ ‎∴＝＝(－)‎ ‎＝a－b.‎ ‎(2)【答案】　D　∵表示与a同向的单位向量，‎ ‎∴a与b必须方向相同才能满足＝.故选D.‎ 考向2　平面向量基本定理及其应用 ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．‎ ‎(2)平面向量基本定理的实质 平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．‎ ‎2．平面向量基本定理的应用 ‎(1)证明向量共面，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．‎ ‎(2)根据平面向量基本定理求字母的值(或范围)．‎ ‎(1)(2013·江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎(2)(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ ‎【思路导引】　解题(1)的思路是先在△ABC中用和表示，然后根据已知条件对应求出λ1，λ2；题(2)方法一利用已知转化为，的关系，再利用，不共线求解，方法二利用几何图形和三点共线求解．‎ ‎【解析】　(1)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－，又＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝.∴λ1＋λ2＝.‎ ‎(2)方法一：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.‎ 又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得 解得 所以λ＋μ＝.‎ 方法二：如图，连接MN并延长交AB的延长线于T，‎ 由已知易得AB＝AT，‎ ‎∴＝＝λ＋μ.‎ ‎∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝.‎ ‎【答案】　(1)　(2) ‎ 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．‎ ‎(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．‎ 零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．‎ ‎(2014·山东济南质检，14)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝ ，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，用基底a，b表示向量＝________．‎ ‎【解析】　易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线知，存在实数m，满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.‎ 由C，E，M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)·＝n a＋(1－n)b.‎ 所以mb＋(1－m)a＝n a＋(1－n)b.‎ 由于a，b为基底，所以 解得 所以＝a＋b.‎ ‎【答案】　a＋b 考向3　平面向量坐标运算的应用 ‎1．平面向量的坐标运算 ‎(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．‎ ‎(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．‎ ‎2．向量平行的坐标表示 ‎(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.‎ a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．‎ ‎3．平面向量中的重要结论 G为△ABC的重心⇔＋＋＝0‎ ‎⇔G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．‎ ‎(1)(2014·北京，3)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)‎ A．(5，7) B．(5，9)‎ C．(3，7) D．(3，9)‎ ‎(2)(2013·陕西，2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于(　　)‎ A．－ B. ‎ C．－或 D．0‎ ‎(3)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．‎ ‎【解析】　(1)根据平面向量坐标运算法则，得2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．‎ ‎(2)因为a∥b，所以m2＝2，解得m＝－或m＝.故选C.‎ ‎(3)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)C　(3)4‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是掌握向量的坐标运算法则；解题(2)的方法是根据两向量共线的坐标表示的充要条件列出方程，进而求解；解题(3)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出a，b，c的坐标，利用a，b，c之间的关系，列出方程求解．‎ ‎ 向量坐标运算问题的一般思路 ‎(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．‎ ‎(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．‎ ‎(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．‎ ‎(2012·重庆，6)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ ‎【答案】　B　由⇒‎ ⇒ ‎∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，‎ ‎∴|a＋b|＝，故选B.‎ ‎1．(2015·北京石景山一模，8)AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　)‎ A．(2，4) B．(3，7) C．(1，1) D．(－1，－1)‎ ‎【答案】　D　如图，＝－＝(－1，－1)，‎ ‎∴＝＝(－1，－1)，选D.‎ ‎2．(2015·山东滨州一模，3)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，6)，且a∥b，则x的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】　C　因为a∥b，所以1×6－2x＝0，解得x＝3，选C.‎ ‎3．(2015·河北邯郸二模，6)如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎【答案】　D　由图知＋＋＝＋＋＝－＝.‎ ‎4．(2014·山西四校联考，8)在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ ‎【答案】　B　如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，故选B.‎ ‎5．(2014·皖南八校第三次联考，7)已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1，点E是AB上的动点(可以与A或B重合)，如图所示，则·的最大值是(　　)‎ A．1 B. C．0 D．－1‎ ‎【答案】　C　设＝a，＝b，‎ 则＝λ＝λa(0≤λ≤1)，‎ ＝－＝λa－b，‎ ‎∴·＝·(－)‎ ‎＝(λa－b)·(－a)‎ ‎＝－λa2＋a·b＝－λ.‎ 又0≤λ≤1，‎ ‎∴·的最大值为0.故选C.‎ ‎6．(2015·山东淄博一模，7)定义域为[a，b]的函数y＝f(x)的图象的两个端点为A，B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中x＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，向量＝λ＋(1－λ)，若不等式||≤k恒成立，则称函数f(x)在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y＝x＋在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为(　　)‎ A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)‎ C. D. ‎【答案】　C　由题意知a＝1，b＝2，所以A(1，2)，B.所以直线AB的方程为 y＝(x＋3)．‎ 因为xM＝λa＋(1－λ)b＝λ＋2(1－λ)＝2－λ，‎ ＝λ＋(1－λ)＝λ(1，2)＋(1－λ)·＝，所以xN＝2－λ，M，N的横坐标相同，且点N在直线AB上．‎ 所以||＝|yM－yN|‎ ‎＝ ‎＝.‎ 因为＋≥2＝，且＋≤，所以||＝＝－≤－.即||的最大值为－，所以k≥－，选C.‎ ‎7．(2015·湖南长沙一中月考，13)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，若a＝mb＋nc，则n－m＝________.‎ ‎【解析】　∵a＝mb＋nc，∴(3，2)＝(－m，2m)＋(4n，n)＝(－m＋4n，2m＋n)，‎ ‎∴解得 ‎∴n－m＝.‎ ‎【答案】　 ‎8．(2015·河南洛阳一模，13)已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________.‎ ‎【解析】　ka＋b＝k(1，3)＋(－2，1)＝(k－2，3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.‎ ‎【答案】　－1‎ ‎9．(2014·吉林长春一模，10)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积与△AOC 的面积之比为________．‎ ‎【解析】　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，说明M，O，N三点共线，即O为中位线MN上的一个三等分点，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎1．(2015·课标Ⅱ，4，易)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】　C　∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.‎ ‎2．(2015·重庆，7，易)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，‎ ‎∴2|a|2＋a·b＝0，‎ ‎∴a·b＝－2|a|2.‎ 又cos〈a，b〉＝，|b|＝4|a|.‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝－.‎ 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π.‎ ‎3．(2015· 广东，9，中)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1， －2)，＝(2，1)，则·＝(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】　A　∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴·＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5，选A.‎ ‎4．(2015·陕西，8，中)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A．|a·b|≤|a||b|‎ B．|a－b|≤||a|－|b||‎ C．(a＋b)2＝|a＋b|2‎ D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2‎ ‎【答案】　B　A选项中，|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|恒成立(|cos θ|≤1)；‎ B选项中，当a，b反向共线或不共线时不成立；‎ C选项中，(a＋b)2＝|a＋b|2恒成立；‎ D选项中，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2恒成立．‎ ‎5．(2015·湖北，11，易)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎【解析】　∵⊥，||＝3，‎ ‎∴·＝0，∴(－)＝0，‎ ‎∴·＝||2＝9.‎ ‎【答案】　9‎ ‎6．(2015·浙江，13，中)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．‎ ‎【解析】　∵e1，e2是单位向量，且e1·e2＝，‎ ‎∴e1·e2＝|e1||e2|·cos〈e1，e2〉＝，‎ ‎∴〈e1，e2〉＝.‎ 又∵b·e1＝b·e2＝1，‎ ‎∴|b||e1|cos〈b，e1〉＝|b||e2|cos〈b，e2〉‎ ‎＝1，‎ 即|b|cos〈b，e1〉＝|b|cos〈b，e2〉＝1，‎ ‎∴cos〈b，e1〉＝cos〈b，e2〉，∴〈b，e1〉＋〈b，e2〉＝，或〈b，e1〉＋〈b，e2〉＝π(舍)．‎ ‎∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝，‎ ‎∴|b|＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2014·大纲全国，6，易)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】　B　(2a－b)·b＝2a·b－|b|2‎ ‎＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.‎ ‎2．(2013·湖北，7，中)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【答案】　A　由条件知＝(2，1)，＝(5，5)，‎ ·＝10＋5＝15.‎ ‎||＝＝5，则在方向上的投影为 ‎||cos〈，〉＝＝＝，故选A.‎ ‎3．(2014·湖南，10，中)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足＝1，则的取值范围是(　　)‎ A．[4，6] B．[－1，＋1]‎ C．[2，2] D．[－1，＋1]‎ ‎【答案】　D　设动点D(x，y)，‎ ‎∵||＝1，＝(x－3，y)，‎ ‎∴(x－3)2＋y2＝1，∴D点的运动轨迹是以(3，0)为圆心，1为半径的圆．‎ 又＋＋＝(－1＋x，y＋)，‎ ‎∴|＋＋|＝表示圆上的点到点(1，－)的距离．‎ 又点(1，－)到(3，0)的距离为d＝＝，‎ ‎∴|＋＋|的范围是[－1，＋1]．‎ ‎4．(2014·重庆，12，易)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.‎ ‎【解析】　|a|＝＝2，‎ ‎∴a·b＝|a||b|·cos 60°＝2××＝10.‎ ‎【答案】　10‎ ‎5．(2014·四川，14，中)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ ‎【解析】　c＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，‎ 又∵cos 〈c，a〉＝，cos 〈c，b〉＝，‎ 由题意知＝，即＝，解得m＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎6．(2014·江西，12，中)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.‎ ‎【解析】　∵|a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2，又|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角余弦值为，‎ ‎∴上式＝9－12×＋4＝9，∴|a|＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎7．(2014·江苏，12，中)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．‎ ‎【解析】　由题意，得＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋＝－，‎ ‎∴· ‎＝· ‎＝2－·－2，‎ 即2＝25－·－×64，‎ 解得·＝22.‎ ‎【答案】　22‎ 方法点拨：借助·表示出·是解决本题的关键所在．‎ 考向1　平面向量的垂直与夹角 ‎1．平面向量数量积的有关概念 ‎(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．‎ ‎(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0.‎ ‎(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．‎ 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．‎ ‎2．平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cos θ＝.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎3．平面向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则 ‎(1)a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.‎ ‎(3)cos θ＝.‎ ‎(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．‎ ‎(1)(2014·课标Ⅱ，4)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎(2)(2014·山东，7)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)‎ A．2 B. C．0 D．－ ‎【解析】　(1)因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10，又因为|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6，所以4a·b＝4，a·b＝1.‎ ‎(2)∵a＝(1，)，b＝(3，m)，∴|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m.又a，b的夹角为，∴＝cos，即＝，即3＋m＝×，解得m＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B ‎ 平面向量数量积的应用 ‎(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直的问题．‎ ‎(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．‎ ‎(1)(2013·江西，12)e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．‎ ‎(2)(2013·山东，15)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ ‎(1)【解析】　设a与b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|·cos θ＝，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos θ＝.‎ ‎【答案】　 ‎(2)【解析】　∵⊥，∴·＝0，‎ ‎∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.‎ ‎∵向量与的夹角为120°，||＝3，||＝2，‎ ‎∴(λ－1)||||·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.‎ ‎【答案】　 思路点拨：解题(1)的关键是弄清楚a在b上的投影为|a|cos θ(θ为a与b的夹角)；解题(2)的方法是根据·＝0列出等量关系求出λ.‎ 考向2　平面向量的模及应用 ‎1．求平面向量的模的公式 ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；‎ ‎(2)|a±b|＝＝；‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ ‎2．重要结论 ‎(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．‎ ‎(1)(2013·湖南，8)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(　　)‎ A.－1 B. C.＋1 D.＋2‎ ‎(2)(2014·湖北，12)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.‎ ‎【思路导引】　解题(1)的思路是建立平面直角坐标系，设出c＝(x，y)，由向量的模找出c的终点的运动轨迹，数形结合求解；解题(2)的方法一是代数法用向量的数量积直接运算；方法二是几何法．‎ ‎【解析】　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，‎ ‎∴可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，＝c＝(x，y)．‎ ‎∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，‎ ‎∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1.‎ ‎(2)方法一：设＝(x，y)，由||＝||知，＝，又·＝x－3y＝0，解得x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，||＝2；当x＝－3，y＝－1时，||＝2，则||＝2.‎ 方法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以||＝2.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)2 ‎ 1.求向量的模的方法 ‎(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．‎ ‎(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．‎ ‎2．求向量模的最值(范围)的方法 ‎(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．‎ ‎(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．‎ ‎(2011·天津，14)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．‎ ‎【解析】　以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.‎ ‎∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)．‎ ＝(2，－x)，＝(1，a－x)，‎ ‎∴＋3＝(5，3a－4x)，‎ ‎|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，‎ 当x＝时取等号．‎ ‎∴|＋3|的最小值为5.‎ ‎【答案】　5‎ 思路点拨：建立合适的平面直角坐标系，将|＋3|表示成某个变量的函数，然后求最值．‎ ‎1．(2015·山东省实验中学二模，6)已知向量a＝(，1)，b＝(0，1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)‎ A．－3 B．－2 C．1 D．－1‎ ‎【答案】　A　因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3，选A.‎ ‎2．(2015·河南洛阳质检，6)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cosa，b＝＝＝，‎ 所以a，b＝，选B.‎ ‎3．(2015·福建漳州五校期末，6)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|等于(　　)‎ A．1 B. C. D．3‎ ‎【答案】　C　由已知得|a|cos〈a，b〉＝|b|cos 〈a，b〉．又|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝＝.‎ ‎4．(2014·北京朝阳二模，4)在△ABC中，||＝2，||＝3，·<0，且△ABC的面积为，则∠BAC等于(　　)‎ A．60°或120° B．120°‎ C．150° D．30°或150°‎ ‎【答案】　C　∵·<0，∴∠BAC∈.‎ ‎∵||＝2，||＝3，S△ABC＝，‎ ‎∴||||sin∠BAC＝，‎ ‎∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°，‎ 故选C.‎ ‎5．(2014·河南开封二模，8)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【答案】　A　根据向量的加法＋＝2，得·(＋)＝2·＝2||·||·cos 0°＝2×××1＝.‎ ‎6．(2015·广东惠州一模，6)若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【答案】　D　e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋2e＋e1·e2＝－，‎ ‎|a|＝＝＝＝，‎ ‎|b|＝ ‎＝＝＝，‎ 所以a，b的夹角的余弦值为cosa，b＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.选D.‎ ‎7．(2015·河北石家庄调研，5)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为(　　)‎ A.－1 B．1‎ C.＋1 D. ‎【答案】　A　∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|，‎ 所以|a＋b|＝，‎ 又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos 〈a＋b，c〉，‎ ‎∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈(a＋b)，c〉，‎ 所以当cos〈(a＋b)，c〉＝1时，|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，‎ 所以|a＋b－c|的最小值为－1.选A.‎ ‎8．(2015·湖南师大附中月考，12)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.‎ ‎【解析】　由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos ＋×＝－.‎ ‎【答案】　－ 易错点拨：与的夹角常误以为，在解题时一定要分清是向量的夹角还是其补角．‎ ‎9．(2015·山东枣庄一模，13)已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，∠AOC＝45°，设＝m＋n，(m，n∈R)，则＝________.‎ ‎【解析】　因为·＝0，所以向量⊥，将，放在平面直角坐标系中，如图所示，因为||＝1，||＝，所以A(1，0)，B(0，)．因为∠AOC＝45°，所以点C 在直线y＝x上，设C(x，x)，则＝(x，x)．由＝m＋n，得(x，x)＝m(1，0)＋n(0，)，即(x，x)＝(m，n)，所以m＝n，即＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2015·湖南，9，中)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】　B　由AB⊥BC，且A，B，C在圆上，‎ 所以AC为圆的直径．‎ 所以|＋＋|＝|2＋|≤‎ ‎2||＋||，||＝2，‎ 所以当||最大时取最值，||max＝3.‎ 所以|＋＋|≤4＋3＝7.‎ ‎2．(2015·安徽，15，难)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)‎ ‎①a为单位向量； ②b为单位向量；‎ ‎③a⊥b; ④b∥；‎ ‎⑤(4a＋b)⊥.‎ ‎【解析】　∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，‎ ‎∴∥b，且|b|＝||＝2，故④正确，b不是单位向量，故②错误．‎ 又∵＝2a，∴||＝2|a|＝2，‎ ‎∴|a|＝1，故a是单位向量，则①正确．‎ 又a·b＝|a||b|cos 120°＝‎ ‎1×2×＝－1≠0，故③不正确．‎ ‎∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b ‎＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋22‎ ‎＝0，即4a＋b与垂直，故⑤正确．‎ 综上所述，正确的是①④⑤.‎ ‎【答案】　①④⑤‎ ‎3．(2015·天津，13，易)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．‎ ‎【解析】　如图，依题意得DC＝1，‎ 则· ‎＝(＋)·(＋＋)‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝||2＋||2＋· ‎＝×4＋×1＋×2×1×cos 120°‎ ‎＝.‎ ‎【答案】　 ‎4．(2015·江苏，14，难)设向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，则 (ak·ak＋1)的值为________．‎ ‎【解析】　ak·ak＋1‎ ‎＝·‎ ‎＝coscosπ＋·‎ ‎＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ ‎＝cos＋sinπ＋coscosπ，‎ (ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ ‎＝6＋0＋4 ‎＝9.‎ ‎【答案】　9 ‎1．(2012·陕西，7，易)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　)‎ A. B. C．0 D．－1‎ ‎【答案】　C　∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0，∴cos 2θ＝0，故选C.‎ ‎2．(2014·浙江，9，难)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1(　　)‎ A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定 ‎【答案】　B　|b＋ta|＝ ‎＝ ‎＝，‎ 令y＝t2|a|2＋2t|a||b|cos θ＋|b|2，则y是关于t的一元二次函数．‎ 又∵|a|>0，∴其图象开口向上，因此在对称轴t＝－·cos θ处取得最小值，‎ 由已知ymin＝＝‎ ‎|b|2－|b|2cos2θ＝|b|2(1－cos2θ)＝1，‎ ‎∴|b|2sin2θ＝1，‎ ‎∴|b|sin θ＝1，‎ ‎∴若θ确定，sin θ确定，从而|b|确定．‎ 若|b|确定，因为0≤θ≤π，所以θ不确定．‎ ‎3．(2014·安徽，10，难)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ ‎【答案】　B　x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的可能取值情况为|a|2＋|a|2＋|b|2＋|b|2＝10|a|2或2a·b＋|a|2＋|b|2＝5|a|2＋2a·b＝5|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉或4a·b＝4|a||b|cos〈a，b〉＝8|a|2cos〈a，b〉，代入选项知当〈a，b〉＝时，8|a|2cos〈a，b〉＝4|a|2，符合题意．‎ ‎4．(2013·重庆，14，易)在以OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．‎ ‎【解析】　根据数量积的几何意义知·＝·(＋)＝||2＝9＋1＝10，‎ ‎∵·＝(－3)×(－2)＋1×k＝6＋k，‎ ‎∴6＋k＝10，解得k＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎5．(2012·北京，13，易)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．‎ ‎【解析】　以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(a，0)，0≤a≤1.‎ ·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.‎ ·＝(a，－1)·(1，0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值为1.‎ ‎【答案】　1　1‎ ‎6．(2012·上海，12，中)在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ ‎【解析】　以矩形的顶点A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立坐标系，如图所示，则B(2，0)，D(0，1)，C(2，1)．‎ 设＝＝a，则0≤a≤1，||＝2a，||＝a，‎ ‎∴M(2，a)，N(2－2a，1)．‎ ＝(2，a)，＝(2－2a，1)．‎ ‎∴·＝4－3a.‎ 又0≤a≤1，∴1≤4－3a≤4，‎ ‎∴·∈[1，4]．‎ ‎【答案】　 ‎7．(2013·天津，12，中)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ ‎【解析】　方法一：如图，＝＋，＝－＋.‎ 因为·＝1，所以(＋)·＝1，‎ 则2＋·－2＝1.①‎ 因为||＝1，∠BAD＝60°，‎ 所以·＝||，‎ 因此①式可化为1＋||－||2＝1.‎ 解得||＝或||＝0(舍去)，‎ 所以AB的长为.‎ 方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.‎ 由AD＝1，∠BAD＝60°，‎ 可知AM＝，DM＝.‎ 设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)，C，D.‎ 因为E是CD的中点，‎ 所以E.‎ 所以＝，＝.‎ 由·＝1，‎ 可得＋＝1，‎ 即2m2－m＝0，‎ 所以m＝或m＝0(舍去)．‎ 故AB的长为.‎ ‎【答案】　 思路点拨：方法一利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二建立合适的坐标系用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键．‎ ‎8．(2011·浙江，15，中)若平面向量α，β满足＝1，≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的取值范围是________．‎ ‎【解析】　 ∵以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，即2×|α||β|sin θ＝，|α|＝1，|β|≤1，‎ ‎∴sin θ≥.又θ∈[0，π]，‎ ‎∴θ∈.‎ ‎【答案】　 ‎9．(2013·辽宁，17，12分，中)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ 解：(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈，从而sin x＝，‎ 所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋ ‎＝sin＋，‎ 当2x－＝，‎ 即x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ 考向1　平面向量在平面几何中的应用 平面向量在几何中的应用 ‎(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：‎ a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(3)求夹角问题，常用公式：‎ cos θ＝＝.‎ ‎(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 ‎|a|＝＝或 ‎|AB|＝||＝.‎ ‎(1)(2013·福建，10)在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A. B．2 C．5 D．10‎ ‎(2)(2014·天津，13)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC ‎＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．‎ ‎【解析】　(1)·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5，故选C.‎ ‎(2)如图，由题意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×＝－2，在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)2‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是利用向量证明AC⊥BD；解题(2)的关键根据条件把向量，用向量，表示出来，再用向量数量积公式运算．‎ ‎ 用向量解决平面几何问题的方法 ‎(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；‎ ‎(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题；‎ ‎(3)把运算结果“翻译”成几何关系．‎ ‎(2013·浙江，7)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·.则(　　)‎ A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°‎ C．AB＝AC D．AC＝BC ‎【答案】　D　如图，在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连接CE，DP0.‎ 故·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋2＝·＋2，同理·＝·＋2.‎ 由·≥·得2≥2，故DP0⊥AB.由作图知CE∥DP0，所以CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.故选D.‎ 考向2　平面向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．‎ ‎(2013·江苏，15，14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.‎ ‎(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；‎ ‎(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．‎ ‎【思路导引】　题(1)证明a⊥b，只需证a·b＝0；题(2)将a，b，c的坐标代入a＋b＝c列出等式，求出α，β的三角函数值，即可求得α，β.‎ ‎【解析】　(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，‎ 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.‎ 又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，‎ 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，‎ 故a⊥b.‎ ‎(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，‎ 所以 由此得，cos α＝cos(π－β)．‎ 由0<β<π，得0<π－β<π，‎ 又0<α<π，故α＝π－β.‎ 代入sin α＋sin β＝1，‎ 得sin α＝sin β＝.‎ 又α>β，所以α＝，β＝.‎ ‎ 向量与三角函数综合问题的特点与解题思路 ‎(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还融入参数，考查分类讨论的思想方法．‎ ‎(2)对于三角函数求最值问题，大都有两种形式：一种是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，另一种是化成y＝asin2x＋bsin x＋c或y＝acos2x＋bcos x＋c的形式．‎ ‎(2015·河南洛阳二模，17，12分)已知向量＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，＝(－sin β，cos β)，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)若α－β＝，且λ＝1，求向量与的夹角；‎ ‎(2)若||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．‎ 解：(1)当λ＝1时，＝(cos α，sin α)，‎ 故||＝＝1，||＝＝1.‎ ·＝cos α·(－sin β)＋sin αcos β＝sin(α－β)＝sin ＝，‎ 故cos〈，〉＝＝.‎ 又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.‎ ‎(2)＝－＝(－sin β－λcos α，cos β－λsin α)，‎ 故||≥2||对任意实数α，β都成立，‎ 即(－λcos α－sin β)2＋(－λsin α＋cos β)2≥4对任意实数α，β都成立，‎ 整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立．‎ 因为－1≤sin(β－α)≤1，‎ 所以或 解得λ≥3或λ≤－3.‎ 故所求实数λ的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．‎ ‎1．(2015·山东济宁二模，4)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)‎ A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．梯形 ‎【答案】　C　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形，选C.‎ ‎2．(2015·河北石家庄调研，4)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　C　因为＝，所以点D是BC的中点，则＝(＋)，＝＝(－)，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(22－32)＝－，选C.‎ ‎3．(2015·山西大同一模，7)△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝ ||，则·等于(　　)‎ A. B. C．3 D．2 ‎【答案】　C　由2＋＋＝0，得＋＋＋＝＋＝0，所以＝－＝，即O为BC的中点，所以BC为外接圆的直径，BC＝2，则∠BAC＝90°，因为||＝||，所以△ABO为正三角形，所以∠ABO＝60°，∠ACB＝30°，且||＝，所以·＝||·||cos 30°＝×2×＝3，选C.‎ ‎4．(2015·河南开封质检，9)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于(　　)‎ A．－ B. C．－1 D．1‎ ‎【答案】　D　＝＋＝＋，＝＋，‎ 所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋·＝1＋－·＝－||·|| ·‎ cos 60°＝－×1×2×＝1.选D.‎ ‎5．(2014·湖北武汉二模，5)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么·的最小值为(　　)‎ A．－4＋ B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2 ‎【答案】　D　设∠APB＝2θ，||＝x，则·＝||·||·cos 2θ＝||2cos 2θ＝(||2－1)·(1－2sin2θ ‎)＝(x2－1)·＝x2－2－1＋≥－3＋2，当且仅当x2＝，即x＝时取等号．‎ ‎6．(2015·安徽巢湖一模，14)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则·＋·＝________.‎ ‎【解析】　∵∠ACB＝90°，∴·＝0，又因为P是斜边上的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.‎ 所以·＋· ‎＝·＋· ‎＝2＋2＝×22＋×22＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎7．(2015·湖北咸宁联考，15)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________．‎ ‎【解析】　由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为.‎ ‎【答案】　 ‎8．(2014·福建福州二模，16，13分)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)，且m·n＝1，A为锐角．‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．‎ 解：(1)由题意得m·n＝sin A－cos A＝1，‎ 故2sin＝1，‎ 即sin＝.‎ 因为A为锐角，所以A－＝，‎ 即A＝.‎ ‎(2)由(1)知cos A＝.‎ 所以f(x)＝cos 2x＋2sin x ‎＝1－2sin2x＋2sin x ‎＝－2＋.‎ 因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，因此，‎ 当sin x＝时，f(x)有最大值，‎ 当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，‎ 所以所求函数f(x)的值域为.‎ ‎9．(2015·河南三市调研，17，12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得 ‎6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsinB≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(时间：90分钟__分数：120分)‎ 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)‎ ‎1．(2015·北京东城二模，7)若a，b是两个非零向量，则“|a＋b|＝|a－b|”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　C　|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以a⊥b，故“|a＋b|＝|a－b|”是“a⊥b”的充要条件，选C.‎ ‎2．(2015·河南开封调研，2)在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【答案】　D　由a·b＜0得|a||b|cos(π－B)＜0，‎ ‎∴cos(π－B)<0，‎ ‎∴cos B＞0.‎ ‎∵B为△ABC的内角，∴B为锐角．由条件不能确定角A、角C的大小，故此三角形的形状不能确定，故选D.‎ 易错点拨：向量的夹角是指两向量方向的夹角，范围在[0，π]之间，向量a和向量b的夹角应是π－B.‎ ‎3．(2015·山西晋城二模，8)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)．且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B.∪ C．(－2，＋∞) D．(－2，＋∞)‎ ‎【答案】　B　当a，b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b 的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不共线．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.‎ 易错点拨：本题易出现a与b夹角为锐角时认为a·b＞0，忽视a与b共线的情况．‎ ‎4．(2015·安徽六安二模，8)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与b－a的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.由|a＋b|＝2|a|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2，即b2＝3a2，所以|b|＝|a|，所以(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝3a2－a2＝2a2，所以向量a＋b与b－a的夹角的余弦值为cos θ＝＝＝，所以θ＝，选B.‎ ‎5．(2015·河北秦皇岛一模，6)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C在第二象限内，∠AOC＝，且||＝2，＝λ＋μ，则λ，μ的值分别是(　　)‎ A．1，1 B.，1 C．－，－1 D．－，1‎ ‎【答案】　D　因为∠AOC＝，所以〈，〉＝.〈，〉＝－＝.则＝λ＋μ＝(λ，μ)，·＝(λ，μ)·(1，0)＝||||cos，即λ＝2×＝－，·＝(λ，μ)·(0，1)＝||||·cos，即μ＝2×＝1，所以λ＝－，μ＝1，选D.‎ ‎6．(2015·湖南株洲月考，5)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影为(　　)‎ A．－4 B．4 C．－2 D．2‎ ‎【答案】　A　方法一：cos〈a，b〉＝＝＝－，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝6×＝－4，选A.‎ 方法二：向量a在向量b方向上的投影为＝＝－4.‎ ‎7．(2015·广东中山一模，9)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若＝x＋y，则(　　)‎ A．01‎ C．x＋y<－1 D．－1

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